2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册空间向量与立体几何易错挑战（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册空间向量与立体几何易错挑战（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 497.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-26 09:24:15 | ||
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文档简介
空间向量与立体几何易错挑战
一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
给出下列命题：空间中任意两个单位向量必相等；向量共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线在同一平面内；若直线的方向向量与平面的法向量夹角等于，则直线与平面所成角为；若直线与平面平行，则直线上任意一点与平面内任意一点的距离就是直线与平面的距离，其中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
若，则直线与平面的位置关系是( )
A. 相交 B. 平行 C. 在平面内 D. 平行或在平面内
已知，，，，是空间中的五个点，其中点，，不共线，则“存在实数，，使得是“平面”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是．( )
A. B.
C. D. 存在非零实数，使
若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列命题中不正确的是( )
A. 是共线的充要条件
B. 若共线，则
C. 三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面
D. 若为空间四点，且有，则是三点共线的充分不必要条件
下列四个命题中真命题是( )
A. 若存在实数，，使，则与，共面
B. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
C. 若两非零向量，满足，则
D. 若，，，共面，则存在实数，，使
在以下命题中，不正确的命题有( )
A. 若与共线，与共线，则与共线
B. 若，则存在唯一的实数，使
C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D. 若两个非零空间向量，满足，则
下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
B. 若非零向量，，满足，，则有；
C. 若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
D. 若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底；
三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的关系为 ．
已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
点，，，若的夹角为锐角，则的取值范围为 ．
若空间向量和的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．用向量法证明
求证：平面；
求证：平面．
本小题分
如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．
求证：平面．
本小题分
如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．
求证：平面．
本小题分
在直三棱柱中，，，点，，分别为，，的中点．
判断直线与平面的位置关系，并给予证明．
本小题分
已知空间中三点，，．
若，，三点共线，求的值；
若，的夹角是钝角，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量相等，平行的概念，线面角，直线于平面的距离，属于基础题．
通过空间向量的定义，平面法向量与直线方向向量以及线面角之间的关系，直线上点到平面的距离，逐一判断即可．
【解答】
解：空间中，任意两个单位向量模长相等，但方向不确定，从而不一定相等，错误；
空间向量是自由向量，向量共面表示三个向量所在的有向线段所在的直线可以平移到同一平面内，但三个有向线段所在的直线未必在同一平面内，错误；
若直线的方向向量与平面的法向量夹角等于，则直线与平面所成角为，正确；
若直线与平面平行，则直线上任意一点与平面内任意一点的距离大于等于直线与平面的距离错误．
从而正确的命题有个．
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量共面定理、空间中直线与平面的位置关系，是基础题．
根据题意得出共面，由此即可求出结果．
【解答】
解：，
共面，
与平面平行或在平面内，
平面或平面．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量共面的问题．
利用存在实数，，使得平面或平面，结合充分必要条件的定义即可求解．
【解答】
解：若平面，则共面，故存在实数，，使得，所以必要性成立；
若存在实数，，使得，则共面，则平面或平面，所以充分性不成立；
所以“存在实数，，使得是“平面”的必要不充分条件，
故选：
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分必要条件的判断，考查两个非零向量共线的充要条件，是基础题．
根据在一条直线上的两向量的方向不一定相同可判断；举例说明B错误；由两向量垂直与坐标的关系判断；由共线向量基本定理判断．
【解答】
解：两个非零向量与在一条直线上，方向不一定相同，故A错误；
取，，满足与在一条直线上，
但，故B错误；
是两非零向量垂直的充要条件，故C错误；
向量与共线的充要条件是存在实数，使，本题中与均为非零向量，则这两个向量在一条直线上的充要条件是存在非零实数，使，故D正确．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的夹角与数量积的关系、向量共线定理，属于基础题．
首先根据两个向量的夹角为钝角，可得关系式，且不能反向共线，解出即可
【解答】
解：由与的夹角为钝角，得，解得．
又因为当时，，，与共线，不符合题意，
所以的取值范围是
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断与平面向量共线的充要条件与空间向量共面的充要条件，考查向量加减法运算及向量共线的判断，属中档题．
利用平面向量共线的充要条件判断，，利用空间向量共面的充要条件判断，根据向量加减法运算，三点共线的向量关系和充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：对，向量，同向时，，
不是充要条件，A错误；
对，若，共线则或与重合，故B错误；
对，，故C正确；
对，若，则，即，显然，，，三点共线；
若，，三点共线，则有，
故，整理得，
令，，即．
故是，，三点共线的充要条件，故D错误．
故选ABD．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量共面定理的应用和向量垂直的判定，考查了计算能力，属于中档题．
利用向量共面定理以及向量垂直即可判断出正误．
【解答】
解：对于，由向量共面定理即可判断出，故A正确；
对于，因为，所以，所以与垂直，故B正确；
对于，因为，两边同时平方得，
所以，故C错误；
对于，若 共线， 不与 共线，
则不存在实数，，使 ，故D错误．
故选AB．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查空间向量的共线、共面向量定理，属于中档题．
根据空间向量的共线、共面向量定理逐个判断正误，即可得到答案．
【解答】
解：对，若时，与不一定共线，故A错误；
对，若 ， ，则 ，
但不存在实数 ，使得 ，选项错误；
对，对空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ，
若、、、四点共面，可设，其中、，
则，可得，
由于，，
此时，、、、四点共面，故C正确；
对于，若两个非零空间向量，，满足，
则，所以，故D正确．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量基本定理，空间向量平行及四点共面问题，属于基础题．
根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此逐项分析，即可得出答案．
【解答】
解：选项由空间向量基底的概念可知A正确；
选项如图，
非零向量，，满足，，但，故B错误；
选项由于，
所以，
因此，因此，，，四点共面，故C正确；
选项假设向量，，也是空间一组基底，
则空间中的任何一个向量，存在唯一实数组，
使得，
即，
则，，也是空间的一组基底，故D正确，
故选：．
10.【答案】平面或平面
【解析】
【分析】
本题主要考查利用直线的方向向量和平面的法向量判断线面的位置关系，
计算出，进而得出结论．
【解答】
解：直线的方向向量，平面的法向量
，
则，
平面，或平面．
故答案为平面或平面．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，空间向量的夹角，属于中档题．
由题意求出，，，根据与的夹角为钝角，可得且，结合数量积运算列不等式求出实数的取值范围．
【解答】
解：，，，，
设与的夹角为，因为夹角为钝角，
则与不共线且，
由得，
整理得，
解得，
由与不共线，得，
故答案为．
12.【答案】，且
【解析】
【分析】
本题考查实数的取值范围的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由与的夹角为钝角，得到，且，由此能求出实数的取值范围．
【解答】
解：向量，，且与的夹角为钝角，
，且，
解得，且，
实数的取值范围为，且．
故答案为，且．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的夹角，向量共线定理，以及向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
由的夹角为锐角，可得，且不能同向共线，求解即可得出答案．
【解答】
解：由题意知，，
的夹角为锐角，
，且不能同向共线，
解得，．
则的取值范围为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间两向量的夹角为锐角的等价条件，考查空间向量数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，属于基础题．
根据两向量夹角为锐角可得到两向量的数量积大于，且不能共线，利用坐标表示列不等式求解即可．
【解答】
解：空间向量和的夹角为锐角，
则且与不共线，
所以且．
故答案为：．
15.【答案】证明：平面平面，平面平面，
，平面，
平面．
以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，．
为的中点，，
则，，，
，
故，，共面．
又平面，
平面．
，，，
，．
又，．
又，，平面，
平面．
【解析】本题考查了直线和平面平行以及直线和平面垂直的判断，是中档题．
建立空间直角坐标系，写出各点坐标，得到，故，，共面，即可证明平面；
利用直线和平面垂直的判定定理只需证明和平面内的两条相交直线垂直即可．
16.【答案】证明：依题意，平面，四边形是正方形，
如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．
依题意，可得，，，
，，，．
取的中点，连接．
因为，，，
所以，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
【解析】本题考查线面平行的证明，考查向量法的应用，属于中档题．
以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，取的中点，连接推导出，由此能证明平面．
17.【答案】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，，，，．
又因为，分别为和的中点，
所以 ，，．
依题意，可得为平面的一个法向量，，
由此可得．
又因为直线 ，
所以平面．
【解析】本题考查了平面的法向量，利用空间向量判定线面垂直、平行关系，属于中档题．
利用平面的法向量概念得平面的法向量，再利用空间向量判定线面平行得结论．
18.【答案】解：如图建立空间直角坐标系，令，
则，，，，．
直线平面．
证明如下：，平面的法向量为，
，平面，
平面．
【解析】本题考查利用空间向量解决立体几何问题，属于中档题．
先判断出平面，要证平面，只需证明向量与平面的法向量数量积为即可．
19.【答案】解：由题设，，又，，三点共线，
所以存在使，即，可得
所以．
由，
由知：当时，有；
而，
又，的夹角是钝角，
所以，可得；
又，
故．
【解析】本题考查空间向量的坐标运算，三点共线定理，利用空间向量的数量积求夹角，属于中档题．
求出、的坐标，再由三点共线，可得，进而求出、，即可得结果．
由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得，注意，即可求范围．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共5小题，共25.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
给出下列命题：空间中任意两个单位向量必相等；向量共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线在同一平面内；若直线的方向向量与平面的法向量夹角等于，则直线与平面所成角为；若直线与平面平行，则直线上任意一点与平面内任意一点的距离就是直线与平面的距离，其中正确命题的个数为( )
A. B. C. D.
若，则直线与平面的位置关系是( )
A. 相交 B. 平行 C. 在平面内 D. 平行或在平面内
已知，，，，是空间中的五个点，其中点，，不共线，则“存在实数，，使得是“平面”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
已知两个非零向量，，则这两个向量在一条直线上的充要条件是．( )
A. B.
C. D. 存在非零实数，使
若，，且与的夹角为钝角，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
下列命题中不正确的是( )
A. 是共线的充要条件
B. 若共线，则
C. 三点不共线，对空间任意一点，若，则四点共面
D. 若为空间四点，且有，则是三点共线的充分不必要条件
下列四个命题中真命题是( )
A. 若存在实数，，使，则与，共面
B. 直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直
C. 若两非零向量，满足，则
D. 若，，，共面，则存在实数，，使
在以下命题中，不正确的命题有( )
A. 若与共线，与共线，则与共线
B. 若，则存在唯一的实数，使
C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D. 若两个非零空间向量，满足，则
下列关于空间向量的命题中，正确的有( )
A. 若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；
B. 若非零向量，，满足，，则有；
C. 若，，是空间的一组基底，且，则，，，四点共面；
D. 若，，是空间的一组基底，则向量，，也是空间一组基底；
三、填空题（本大题共5小题，共25.0分）
直线的方向向量，平面的法向量，则直线与平面的关系为 ．
已知向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
若向量，，且与的夹角为钝角，则实数的取值范围为 ．
点，，，若的夹角为锐角，则的取值范围为 ．
若空间向量和的夹角为锐角，则的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共5小题，共60.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．用向量法证明
求证：平面；
求证：平面．
本小题分
如图，四边形是正方形，平面，，，，为的中点．
求证：平面．
本小题分
如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点．
求证：平面．
本小题分
在直三棱柱中，，，点，，分别为，，的中点．
判断直线与平面的位置关系，并给予证明．
本小题分
已知空间中三点，，．
若，，三点共线，求的值；
若，的夹角是钝角，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量相等，平行的概念，线面角，直线于平面的距离，属于基础题．
通过空间向量的定义，平面法向量与直线方向向量以及线面角之间的关系，直线上点到平面的距离，逐一判断即可．
【解答】
解：空间中，任意两个单位向量模长相等，但方向不确定，从而不一定相等，错误；
空间向量是自由向量，向量共面表示三个向量所在的有向线段所在的直线可以平移到同一平面内，但三个有向线段所在的直线未必在同一平面内，错误；
若直线的方向向量与平面的法向量夹角等于，则直线与平面所成角为，正确；
若直线与平面平行，则直线上任意一点与平面内任意一点的距离大于等于直线与平面的距离错误．
从而正确的命题有个．
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量共面定理、空间中直线与平面的位置关系，是基础题．
根据题意得出共面，由此即可求出结果．
【解答】
解：，
共面，
与平面平行或在平面内，
平面或平面．
故选D．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量共面的问题．
利用存在实数，，使得平面或平面，结合充分必要条件的定义即可求解．
【解答】
解：若平面，则共面，故存在实数，，使得，所以必要性成立；
若存在实数，，使得，则共面，则平面或平面，所以充分性不成立；
所以“存在实数，，使得是“平面”的必要不充分条件，
故选：
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查充分必要条件的判断，考查两个非零向量共线的充要条件，是基础题．
根据在一条直线上的两向量的方向不一定相同可判断；举例说明B错误；由两向量垂直与坐标的关系判断；由共线向量基本定理判断．
【解答】
解：两个非零向量与在一条直线上，方向不一定相同，故A错误；
取，，满足与在一条直线上，
但，故B错误；
是两非零向量垂直的充要条件，故C错误；
向量与共线的充要条件是存在实数，使，本题中与均为非零向量，则这两个向量在一条直线上的充要条件是存在非零实数，使，故D正确．
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的夹角与数量积的关系、向量共线定理，属于基础题．
首先根据两个向量的夹角为钝角，可得关系式，且不能反向共线，解出即可
【解答】
解：由与的夹角为钝角，得，解得．
又因为当时，，，与共线，不符合题意，
所以的取值范围是
故选B．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断与平面向量共线的充要条件与空间向量共面的充要条件，考查向量加减法运算及向量共线的判断，属中档题．
利用平面向量共线的充要条件判断，，利用空间向量共面的充要条件判断，根据向量加减法运算，三点共线的向量关系和充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】
解：对，向量，同向时，，
不是充要条件，A错误；
对，若，共线则或与重合，故B错误；
对，，故C正确；
对，若，则，即，显然，，，三点共线；
若，，三点共线，则有，
故，整理得，
令，，即．
故是，，三点共线的充要条件，故D错误．
故选ABD．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量共面定理的应用和向量垂直的判定，考查了计算能力，属于中档题．
利用向量共面定理以及向量垂直即可判断出正误．
【解答】
解：对于，由向量共面定理即可判断出，故A正确；
对于，因为，所以，所以与垂直，故B正确；
对于，因为，两边同时平方得，
所以，故C错误；
对于，若 共线， 不与 共线，
则不存在实数，，使 ，故D错误．
故选AB．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题重点考查空间向量的共线、共面向量定理，属于中档题．
根据空间向量的共线、共面向量定理逐个判断正误，即可得到答案．
【解答】
解：对，若时，与不一定共线，故A错误；
对，若 ， ，则 ，
但不存在实数 ，使得 ，选项错误；
对，对空间任意一点 和不共线的三点 、 、 ，
若、、、四点共面，可设，其中、，
则，可得，
由于，，
此时，、、、四点共面，故C正确；
对于，若两个非零空间向量，，满足，
则，所以，故D正确．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量基本定理，空间向量平行及四点共面问题，属于基础题．
根据空间向量基本定理，能作为基底的向量一定是不共面的向量，由此逐项分析，即可得出答案．
【解答】
解：选项由空间向量基底的概念可知A正确；
选项如图，
非零向量，，满足，，但，故B错误；
选项由于，
所以，
因此，因此，，，四点共面，故C正确；
选项假设向量，，也是空间一组基底，
则空间中的任何一个向量，存在唯一实数组，
使得，
即，
则，，也是空间的一组基底，故D正确，
故选：．
10.【答案】平面或平面
【解析】
【分析】
本题主要考查利用直线的方向向量和平面的法向量判断线面的位置关系，
计算出，进而得出结论．
【解答】
解：直线的方向向量，平面的法向量
，
则，
平面，或平面．
故答案为平面或平面．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的数量积运算，空间向量的夹角，属于中档题．
由题意求出，，，根据与的夹角为钝角，可得且，结合数量积运算列不等式求出实数的取值范围．
【解答】
解：，，，，
设与的夹角为，因为夹角为钝角，
则与不共线且，
由得，
整理得，
解得，
由与不共线，得，
故答案为．
12.【答案】，且
【解析】
【分析】
本题考查实数的取值范围的求法，考查向量的数量积公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
由与的夹角为钝角，得到，且，由此能求出实数的取值范围．
【解答】
解：向量，，且与的夹角为钝角，
，且，
解得，且，
实数的取值范围为，且．
故答案为，且．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的夹角，向量共线定理，以及向量的坐标运算，考查了计算能力，属于基础题．
由的夹角为锐角，可得，且不能同向共线，求解即可得出答案．
【解答】
解：由题意知，，
的夹角为锐角，
，且不能同向共线，
解得，．
则的取值范围为．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间两向量的夹角为锐角的等价条件，考查空间向量数量积的坐标表示和向量共线的坐标表示，属于基础题．
根据两向量夹角为锐角可得到两向量的数量积大于，且不能共线，利用坐标表示列不等式求解即可．
【解答】
解：空间向量和的夹角为锐角，
则且与不共线，
所以且．
故答案为：．
15.【答案】证明：平面平面，平面平面，
，平面，
平面．
以为原点，，，分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．
则，，，，，．
为的中点，，
则，，，
，
故，，共面．
又平面，
平面．
，，，
，．
又，．
又，，平面，
平面．
【解析】本题考查了直线和平面平行以及直线和平面垂直的判断，是中档题．
建立空间直角坐标系，写出各点坐标，得到，故，，共面，即可证明平面；
利用直线和平面垂直的判定定理只需证明和平面内的两条相交直线垂直即可．
16.【答案】证明：依题意，平面，四边形是正方形，
如图，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．
依题意，可得，，，
，，，．
取的中点，连接．
因为，，，
所以，所以．
又因为平面，平面，
所以平面．
【解析】本题考查线面平行的证明，考查向量法的应用，属于中档题．
以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系，取的中点，连接推导出，由此能证明平面．
17.【答案】解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
依题意可得，，，，，，，．
又因为，分别为和的中点，
所以 ，，．
依题意，可得为平面的一个法向量，，
由此可得．
又因为直线 ，
所以平面．
【解析】本题考查了平面的法向量，利用空间向量判定线面垂直、平行关系，属于中档题．
利用平面的法向量概念得平面的法向量，再利用空间向量判定线面平行得结论．
18.【答案】解：如图建立空间直角坐标系，令，
则，，，，．
直线平面．
证明如下：，平面的法向量为，
，平面，
平面．
【解析】本题考查利用空间向量解决立体几何问题，属于中档题．
先判断出平面，要证平面，只需证明向量与平面的法向量数量积为即可．
19.【答案】解：由题设，，又，，三点共线，
所以存在使，即，可得
所以．
由，
由知：当时，有；
而，
又，的夹角是钝角，
所以，可得；
又，
故．
【解析】本题考查空间向量的坐标运算，三点共线定理，利用空间向量的数量积求夹角，属于中档题．
求出、的坐标，再由三点共线，可得，进而求出、，即可得结果．
由向量夹角的坐标表示求，再根据钝角可得，注意，即可求范围．
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