空间向量数量积的应用-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析）

空间向量数量积的应用
一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
在三棱锥中，、、两两垂直且，点为的外接球上任意一点，则的最大值为( )
A. B. C. D.
在如图所示的平行六面体中，已知，，，为上一点，且，若，则( )
A.
B.
C.
D.
在棱长为的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时，( )
A. B. C. D.
在空间直角坐标系中，，为的中点，为空间一点且满足，若，则( )
A. B. C. D.
在平形六面体，其中，，，，，则的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则下列说法中正确的是( )
A.
B.
C. 向量与的夹角是
D. 与所成角的余弦值为
如图，已知为正方体，，分别是，的中点，则( )
A. B.
C. 向量与向量的夹角是 D. 异面直线与所成的角为
三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
如图所示的三棱锥中，平面，是棱的中点，若，，，则与所成角的余弦值为__________
已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，则 ． ．
四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，三棱柱中，为中点，．设，，．
试用，，表示向量；
若，，求异面直线与所成角的余弦值．
本小题分
如图，在底面为正三角形的三棱柱中，，．
求；
求异面直线与所成角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间向量的加减法，向量的数量积，属于较难题。
将三棱锥补成一个正方体，即可得到该正方体的外接球，且外接球半径为，取中点，当，，在同一个大圆上且，点与线段在球心的异侧时，最大，可得结果．
【解答】
解：在三棱锥中，，，两两垂直且，
将三棱锥补成一个正方体，即可得到该正方体的外接球，
且外接球半径为，
取中点，
．
如图，
当，，在同一个大圆上且，点与线段在球心的异侧时，最大，
此时，，
．
的最大值为．
故选．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的应用，属于中档题．
将，，作为基底，用基底把，表示出来，再由，可得，从而可求出．
【解答】
解：令，则，
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，所以，
所以
所以，
因为，，
所以，
所以，解得，
故选：

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量数量积的计算，共面向量和共线向量定理的应用，还考查了空间想象和运算求解的能力，属于中档题．
利用共面向量定理和共线向量定理得到平面，直线，再根据若、最短时，则平面，，得到为的中心，为的中点，然后利用中点坐标公式得到，再利用数量积运算求解．
【解答】
解：因为点满足，
所以平面，
因为点满足，
所以直线，
若、最短时，则平面，，
所以为的中心，为的中点，
此时，
平面平面，
，
．
又，
．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量数量积公式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
设出点的坐标并代入已知条件中即可求得点的坐标，然后用数量积公式计算 即可．
【解答】
解：设，
因为，为的中点，
则，
，，
因为，且，
所以
，
解得，
所以，
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的基本定理及应用，考查空间向量的数量积及运算律，属于基础题．
由题可得，然后利用空间向量的模长以及数量积公式进行运算即可求得结果．
【解答】
解：如图：设，，，
因为六面体是平行六面体，
所以，
所以，
又，，，，，
所以
，
故的长为，
故选：

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量求长度、夹角、判断垂直等应用，属于中档题．
应用空间向量的加减法运算，选取向量为基底，对每一选项进行逐一判断即可得到答案．
【解答】
解：因为以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，
所以，
，
则，所以A正确；
，所以不正确；
显然为等边三角形，则．
因为，且向量与的夹角是，所以与的夹角是，所以C正确；
因为，
所以，
，
所以，所以不正确．
故选AC．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量在立体几何中的应用，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标，将问题转化为空间向量的坐标表示．属于中档题．
在正方体中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．
【解答】
解：在正方体中，以点为坐标原点，分别以，，所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为，则，，，，，，，，，
所以，
故，故选项A正确；
又，
又，
所以，，
则，故选项B正确；
，
所以，
因此与的夹角为，故选项C错误；
因为，分别是，的中点，
所以，，
则，
所以，
又异面直线的夹角大于小于等于，
所以异面直线与所成的角为，故选项D正确；
故选：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量所成角的计算，属于中档题．
过点作，以为坐标原点，直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，求得向量，，然后由求解．
【解答】
解：平面，
、，
过点作，又，则、、两两垂直，
如图，以为坐标原点，直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
则、、、，
又为中点，则，故，，
，
故答案为．

9.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查了空间向量的加法运算的几何意义以及数量积运算，是中档题．
根据空间向量加法的几何意义可以得到，，然后根据数量积运算进行计算即可；
根据空间向量加法的几何意义可以得到，又因为，先求出，再开方即可．
【解答】
解：，，
；
，
，
．
故答案为；．

10.【答案】解：因为为中点，
所以，
由，知，
所以
，
，
，
所以
，
，
，
所以
，
所以，
故异面直线与所成角的余弦值为．
【解析】本题主要考查了空间向量的基本定理，模长及数量积的运算，立体几何中异面直线所成的角的求法，属于中档题．
结合题中几何体由空间向量基本定理表示出，，，求出结果
求出，，以及，由向量夹角公式即可求解．
11.【答案】解：设，，，
，
因为，，
则，
，
，
所以
；
因为，
，
由得，，
则
，
所以，
所以．
所以异面直线与所成角的正弦值为．

【解析】本题考查了空间向量的模的计算、异面所成角的向量求法，属于中档题．
设，，，利用向量的线性运算得，将求转化为向量数量积运算求解；
由，，再由空间向量夹角公式求解即可．
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