空间向量数量积的应用
一、单选题(本大题共5小题,共25.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
在三棱锥中,、、两两垂直且,点为的外接球上任意一点,则的最大值为( )
A. B. C. D.
在如图所示的平行六面体中,已知,,,为上一点,且,若,则( )
A.
B.
C.
D.
在棱长为的正四面体中,点满足,点满足,当、最短时,( )
A. B. C. D.
在空间直角坐标系中,,为的中点,为空间一点且满足,若,则( )
A. B. C. D.
在平形六面体,其中,,,,,则的长为( )
A. B. C. D.
二、多选题(本大题共2小题,共10.0分。在每小题有多项符合题目要求)
如图,平行六面体中,以为顶点的三条棱长均为,且两两之间的夹角都是,则下列说法中正确的是( )
A.
B.
C. 向量与的夹角是
D. 与所成角的余弦值为
如图,已知为正方体,,分别是,的中点,则( )
A. B.
C. 向量与向量的夹角是 D. 异面直线与所成的角为
三、填空题(本大题共2小题,共10.0分)
如图所示的三棱锥中,平面,是棱的中点,若,,,则与所成角的余弦值为__________
已知平行六面体中,底面是边长为的正方形,,,则 . .
四、解答题(本大题共2小题,共24.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
本小题分
如图,三棱柱中,为中点,.设,,.
试用,,表示向量;
若,,求异面直线与所成角的余弦值.
本小题分
如图,在底面为正三角形的三棱柱中,,.
求;
求异面直线与所成角的正弦值.
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间向量的加减法,向量的数量积,属于较难题。
将三棱锥补成一个正方体,即可得到该正方体的外接球,且外接球半径为,取中点,当,,在同一个大圆上且,点与线段在球心的异侧时,最大,可得结果.
【解答】
解:在三棱锥中,,,两两垂直且,
将三棱锥补成一个正方体,即可得到该正方体的外接球,
且外接球半径为,
取中点,
.
如图,
当,,在同一个大圆上且,点与线段在球心的异侧时,最大,
此时,,
.
的最大值为.
故选.
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的应用,属于中档题.
将,,作为基底,用基底把,表示出来,再由,可得,从而可求出.
【解答】
解:令,则,
因为,
所以,
因为,
所以,
因为,所以,
所以
所以,
因为,,
所以,
所以,解得,
故选:
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查空间向量数量积的计算,共面向量和共线向量定理的应用,还考查了空间想象和运算求解的能力,属于中档题.
利用共面向量定理和共线向量定理得到平面,直线,再根据若、最短时,则平面,,得到为的中心,为的中点,然后利用中点坐标公式得到,再利用数量积运算求解.
【解答】
解:因为点满足,
所以平面,
因为点满足,
所以直线,
若、最短时,则平面,,
所以为的中心,为的中点,
此时,
平面平面,
,
.
又,
.
故选:.
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量数量积公式的应用,考查运算求解能力,属于中档题.
设出点的坐标并代入已知条件中即可求得点的坐标,然后用数量积公式计算 即可.
【解答】
解:设,
因为,为的中点,
则,
,,
因为,且,
所以
,
解得,
所以,
故选D.
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的基本定理及应用,考查空间向量的数量积及运算律,属于基础题.
由题可得,然后利用空间向量的模长以及数量积公式进行运算即可求得结果.
【解答】
解:如图:设,,,
因为六面体是平行六面体,
所以,
所以,
又,,,,,
所以
,
故的长为,
故选:
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量求长度、夹角、判断垂直等应用,属于中档题.
应用空间向量的加减法运算,选取向量为基底,对每一选项进行逐一判断即可得到答案.
【解答】
解:因为以为顶点的三条棱长均为,且两两之间的夹角都是,
所以,
,
则,所以A正确;
,所以不正确;
显然为等边三角形,则.
因为,且向量与的夹角是,所以与的夹角是,所以C正确;
因为,
所以,
,
所以,所以不正确.
故选AC.
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量在立体几何中的应用,解题的关键是建立合适的空间直角坐标系,求出所需点的坐标,将问题转化为空间向量的坐标表示.属于中档题.
在正方体中,建立合适的空间直角坐标系,设正方体的棱长为,根据空间向量的坐标运算,以及异面直线所成角的向量求法,逐项判断即可.
【解答】
解:在正方体中,以点为坐标原点,分别以,,所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为,则,,,,,,,,,
所以,
故,故选项A正确;
又,
又,
所以,,
则,故选项B正确;
,
所以,
因此与的夹角为,故选项C错误;
因为,分别是,的中点,
所以,,
则,
所以,
又异面直线的夹角大于小于等于,
所以异面直线与所成的角为,故选项D正确;
故选:.
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量所成角的计算,属于中档题.
过点作,以为坐标原点,直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,求得向量,,然后由求解.
【解答】
解:平面,
、,
过点作,又,则、、两两垂直,
如图,以为坐标原点,直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系,
则、、、,
又为中点,则,故,,
,
故答案为.
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间向量的加法运算的几何意义以及数量积运算,是中档题.
根据空间向量加法的几何意义可以得到,,然后根据数量积运算进行计算即可;
根据空间向量加法的几何意义可以得到,又因为,先求出,再开方即可.
【解答】
解:,,
;
,
,
.
故答案为;.
10.【答案】解:因为为中点,
所以,
由,知,
所以
,
,
,
所以
,
,
,
所以
,
所以,
故异面直线与所成角的余弦值为.
【解析】本题主要考查了空间向量的基本定理,模长及数量积的运算,立体几何中异面直线所成的角的求法,属于中档题.
结合题中几何体由空间向量基本定理表示出,,,求出结果
求出,,以及,由向量夹角公式即可求解.
11.【答案】解:设,,,
,
因为,,
则,
,
,
所以
;
因为,
,
由得,,
则
,
所以,
所以.
所以异面直线与所成角的正弦值为.
【解析】本题考查了空间向量的模的计算、异面所成角的向量求法,属于中档题.
设,,,利用向量的线性运算得,将求转化为向量数量积运算求解;
由,,再由空间向量夹角公式求解即可.
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