2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册直线与平面所成的角-重难点挑战（有答案）

直线与平面所成的角
一、单选题（本大题共3小题，共15.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
在正方体中，是中点，点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
将边长为的正方形及其内部绕旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧，则直线与平面所成的角的正弦值为( )
A. B. C. D.
如图，在三棱柱中，侧棱垂直于底面，底面是边长为的正三角形，侧棱长为，则与平面所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
如图，已知正三棱柱的侧面是边长为的正方形，，分别是，的中点，则下列结论正确的是 ( )
A. 直线与平面所成角的余弦值为
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 直线与平面所成的角为
D. 直线与平面所成的角为
如图，在四棱柱中，底面为正方形，侧棱底面，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成角为，则的取值可能是( )
A. B. C. D.
三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
如图，由直三棱柱和四棱锥构成的几何体中，，，，，平面平面．为线段上一动点，当 时，直线与平面所成角的正弦值为．
已知正方体的棱长为，是面的中心，点在棱上移动，则的最小值时，直线与对角面所成的线面角正切值为 ．
四、解答题（本大题共3小题，共36.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，，为线段，上一点且不为端点
当为线段中点时，，求证：平面．
当为线段中点时，是否存在，使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在求出的值，不存在说明理由．
本小题分
如图，在梯形中，，，，分别是，的中点，且沿将折起至，连接，，得到多面体，是的中点，是上一点，且．
证明：平面平面F.
若，求直线与平面所成角的正弦值．
本小题分
如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，．
若，试证；
在的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值为．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量与线面角的计算，属于中档题．
设，以为原点建立坐标系，则为平面的法向量，求出和的坐标，得出，为关于的函数，根据二次函数的性质得出的取值范围．
【解答】
解：设正方体边长为，．
以为原点，分别以，，所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，
则，，，，
，
平面，平面，
，
又，，平面，
平面，又平面，
可得，
同理可得，且，
，平面，
可得平面，
是平面的一个法向量．
．
当时取得最大值，当或时，取得最小值．
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面角的求法，属于基础题．
先根据题意建立空间直角坐标系，并确定与平面的法向量，即可求得线面角的正弦值．
【解答】
解：因为长为，长为，，
所以，，
如图所示，以为坐标原点建系，
则，，，，
平面的法向量为，且，
设直线与平面所成的角为，
则
，
．
故选：．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运用求解能力，是中档题．
以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与平面所成的角．
【解答】
解：以为原点，在平面中过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
则，，
，，
，，
，
设平面的法向量，
则
取，得，
设与平面所成的角，，
则，
．
与平面所成的角为．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与平面所成角，考查空间向量的运用，属于中档题．
以为坐标原点，直线、、分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行判断即可．
【解答】
解：由题意知正三棱柱的的所有棱长都为，
是边长为的正三角形，且，
，且，
平面平面，平面平面，平面，
平面，
取中点，连结，则在正方形中，，
以为坐标原点，直线、、分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，
，，，，
则，，，
平面的法向量，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
，
故线与平面所成角的余弦值为，故A正确，B错误
设平面的法向量
故可得
设，则，，则
设直线与平面所成的角为，
则，
故可得直线与平面所成的角为，
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与平面所成的角，考查空间想象能力，属于中档题．
以，， 所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，设，通过，得到，
，所以 ．
【解答】
解：以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则点，，，
设，则 ， ，
因为，所以 ，
所以，
所以，
连接，
则
，
易得：平面，
所以即为与平面所成的角，
所以 ，
所以的最大值为．
故选AB．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中面面垂直的性质定理，利用空间向量求线面角问题，属于拔高题．
取中点，连接，建立空间直角坐标系，则，，，，求出平面的一个法向量为，设，则，依题意得，化简即可求解，
【解答】
解：取中点，连接，
因为，所以，
而平面平面，平面平面，平面，
则平面，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，
得
设平面的一个法向量为，
则，得，令，则，
得，
因为为线段上一动点，设，
则
，
由直线与平面所成角的正弦值为，得
，
得，
化简得，，
得，
因为，
所以，
则，
得．
故答案为．

7.【答案】
【解析】
【分析】
由题意画出图形，可知当为的中点时，最短，然后利用空间向量求解直线与对角面所成的线面角正切值．
本题考查空间中线面角的求法，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．
【解答】
解：如图，则当为的中点时，最短，
以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，
由图可知，平面的一个法向量为，
则与对角面所成的正弦值
．
，．
故答案为．

8.【答案】证明：由题意可知，平面，，平面，所以，，
又，所以，，两两垂直，故以为正交基底建立空间直角坐标系，
，，，，，，
显然平面的法向量，则，
又不在平面内，所以平面；
假设存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，，，
，，，
则，
设平面的法向量为，，
，不妨设，则，
，
设直线与平面所成角为，则，
解得或舍去，所以．

【解析】本题考查直线与平面平行的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查空间想象能力以及计算能力，是基本知识的考查，中档题．
以为正交基底建立空间直角坐标系，平面的法向量，，所以平面；
设，平面的法向量为，由，求出的值即可．
9.【答案】证明：因为，，分别是，的中点，所以．
又，所以又，是的中点，所以，所以四边形
和四边形均为平行四边形，所以，．
又平面，平面，所以平面F.
同理可得，平面F.又，平面，平面，所以平面平面F.
解：在多面体中，易知，E.又，所以平面，所以平面，所以．
由易知，因为，所以又，
所以．
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，．
设平面的法向量为，
则令，得
设直线与平面所成的角为，
则，，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
【解析】本题主要考查面面平行的判定，利用空间向量求线面角的正弦值，属于中档题．
10.【答案】证明：在中，为中点且，．
平面平面交线为，
平面，平面，
．
，分别为，的中点，
．
在直角和直角中，，，
，，
，
，，平面，
平面，平面，
．
解：平面，由得，，三线两两垂直，以为原点，
以为，，轴建立空间直角坐标系如图，
则，，，，，，
，．
设平面的一个法向量为，则
即
令得，，
设，，则，
，，
设直线与平面所成的角为，
则，
化简得
解得：或，
即：为的三等分点靠近或与重合时，线段与平面所成角的正弦值为．

【解析】本题考查线面垂直的判定与性质，线面角，属于中档题．
先证平面，得，结合已知条件得出，根据及勾股定理的逆定理，得出，进而得出平面，即证．
建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量和直线的方向向量，再由向量的夹角公式可求出线面角，即可求解该问题．
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