空间向量与立体几何易错点练习-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析）

空间向量与立体几何易错点练习
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如下图，在平行四边形中，，，将沿对角线折起，使，则点，间的距离为( )
A. B. C. D.
，，是从点出发的三条射线，每两条射线的夹角均为，那么直线与平面所成角的余弦值是．( )
A. B. C. D.
已知两平面的法向量分别为，，则两平面所成的二面角为( )
A. B. C. 或 D.
在九章算术中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑如图，在鳖臑中，平面，，分别为，的中点，，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
两条异面直线，所成的角为，在直线，上分别取点，和点，，使，已知，，，则线段的长为( )
A. B. C. D.
如图，已知四棱锥的底面是直角梯形，平面，下列说法正确的是( )
A. 与所成的角是
B. 平面与平面所成的锐二面角余弦值是
C. 三棱锥的体积是
D. 与平面所成的角的正弦值是
如图，正方形和矩形所在平面所成的角为，且，为的中点，则下列结论正确的有( )
A.
B. 直线与所成角的余弦值是
C. 直线与平面所成角的正弦值是
D. 点到平面的距离是
如图，在平行四边形中，，，，沿对角线将折起到的位置，使得平面平面，下列说法正确的有( )
A. 平面平面
B. 三棱锥四个面都是直角三角形
C. 与所成角的余弦值为
D. 过的平面与交于，则面积的最小值为
三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
已知：平面，，，，，，，，，，直线与的夹角是，则线段的长为 ．
如图所示，在平行四边形中，，，把沿对角线折起，使与成角，连接，得到如图所示的几何体，则的长为 ．
如图，四边形和都是正方形，为的中点，，则直线与平面所成角的余弦值是
已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为 ．
如图，在三棱柱中，，，，，，点，分别在棱和棱上，且，，则二面角的正切值 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，在平行四边形中，且，将沿折起，使与所成的角为．
求；
求点，间的距离．
本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，，，分别为线段，，的中点．
Ⅰ求异面直线与所成角的余弦值；
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
本小题分
如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，点，分别在棱，上，且，．
证明：平面
若，求二面角的余弦值．
本小题分
如图，在梯形中，，，，现将所在平面沿对角线翻折，使点翻折至点，且成直二面角．

证明：平面平面；
若异面直线与所成角的余弦值为，求二面角的余弦值；
求点到平面的距离．
本小题分
如图，在三棱台中，，，平面平面．
证明：平面；
若，则求二面角的大小．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求空间两点间的距离，考查空间向量的数量积运算 ，属于基础题．把，，作为基底，将向量用基底表示出来，求的模即可．
【解答】
解：由图可知，，
向量与向量的夹角为，向量与向量的夹角为，
，
故选：．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查求直线与平面所成角，线面垂直的判定与性质，考查空间想象能力，计算能力、转化能力．
方法一过上一点作平面，则就是直线与平面所成的角，证明点在的平分线上，通过解直角三角形进而得解．
方法二由已知得三棱锥是正四面体，设这个正四面体的棱长为，作平面，交于点，以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线与平面所成角的余弦值．
【解答】
解：
方法一如图，在上任取一点并作平面，
则就是直线与平面所成的角，
过点作，，
因为平面，平面，
所以，
又，，，平面，
所以平面，又平面，
则，同理，
由题可知，
所以，
所以，
因为，
所以点在的平分线上，即．
设，
因为，
所以，
在直角中，，，则．
在直角中，，．
则．
即直线与平面所成角的余弦值是．
故选C．
方法二解：、、是三棱锥的三条棱，
，且，，夹角都是，
三棱锥是正四面体，
设这个正四面体的棱长为，作平面，交于点，
则，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，
，，
，，
，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
．
．
直线与平面所成角的余弦值是．
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的知识点是运用空间向量求二面角的平面角，属于基础题．
根据已知中两个平面法向量的夹角，代入向量夹角公式，可以求出两个向量的夹角，进而根据两平面所成的二面角与，相等或互补，得到答案．
【解答】
解：两平面的法向量分别为，，
则两平面所成的二面角与，相等或互补，
，，
故，，
故两平面所成的二面角为或，
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，属于中档题．
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值．
【解答】
解：由题意得，为直角三角形，且，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
则，．
设异面直线与所成角为，
则，．
故选A．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点、线、面间的距离的计算，考查向量法求异面直线的距离，属于中档题．
先由得，再结合已知条件即可求解．
【解答】
解：因为，
所以
由于，
则，
又两条异面直线所成的角为，
则，
所以，
解得：．
故选BD．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三棱锥的体积，利用空间向量求异面直线所成角，线面角，二面角，属于中档题．
由题意以分别为轴建立空间直角坐标系，利用向量法判断选项A，，，直接由锥体的体积公式求出三棱锥的体积，判断选项C．
【解答】
解：由，可得，
又平面，，平面，
所以，，
故以分别为轴建立空间直角坐标系．
则，
选项A由，
则，
所以，
所以与所成的角是，故选项A正确．
选项B由题意为平面的一个法向量．
设为平面 的一个法向量，，
由 ，即 ，则可取，
所以，
所以平面与平面所成的锐二面角余弦值是，故选项B不正确
选项C ，故选项C正确．
选项D ，设与平面所成的角为
则 ，故选项D正确．
故选ACD．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用空间向量求线线、线面的夹角，线线垂直的判定以及点到面的距离，属于中档题．
由条件建立空间直角坐标系，利用向量方法判断，的位置关系，利用空间角的向量求法判断，，再结合点到平面的距离的向量求法判断．
【解答】
解：由已知，，又，，平面，
所以平面，以为坐标原点，，为，轴正方向建立空间直角坐标系，
又正方形和矩形所在平面所成的角为，所以，，
所以，，，，
所以，，
所以，所以，不垂直，故A错误；
，，
所以，
所以直线与所成角的余弦值是，故B正确；
设平面的法向量为，，
由已知，所以，取可得，，
即可取法向量，
直线的方向向量，
所以，，
所以线与平面所成角的正弦值是，故C正确；
因为，平面的法向量，
设点到平面的距离为，则，故D正确．
故选BCD．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题以命题真假关系为载体，主要考查了垂直关系的相互转化，异面直线所成角的求解，空间点到直线的距离的求解，属于中档题．
结合线线垂直，线面垂直与面面垂直的相互转化关系检验，结合空间直角坐标系及空间角及空间点到直线的距离公式检验，即可．
【解答】
解：中，，，，
所以，
故BD，即，
因为平面平面且平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，故A正确；
由平面，平面，故CD
同理可得平面，
因为、平面，所以，，
所以三棱锥四个面都是直角三角形，故B正确
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，
因为，，
所以，，
即与所成角的余弦值为，C错误
因为在线段上，设，则，
所以点到的距离
当时，取得最小值，
此时面积取得最小值为，D正确．
故选：．

9.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查向量的线性运算应用，向量的模，向量数量积，是中档题．
推导出两边平方由此能求出的长．
【解答】
解：平面，，，，， ，
，，，，直线与的夹角是，
所以，
又因为
，
当时，，
当时，．
故答案为或．

10.【答案】或
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积运算．
由题意可知，或，再空间向量的数量积运算法则，即可求解．
【解答】
解：与成角，
，或．
又，，，
，
或，
的长为或．
故答案为或．

11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面所成角的求法，法向量的求法，空间向量的数量积的应用，是中档题．
以为原点，以，的方向分别为，轴的正方向，过作垂直平面的直线作轴，建立如图所示的空间直角坐标系求出，平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线与平面所成角的余弦值即可．
【解答】
解：以为原点，以、的方向分别为、轴的正方向，
过作垂直平面的直线作轴，
建立如图所示的空间直角坐标系．
设，得、、、，
则，，，
设平面的法向量为，
则，取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
从而，
故直线与平面所成角的余弦值是．
故答案为．

12.【答案】或．
【解析】
【分析】
本题考查了二面角的求解，属于基础题．
利用法向量夹角可得二面角．
【解答】
解：由，，
则，
所以二面角余弦值，
所以或．

13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二面角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的正切值．
【解答】
解：以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，，
，，
设平面的法向量，
则，
取，得，
平面的法向量，
设二面角的平面角为，
可知二面角为锐二面角，
则，，
．
二面角的正切值为．
故答案为．

14.【答案】解：由已知得，翻折后与所成的角为，
所以或．
所以，或．
连接，由已知得，，则，
故或，
解得或，
即点，间的距离为或．

【解析】本题主要考查了空间向量的数量积运算，属中档题．
直接根据空间向量的数量积的概念计算；
将两点间的距离转化为向量的模长，转化成向量的数量积运算即可得解．
15.【答案】解：Ⅰ因为底面，底面，所以，
在平面以的垂线为轴，，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，．
由于，，
则，，
故异面直线与所成角的余弦值为
Ⅱ，，，，，，
，，，
设直线与平面所成角为，
设平面的一个法向量为，
由于则
取，则，所以，
故，
故直线与平面所成角的正弦值．
【解析】本题考查了异面直线所成角，直线与平面所成角和利用空间向量求线面角的正弦值，属于中档题．
Ⅰ在平面以的垂线为轴，，所在直线为，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，通过得出和，得出异面直线与所成角的余弦值；
Ⅱ求出平面的一个法向量，利用空间向量求线面角的正弦值，从而得出结果．
16.【答案】证明：在上取点，使，连结，
，，
由平行线分线段成比例定理逆定理，
可得且，
，且是菱形，
且，
且，是平行四边形，
，又平面，平面，
平面．
解：是菱形，，
为等边三角形，取中点，连结，则，
平面，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
设，则，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，即
令，得，
设平面的法向量为，
由，即
令，得，
设二面角的大小为，由图可知为钝角，
．
二面角的余弦值为．
【解析】本题考查线面平行的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题．
在上取点，使，连结，由题目条件可得且，进而证明四边形是平行四边形，所以 ，即可证明 平面；
通过建立空间直角坐标系分别表示出平面的法向量，平面的法向量，设二面角的大小为，通过观察分析二面角是钝角，再代入求解即可．
17.【答案】证明：取中点，连结，
，，
且，
四边形为平行四边形，
，，
，即，
又直二面角，即平面平面，且交线为，
又平面，平面，
平面 平面平面；
解：取中点，连接，则，，
由同理可得平面，
以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系：
易得平面的一个法向量，
设平面的法向量，
在中，，，
可得出，
则在等腰直角中，，
故是边长为的等边三角形，
得，，，
由得
取，得，
故，
故，
由图可知二面角为锐二面角，
二面角的余弦值为，
解：，
故点到平面的距离：．
【解析】本题考查面面垂直的判定，面面垂直的性质，利用空间向量法求面面的夹角，以及利用空间向量法求点到平面的距离，属于中档题．
取线段中点，得相等线段，中线等于底边一半得直角三角形，得线线垂直，由面面垂直性质，得线面垂直，进而得到面面垂直；
建空间直角坐标系，表示出向量与向量，根据空间向量的数量积及平面的法向量可得方程组，取特殊值即可确定面的一个法向量，进而可求二面角的余弦值；
由向量法即可得出点到面的距离．
18.【答案】解：在等腰梯形中，作，则，
在中，，
，，
在中，，可得，
，即，
由平面平面，平面平面，
，平面，
平面，平面，，
，平面，
平面．
如图，在平面内，过点作，以为原点，
以所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，
因为，则，
设平面的法向量为，
则，即
令，则，
平面的一个法向量为
则，
所以结合图可知，二面角为锐角，
所以二面角的大小为．
【解析】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
利用勾股定理证得，由面面垂直的性质得到平面，进而有，利用线面垂直的判定证明结论成立；
以为原点建系，写出各点坐标，求解平面的一个法向量，平面的一个法向量，根据空间向量法求二面角即可求解．
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