数学人教A版(2019)选择性必修第一册2.4.2圆的一般方程（共25张ppt）

(共25张PPT)
2.4圆的方程
2.4.2圆的一般方程
课程标准
回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索与掌握圆的一般方程
复习回顾
问题1 圆的标准方程是什么？
问题2 如何判断点与圆的位置关系？
（1），点在圆上
（2），点在圆外
（3），点在圆内
d为定点与圆心的距离，r为半径
新课导入
导
直线的方程中有标准方程与一般式方程。在圆的方程表达式中也是有标准方程与一般式方程。
这节课，我们将在上节课的基础上学习圆的另一种方程表达式：一般式方程。
一
二
三
教学目标
在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程
能根据某些具体条件，运用待定系数法求圆的方程
一般式方程与标准方程的互换，能在方程中观察出圆的几何要素:圆心与半径
教学目标
难点
重点
易错点
新知探究一：圆的一般方程
问题2方程表示的圆是怎样的？
以(1，2）为圆心，2为半径的圆.
变形为
配方
新知探究一：圆的一般方程
圆的标准方程:
(x-a)2+(y-b)2=r2
圆心C(a,b),半径r
问题3：把(x-a)2+(y-b)2=r2展开，会得到怎样的式子？
-
2
2
2
2
2
2
0
2
=
-
+
+
-
+
r
b
a
by
ax
y
x
我们能否将以上形式写得更简单一点呢？
由于 a, b, r 均为常数，所以
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式
新知探究一：圆的一般方程
问题4：是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线都是圆呢？
尝试： 判断下列方程分别表示什么图形？
圆
圆心为(1,-2), 半径为2
点(1, 2)
不表示任何图形
(3)x2+y2-2x-4y+6=0
(1)x2+y2-2x+4y+1=0
(2)x2+y2-2x-4y+5=0
由此可知：形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的方程表示不一定都表示圆.
问题5：方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 在什么条件下表示圆？
(1)当D2+E2-4F>0时, 表示以( )为圆心,以( )为半径的圆
(3)当D2+E2-4F<0时，方程无实数解，所以不表示任何图形.
(2)当D2+E2-4F=0时,方程只有一组解 ，表示一个点( )
新知探究一：圆的一般方程
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的左边配方, 并把常数项移到右边, 得
因此, 当 时, 方程①表示一个圆, 我们把方程①叫做圆的一般方程.
概念生成
因此，当时，方程表示一个圆．
我们把方程叫做圆的一般方程.
说明：① 与系数相同并且不等于0；
②没有这样的二次项；
③圆心为，半径为
问题5 圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？
圆的标准方程：
圆的一般方程：
圆的标准方程明确给出了圆心坐标和半径
圆的一般方程则明确表明其形式是一种特殊的二元二次方程．
新知探究二：直线的标准方程与一般方程的特点与区别
两种方程的字母间的关系：
新知探究二：直线的标准方程与一般方程的特点与区别
追问：思考:当D=0，E=0或F=0时，圆的位置分别有什么特点？
C
x
o
y
C
x
o
y
C
x
o
y
D=0
E=0
F=0
新知探究二：直线的标准方程与一般方程的特点与区别
解：(1) 圆心坐标为(3, 0), 半径长为3；
(2) 圆心坐标为(0, -b), 半径长为|b|；
1. 求下列各圆的圆心坐标和半径:
课本P88
课堂练习
解：(1) 方程表示一个点(0, 0)；
(2) 方程表示圆心坐标为(1, -2), 半径长为1的圆；
2. 判断下列方程分别表示什么图形，并说明理由:
课本P88
课堂练习
新知探究三：根据已知条件求圆的方程
圆的方程常用待定系数法
例1 求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.
解1：(待定系数法)
设过O, M1, M2的圆方程为
则
∴过O, M1, M2的圆方程为
解2：(待定系数法)
设过O, M1, M2的圆方程为
则
∴过O, M1, M2的圆方程为
对比两种待定系数法求方程的区别优劣？
求圆的方程常用待定系数法, 其大致步骤是:
(1) 根据题意, 选择标准方程或一般方程;
(2) 根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组;
(3) 解出a, b, r或D, E, F, 得到标准方程或一般方程.
解3：
例1 求过三点 O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程及圆的半径和圆心坐标.

l′

x
O(0,0)
y
M1(1,1)


M2(4,2)
l
新知探究三：根据已知条件求圆的方程
一般地，求圆的方程有两种方法：
(1) 待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程，根据条件列出关于a, b, r或D, E, F的方程组，求系数 .
(2) 几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解 . 常用的性质是圆的弦的垂直平分线必过圆心.
圆的标准方程：
圆的一般方程：
利用待定系数法求圆的方程，对于由已知条件容易求出圆心坐标或需用圆心坐标列方程的问题，一般采用圆的标准方程，否则用圆的一般方程.
求圆的方程的方法：
习题小结
3.如图, 在四边形ABCD中, AB=6, CD=3, 且AB//CD, AD=BC, AB与CD间的距离为3. 求等腰梯形ABCD的外接圆的方程, 并求这个圆的圆心坐标和半径.

A
B
D
C
-3
x
O
y
3
3
课本P88
课堂练习
例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动, 求线段AB的中点M的轨迹方程.

x
O
y
A


B(4,3)

M
1
3
4
注意：点M的轨迹方程是指点M的坐标(x, y)满足的关系式. 轨迹是指点在运动变化过程中形成的图形. 在解析几何中, 我们常常把图形看作点的轨迹(集合).
分析：
如图，点A的运动引起点M的运动，而点A在圆上运动
点A的坐标满足方程
建立点M的坐标与点A的
坐标之间的关系，就可
以利用点A的坐标所满足的关系式，求出点M的
轨迹方程.
(x+1)2+y2=4
新知探究三：根据已知条件求圆的方程
例2 已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动, 求线段AB的中点M的轨迹方程.

x
O
y
A


B(4,3)

M
1
3
4
解：(相关点代入法)
这就是点M的轨迹方程。
新知探究三：根据已知条件求圆的方程
例3 动点P与定点A(-1,0), B(1,0)的连线的斜率之积为-1，求点P的轨迹方程。
(直接法)
新知探究三：根据已知条件求圆的方程
方法总结：
求动点轨迹方程的常用方法：
（1）代入法：找到所求动点与已知动点的关系，带入已知 动点所在方程；
（2）直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。
例题小结
【巩固训练】已知线段AB的端点B的坐标是(4, 3), 端点A在圆(x+1)2+y2=4上运动,点M在直线AB上, 且满足 求点M的轨迹方程.

x
O
y
A


B(4,3)

M
1
3
4
解：
课堂练习
1. 圆心为(a，b)，半径为r 的圆的标准方程为：
方程特征：明确给出了圆的大小（半径）和圆的位置（圆心）.
---几何特征 .
2. 圆的一般方程为：
方程特征：突出了圆方程形式上的特点.
3.
求轨迹方的常用方法：代入法和直接法.
----代数特征 .
小结