利用空间向量解决空间直线、平面位置关系问题-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析）

利用空间向量解决空间直线、平面位置关系问题
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项利用空间向量解决空间直线、平面位置关系问题）
我国古代数学名著九章算术第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”今有“阳马”，，，分别为棱，的中点．以下四个结论：
平面；平面；平面平面；平面平面．
其中正确的是( )
A. B. C. D.
如图，已知、分别为正方体的棱、的中点，平面交棱于点，则下列结论中正确的是( )
A. 平面平面
B. 截面是直角梯形
C. 直线与直线异面
D. 直线平面
如图，正方形与矩形所在的平面互相垂直，，，在上，且平面，则点的坐标为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在正方体中，分别是的中点，则下列判断错误的是( )
A.
B. 平面
C. 平面
D.
二、多选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题有多项符合题目要求）
如图，在长方体中，，点为体对角线上的动点，则下列说法正确的是 ( )
A. 当时，，，三点共线
B. 当时，
C. 当时， 平面
D. 当时，平面
在正方体中，点是底面的中心，则( )
A. 平面 B. 与所成角为
C. D. 平面
如图，在边长为的正方体中，分别是棱的中点，则下列结论中正确的是( )

A. 平面 B.
C. 平面 D.
三、填空题（本大题共1小题，共5.0分）
如图，直三棱柱一中，侧棱长为，，，是的中点，是上的动点，，交于点，要使平面，则线段的长为__________．
四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图所示，平面平面，且四边形为平行四边形，，四边形为直角梯形，，，，，．
求证：；
若线段上存在一点，满足平面，求的值；
本小题分
如图，正方形与梯形所在的平面互相垂直，，，，，为的中点．
求证：平面；
求证：平面．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间直线与平面、平面与平面的垂直的判定，属于中档题．
可建立空间直角坐标系，之后可令，得出相关点的坐标，最后利用空间向量逐一对题中四种说法进行论证．
【解答】
证明：因为“阳马”，
平面．
又平面，平面，
，
建立如图空间直角坐标系，
令，
则，
，分别为棱，的中点，
，
，
所以与平面不垂直，错误；
，，
所以
又，，
，正确；
，
令平面的法向量为，
则，即
取，则，
故．
同理可得平面，平面法向量分别为，
，，
平面与平面不垂直错误
，，
平面平面，正确．
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量判定面面平行、线面垂直、截面的形状，以及异面直线的判定，属于较难题
建立空间直角坐标系，对各选项逐一判定正误，即可得到答案．
【解答】
解：分别延长，交于点，连接交于点，
为正方体的棱的中点，是的中点，
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，，，，，，
则，，，，
设平面的法向量，
则，令，
则，，即，
设平面的法向量，
则
令，则，，即，
不是共线向量，平面和平面不平行，故A错误；
，且与相交，
截面是梯形，又，与不垂直，
截面是梯形但不是直角梯形，故B错误；
、分别为正方体的棱、的中点，
，又，，
，，，四点共面，直线与直线共面，故C错误；
由，，可知，
则，，
，，，平面，
直线平面，故D正确．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面平行的性质，属于中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．
设、交于点，连结，由已知推导出，，由此能求出点的坐标．
【解答】
解：如图，
设点的坐标为，，连接，
则，又，，
，，
平面，平面，平面平面，
，，
解得，点的坐标为，
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查利用向量证明线面垂直，线面平行，线线垂直，线线平行，属于中档题．
建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求解．
【解答】
解：如图，建立空间直角坐标系：
设正方体棱长为，
则，，，
，，，，
则，，
，，
，，故A正确；
，，
，，平面，
平面，故B正确；
根据，可知，
和不平行，故和不平行，故D错误；
易求得平面法向量为，
则，又平面，
平面，故C正确；
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是利用空间向量证三点共线，线线垂直，线面平行，线面垂直，属于中档题．
根据空间向量证明三点共线，线线垂直，线面平行，线面垂直的方法逐一判断即可得出答案．
【解答】
解：建立如图所示的空间直角坐标系：
则 ，
，
设 ，
可得 ，
对于：当 时，点为对角线 的中点，根据长方体的结构特征，为体对角线的中点，因此也是中点，所以 三点共线，故A正确；
对于：当 时， ，
，解得 ，
则 ，
因此 不正确，故B错误；
对于：当 时， ，
设平面 的法向量为 ，
，

当 时， ，
故 ，
，
平面 ，故C正确；
对于：当 时，可得 ，
， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，
取 ，则 ，
，
，
平面 ，故D正确，
故选ACD．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力等核心素养，属于较难题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设正方体中棱长为，利用向量法能求出结果．
【解答】
解：在正方体中，点是底面的中心，
对于，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设正方体中棱长为，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
，且平面，
平面，故A正确；
对于，，，
，
与所成角为，故B正确；
对于，，，
，，故C正确；
对于，
，，
，
与不垂直，又平面，
与平面矛盾，
平面不成立，故D错误．
故选ABC．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量判断线、面垂直和平行关系，属于中档题．
建立空间直角坐标系，利用向量法逐个判断即可．
【解答】
解：以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则 ，
则
设平面的一个法向量为，
由，可得，
故，故，
故平面，故A正确；
因为，故，故B正确，D错误；
因为，故平面，故C正确；
故选ABC．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线段长的求法，线面垂直的向量表示，属于中档题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出线段的长．
【解答】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
由题意，，
，，，设，，
，，，
平面，
，即
，解得．
线段的长为．
故答案为．

9.【答案】证明：平面平面，平面平面，
，平面，
平面，
如图，以为原点，平面内过点垂直于的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，
，，，，，
，
，
；
解：设，
则，
设平面的法向量为，
则
由题意可知，显然，
取，则，
若平面，则，
即，解得，
线段上存在一点，满足平面，此时．
【解析】本题考查面面垂直的性质，线面平行的向量表示，属于中档题．
建立空间直角坐标系，求出直线及直线的方向向量，利用两向量的数量积为，即可得证；
设，根据题设数据，求出平面的一个法向量，以及直线的方向向量，利用平面，建立关于的方程，解出即可．
10.【答案】解：平面平面，平面平面，，平面，
平面．
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系
则，，，，，
为的中点，
则，，
，故共面
又平面，平面
，，，
，．
又，．
又，，平面，平面．

【解析】本题考查的是空间中平行与垂直的证明，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
以为坐标原点，分别为轴，轴，轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，然后可得，即可证明；
利用向量证明，即可．
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