2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册异面直线所成角-重难点挑战（有答案）

异面直线所成角
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
已知四棱锥，底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面，点是线段上的动点不含端点，若线段上存在点不含端点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是( )
A. B. C. D.
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，，，，，点为的中点，点在的延长线上且，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
如图，已知是正的中位线，沿将折成直二面角，则翻折后异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
已知与所在的平面互相垂直，，，，则直线与所成的角的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与是平行直线
B. 直线与是异面直线
C. 直线与所成的角为
D. 平面截正方体所得的截面面积为
如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，则( )
A.
B.
C. 向量与的夹角是
D. 与所成角的余弦值为
三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
在平行六面体中，，，，，，则与夹角的余弦值为 ．
正方体中，点在线段上运动包括端点，则与所成角的取值范围是
四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，四边形为菱形，，，是平面同一侧的两点，平面，平面，，．
证明：平面平面；
求直线与直线所成角的余弦值．
本小题分
在正方体中，已知为中点，如图所示．
求证：平面
求异面直线与 夹角的余弦值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了利用空间向量解决异面直线夹角问题，考查空间想象能力，属于较难题．
取中点，建立空间直角坐标系，利用空间向量法结合异面直线与成的角，故，即可求解．
【解答】
解：已知底面是边长为的正方形，是以为斜边的等腰直角三角形，
平面，取中点，连接，
平面，故AB，
是以为斜边的等腰直角三角形，为中点，故，
而，且，底面，故底面，
而底面为正方形，故AD，
建立如图空间直角坐标系，
依题意，，，，，
设，，
设，，
故，
又，异面直线与成的角，
故，
即，
即，而，
故，即，得，
而
而，故，
而点是线段上的动点不含端点，故，
故
故选 B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查异面直线所成的角，根据空间向量求解即可，属于中档题．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量法，根据即可求出答案．
【解答】
解：在三棱柱中，因为侧棱垂直于底面，且，
所以以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系．
由，，，得，
所以，，，，．
由，得，
所以，，
所以异面直线与所成角的余弦值为．
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角，二面角，考查利用空间向量求线线、线面和面面的夹角，考查空间思维能力及计算能力，属于中档题．
以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，设异面直线与所成角，根据，计算求解即可得到答案．
【解答】
解：因为为正三角形，为中点，
所以，，
又，、平面，
所以平面，
又二面角为直二面角，
所以 ，
以为原点，分别以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
设正三角形的边长为，
则，
，
设异面直线与所成角为，
，
故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查面面垂直的性质、线线角的求解、空间向量的坐标运算、空间向量的应用等基础知识，属于基础题．
在上取点使得，可得，结合面面垂直的性质建立空间直角坐标系，利用向量法求线线角即可．
【解答】
解：如图所示，
在边上取点，使，则由于，连接得到，
由于平面平面，平面平面，，所以平面，
经计算，易得，，，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，，
故直线与所成的角的余弦值为．
故选D．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，
考查运算求解能力，是中档题．
对于，建立空间直角坐标系，求出 和的坐标，可得与是否是平行直线；
对于，易知，又平面，平面，所以平面，
又平面，且，可判断直线与是异面直线；
对于，求得，的值，可得与所成的角；
对于，先判断平面截正方体所得的截面为等腰梯形，求出它的高，可得截面的面积．
【解答】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，， ，，
，．
，分别为棱，的中点，、，
则，，
和不共线，故A错误；
易知，又平面，平面，所以平面，
又平面，且，故直线与是异面直线，故B正确；
，，
，，
，，
直线与所成的角为，故C正确；
连接，易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形，
正方体棱长为
，，，
等腰梯形的高为，
，故D正确．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量求长度、夹角、判断垂直等应用，属于中档题．
应用空间向量的加减法运算，选取向量为基底，对每一选项进行逐一判断即可得到答案．
【解答】
解：因为以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，
所以，
，
则，所以A正确；
，所以B正确；
显然为等边三角形，则．
因为，且向量与的夹角是，所以与的夹角是，所以不正确；
因为，
所以，
，
所以，所以不正确．
故答案选：．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间向量的线性运算法则与运算律、数量积的运算，属于中档题．
由表示出，再结合空间向量的夹角公式计算即可．
【解答】
解：设，则，
同理，，
平行六面体中，，
，；
则，，，
设直线和所成角为，
则．
所以与夹角的余弦值为．
故答案为：．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角的取值范围的求法，是中档题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与所成角的取值范围．
【解答】
解：设与所成角为．
如图所示，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设．
则，，，，，
，，．
设，
则，，
，
，
与所成角的取值范围是
故答案为：

9.【答案】解：连接，设，
连接、、，
在菱形中，
不妨设，
由，
可得，
由平面，、在平面内，
则，，
又，
可知，又，
所以，
所以，且，
又，所以，
因为平面，在平面内，
则，
在直角三角形中，可得，
在直角梯形中，由，，，
可得，
从而，则，
由，，
可得平面，
由平面，所以平面平面；
如图，以为坐标原点，分别以，为轴，轴，为单位长度，建立空间直角坐标系，
由可得，，
，，
即有，，
故，
．
则直线与直线所成角的余弦值为．
【解析】本题考查空间直线和平面的位置关系和空间角的求法，主要考查面面垂直的判定定理和异面直线所成的角的求法：向量法，考查运算能力，属于中档题．
连接，设，连接、、，运用线面垂直的判定定理得到平面，再由面面垂直的判定定理，即可得到；
以为坐标原点，分别以，为轴，轴，为单位长度，建立空间直角坐标系，求得，，，的坐标，运用向量的数量积的定义，计算即可得到所求角的余弦值．
10.【答案】证明：在正方体中，因为，，两两垂直，
故以为原点，为，，轴的正方向建立空间直角坐标系如图：
所以，
故，，
设平面的一个法向量为，
由得
令，则，
所以．
又，，所以，
从而，
所以平面
解：设、分别为直线与的方向向量，
则由，得．
所以两异面直线与的夹角的余弦值为．

【解析】本题主要考查了利用空间向量证明线面平行以及异面直线的夹角求解，属于中等题．
根据题意建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求解平面的一个法向量即可得证；
写出的坐标，根据空间向量的夹角计算公式即可得解．
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