2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册空间距离的计算及应用-重难点挑战（含答案）

空间距离的计算及应用
一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，四面体中，，，两两垂直，，点是的中点，若直线与平面所成角的正切值为，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
在长方体中，，，点是棱的中点，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
已知三棱锥中，两两垂直，且，，，则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知正方体的棱长为，点、分别是、的中点，在正方体内部且满足，则下列说法正确的是( )
A. 点到直线的距离是
B. 点到平面的距离为
C. 平面与平面间的距离为
D. 点到直线的距离为
如图，在直三棱柱中，，，，，分别为，，的中点．则下列结论正确的是( )
A. 与相交 B. 平面
C. 与所成的角为 D. 点到平面的距离为
三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
如图，棱长为的正方体的顶点在平面上，三条棱，，都在平面的同侧，若顶点，到平面的距离分别为，，则顶点到平面的距离是 ．
如图，已知是棱长为的正方体的棱的中点，是棱的中点，则点到面的距离 ，直线与面所成的角的正弦值 ．
四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，高为的等腰梯形，，为的四等分点．现将沿折起，使平面平面，连接、．
若，且满足平面，求实数的值；
当点为边中点时，求点到平面的距离．
本小题分
如图，在长方体中，，点为棱上一点，且．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
本小题分
长方体中，，，，是的中点，在线段上，且，是的中点，求：
到直线的距离；
到平面的距离．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到平面的距离的求法，考查直线与平面所成角，涉及空间向量的应用，考查运算求解能力，是较难题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法根据直线与平面所成角的正切值为求得的长，再利用向量法即可求出点到平面的距离．
【解答】
解：如图，四面体中，，，两两垂直，
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，点是的中点，
设，则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，
取，得，
直线与平面所成角的正切值为，
直线与平面所成角的正弦值为，
，解得舍负，
平面的法向量，，
点到平面的距离为：
．
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间直角坐标系和点到平面的距离的计算，属中档题．
先建立空间直角坐标系，再求出平面的一个法向量，再求点到平面的距离．
【解答】
解：如图，以为坐标原点，直线，，分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
从而，，，
设平面的法向量为，
则，即
得，令，则．
所以点到平面的距离为
，
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量求点到平面的距离，属于中档题．
以为原点，建立空间直角坐标系，写出相应点的坐标，表示出相应向量，从而得到平面的法向量，利用空间向量表示出点到平面的距离，得到答案．
【解答】
解：因为三棱锥中，，，两两垂直，
所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，，，
所以，，，，
所以，，，
设平面的法向量，
则，即
取，得，
所以点到平面的距离为：
，
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用空间向量求点线、点面、面面距离，意在考查学生的数学运算的学科素养，线面距、面面距实质上都是点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行，属于中档题．
建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论．
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系，
则，，
，，，，
所以．
设，则，
．
故A到直线的距离，故A错．
易知，
平面的一个法向量，
则点到平面的距离，故B对．
．
设平面的法向量为，
则，所以
令，得，
所以．
所以点到平面的距离．
因为平面平面，
所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离，
所以平面与平面间的距离为，故C对．
因为，所以，
又，则，
所以点到的距离，故D错．
故选BC．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查异面直线，线面平行的判定，异面直线所成角以及点到面的距离，属于中档题．
利用异面直线的定义，线面平行的判定方法，利用空间直角坐标系求异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断．
【解答】
解：对选项 ，由图知平面，平面，且
由异面直线的定义可知与 异面，故A错误；
对于选项 ，在直三棱柱中，
，分别是 ，的中点，
，
又 平面 ，平面，
平面故B正确；
对于选项 ，由题意，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
，，，
，
，，
与所成的角为，故C正确；
对于选项D，设向量 ，是平面 的一个法向量．
，，
由即得
取，则，，
设点到平面的距离为
又 ，
，
点到平面的距离为 ，故D正确．
故选BCD．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到平面的距离，利用空间向量解答相关问题时，正确建立空间直角坐标系是关键，属于中档题．
以为原点建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量为，利用点面距离公式建立方程，得到、、的关系，进而得到点到平面的距离．
【解答】
解：如图，以为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设平面的一个法向量为，
则点到平面的距离，
点到平面的距离，
由可得，，
所以点到平面的距离．
故答案为．

7.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查由空间向量法求点到面的距离，以及由空间向量法求直线与平面成角的正弦值，属于拔高题．
分别以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，由向量坐标求得平面的法向量为，由点到面的距离，直线与面所成的角的正弦值，代入求值．
【解答】
解：连接，根据正方体的性质，不妨以点为原点，分别以，，所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，如下图所示：
由图可知，，，，，，
，，，，
设平面的法向量为，
，
取，
，
平面的法向量为，
则
易知与所成角或其补角的余角是直线与面所成的角，
，且，
．
故答案为 ．

8.【答案】解：连接交于，连接
梯形中，，则，
由平面，平面，平面平面，
，
在中，
故即，所以．
设点到平面的距离为．
因为平面平面，平面平面，
在平面中，，，
所以平面．
建立如图所示空间直角坐标系，
，所以，．
设平面的一个法向量为，，
则有，即
令，有，
，
故点到平面的距离为．

【解析】本题考查线面平行的判定，考查点到平面距离的计算，考查体积的计算，属于中档题．
连接交于，连接，由线面平行的性质定理得，则，进而可得结果；
首先证明平面，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，进而可得结果．
9.【答案】解：如图建立空间直角坐标系，则、、、、，
所以、、，
设平面的法向量为，
则
令，则，，
所以，
设直线与平面所成角为，则，
所以直线与平面所成角的正弦值为；
因为，
所以点到平面的距离．

【解析】本题考查利用空间向量求线面夹角的正弦值及点到平面的距离，属于中档题．
建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出线面角的正弦值；
利用空间向量法求出点到平面的距离；
10.【答案】解：如图，建立空间直角坐标系，则，，，．
，，
在上的射影为，
故到的距离为．
设是平面的法向量，则，，
，，
．
因此可取，由于，
那么点到平面的距离为，
故到平面的距离为．
【解析】本题主要评价学生用空间向量研究距离问题的掌握程度，以及运用数形结合的思想进行运算求解的能力，属于中档题．
建立坐标系，求出在上的射影，即可求到直线的距离；
求出平面的法向量，利用，即可求到平面的距离．
第1页，共1页