平面与平面所成的角-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析）

平面与平面所成的角
一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
如图，在直三棱柱中，，若点在棱上，二面角的大小为，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，在四棱锥中，平面平面，且底面是矩形，若，，则二面角的余弦值是
A. B. C. D.
如图所示，是棱长为的正方体，，分别是棱，上的动点，且当，，，四点共面时，平面与平面所成夹角的余弦值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
正方形沿对角线折成直二面角，下列结论正确的有( )
A. 与所成的角为
B. 与所成的角为
C. 与面所成角的正弦值为
D. 平面与平面的夹角的正切值是
在长方体中，，，，以为原点，以，，分别为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系，则下列说法正确的是( )
A.
B. 异面直线与所成角的余弦值为
C. 平面的一个法向量为
D. 二面角的余弦值为
三、填空题（本大题共1小题，共5.0分）
如图，在长方体中，，，点在棱上，若二面角的大小为，则 ．
四、解答题（本大题共4小题，共48.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，在中，，，分别为棱，的中点，将沿折起到的位置，使，如图，连结，．
求证：平面平面；
线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
本小题分
如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面，，，是的中点．
证明：直线平面：
点在棱上，且直线与底面所成角为，求二面角的余弦值
本小题分
四面体中，，是上一动点，、分别是、的中点．
当是中点，时，求证：；
，当四面体体积最大时，求二面角的平面角的正弦值．
本小题分
如图，是边长为的正方形，平面，，，与平面所成角为．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二面角及空间距离，考查逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题，
以为轴建立坐标系，则，从而可得平面的法向量、平面的法向量，根据二面角的大小为，即可求得的长．
【解答】
解：以为轴建立坐标系，
则，
平面的法向量为，
设平面的法向量为
即 ，得
令，得平面的法向量为，
则，
．
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用空间向量求二面角的大小，属于中档题．
在平面内作，垂足为，可得平面，以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式即可求解．
【解答】
解：在平面内作，垂足为，
可得平面，
以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长度，建立空间直角坐标系．
由已知可得，，，，
所以，，，．
设是平面的法向量，
则
即
取，得
设是平面的法向量，
则即
取，得，
则，，
知二面角为钝角，
所以二面角的余弦值为．
故选 B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，是中档题．
建立空间直角坐标系，由题意知：当，时，，，、共面，由此利用向量法能求出平面与平面所成锐二面角的余弦值．
【解答】
解：以为原点，，， 所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，
由题意知：当，时，，，、 共面，
设平面的法向量为，
，，，
，，
则，取，得，
设平面的一个法向量为，
，，
则，取，得，
设平面与平面所成锐二面角为，
则，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间角的计算，一般根据几何体的特征合理建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量、平面的法向量的夹角来计算空间角的大小，本题属于中档题．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，求出各选项中的直线的方向向量、平面的法向量后可得向量的夹角的余弦值，从而得到相应的空间角的三角函数值．
【解答】
解：取的中点，连接，则，
正方形沿对角线折成直二面角，故平面平面，
而平面平面，平面，故平面．
以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，，，，，．
，
因为，故，
异面直线与所成的角为，故A错误；
，，故B正确；
设平面的法向量为，
则
取，得，
，
设与面所成角为，
则，故C错误；
易知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则取
得，，设两个平面的夹角为为锐角，则，故，故．
平面与平面的夹角的正切值是，故D正确．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的应用，涉及异面直线所成角，二面角，平面的法向量．
由题意标出各点坐标，由向量的坐标表示可判断；由异面直线所成角的向量表示可判断；由平面的法向量可判断；求得平面 的一个法向量和平面 的法向量，由向量的夹角公式可判断．
【解答】
解：由题意可得， ， ， ， ， ， ，，
选项A所以 ，则A正确；
选项B ， ，
所以 ，
所以异面直线与所成角的余弦值为 ，则不正确；
选项C：设平面 的一个法向量为 ，
由， ，
则 ，所以 ，
取 ，得 ，则C正确；
选项D：由上可得平面 的一个法向量为 ，
又平面 的法向量为，
则 ，
又二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 ，则D正确．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量求二面角，属于中档题．
建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，利用向量的夹角公式进行求解即可．
【解答】
解：以点为坐标原点，分别以、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设．
则，，，，．
，
，
，
设平面的法向量为，
可得，，
即，
令，则，，
，
平面，
可取作为平面的法向量，
由题意可得，即，解得．
其中不符合题意，应舍去，．
．
故答案为．

7.【答案】证明：因为，分别为，中点，
所以，
因为，
所以，
所以，
因为，
所以，
又因为，，平面，
所以平面，
又因为平面，
所以平面平面；
解：因为，，，所以，，两两互相垂直，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意由，，，，
假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为，
设，，
则，
即，
所以，
，，
易得平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量，
则有
令，则，
若二面角的余弦值为，
则有
，
由，解得．
故线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且．
【解析】本题考查面面垂直的证明，利用空间向量法求二面角的余弦值解决探索性问题，属于拔高题．
推导出，，则可得，，从而平面，由此能证明平面平面；
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，假设线段上存在一点，使二面角的余弦值为求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出线段上存在一点，使二面角的余弦值为，且．
8.【答案】解：证明：取的中点，连接，，
因为是的中点，
所以，，
又，，
，
，
四边形是平行四边形，
可得，
又平面，平面，
直线平面；
如图所示，取中点，连接，，
由于为正三角形，则，
因为侧面底面，平面平面，侧面，
所以平面，
又平面，
所以．
因为，且，
所以四边形是矩形，
所以，
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
不妨设，则，．
又因为为直角三角形，，
所以．
作，垂足为，连接，
因为，所以，
又平面，所以平面，
所以即为直线与平面所成的角，即．
设，因为，
所以，．
因为，所以，
即，解得，
所以，，
所以，，，，
则，，．
设平面的法向量为，
则，即
可取，则，
又平面的法向量可令，
所以．
因为二面角是锐二面角，
所以其余弦值为．
【解析】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，空间向量求二面角夹角，考查空间想象能力以及计算能力，属于拔高题．
取的中点，连接，，通过证明，利用直线与平面平行的判定定理证明即可．
取中点，连接，，作，垂足为，以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，即可求出二面角的余弦值．
9.【答案】解：取的中点，连接，，，连接，过作 的平行线交 于点，
，，
此三棱锥是正四面体，
为的中心，平面，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
可知， ，，，，
，，，，，，，
， ，
，
；
如图，取的中点，连接，，，
，
， 均为等边三角形，
，，
，平面，
平面，
，
设 ，
则 ，，
，
，
当 ，即 时，四面体体积有最大值，
此时， ，
，
为等腰直角三角形，即，
如图，以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，
，，，，
，，，
设平面的法向量为 ，由 ，得，
，
取，
设平面的法向量为 ，由 ，得，
取，
设二面角的平面角为，
，
，
故二面角的平面角的正弦值是．

【解析】本题考查了利用空间向量判定线线的垂直和求二面角，属于难题．
当时，四面体是正四面体，通过正四面体的性质建立空间直角坐标系，通过计算得，从而得证．
取的中点，连接，，，易证明，设，利用勾股定理计算得到，利用体积公式，进行求解即可．
10.【答案】Ⅰ证明：因为平面，平面，
所以，在正方形中，，
因为
所以平面；
Ⅱ解：因为，，两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示，
因为与平面所成角为，即，
所以，
由，可知，，
则，，，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，
因为平面，
所以为平面的一个法向量，，
所以，
因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．

【解析】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，属于中档题．
Ⅰ因为平面，所以，因为是正方形，所以，从而平面；
Ⅱ建立空间直角坐标系，分别求出平面的法向量为和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．
第1页，共1页