2022-2023学年高一数学周测试题

2022-2023学年上学期高一数学周测（5）
一、单选题
1．设集合，或，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数y=f(x+1)的定义域是[-2，4]，则y=f(2x-1)的定义域是（ ）
A．[-7，5] B．[0，3] C．[-3，9] D．[-1，2]
3．已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．某同学在研究函数时，分别给出下面四个结论，其中正确的结论是（ ）
A．函数是奇函数 B．函数的值域是
C．函数在R上是增函数 D．方程有实根
7．已知且，不等式恒成立，则正实数m的取值范围是（　　）
A．m≥2 B．m≥4 C．m≥6 D．m≥8
8．已知函数是定义在R上的偶函数，若对于任意不等实数，，，不等式恒成立，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确为（ ）
A．已知函数，若，有成立，则实数a的值为4
B．若关于x的不等式恒成立，则k的取值范围为
C．设集合，则“”是“”的充分不必要条件
D．函数与函数是同一个函数
10．若函数的定义域为，值域为，则正整数a的值可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．已知函数，．记，则下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．当时， B．函数的最小值为
C．函数在上单调递减
D．若关于的方程恰有两个不相等的实数根，则或
12．已知定义在R上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；
②，，当时，；③.则下列选项成立的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．，，使得
三、填空题
13．若关于的不等式的解为非空集合，则实数的取值范围为 .
14．设函数的最大值为，最小值为，则 .
15．已知幂函数的图像满足，当时，在直线的上方；当时，在直线的下方，则实数的取值范围是 .
16．已知定义域为的奇函数，则的解集为 ．
四、解答题
17．(1)若关于的不等式的解集为或，求，的值.
(2)求关于的不等式的解集.
18．设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：
（1）ab+bc+ac； （2）.
19．已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．
(1)求函数的解析式；
(2)若，，求：
①的最小值； ②讨论关于m的方程的解的个数．
20．已知函数是定义在上的函数，恒成立，且
(1)确定函数的解析式；
(2)用定义证明在上是增函数；
(3)解不等式．
21．随着城市居民汽车使用率的增加，交通拥堵问题日益严重，而建设高架道路、地下隧道以及城市轨道公共运输系统等是解决交通拥堵问题的有效措施.某市城市规划部门为提高早晚高峰期间某条地下隧道的车辆通行能力，研究了该隧道内的车流速度（单位：千米/小时）和车流密度（单位：辆/千米）所满足的关系式：.研究表明：当隧道内的车流密度达到120辆/千米时造成堵塞，此时车流速度是0千米/小时.
(1)若车流速度不小于40千米/小时，求车流密度的取值范围；
(2)隧道内的车流量（单位时间内通过隧道的车辆数，单位：辆/小时）满足，求隧道内车流量的最大值（精确到1辆/小时），并指出当车流量最大时的车流密度（精确到1辆/千米）.（参考数据:）
22．已知幂函数（）是偶函数，且在上单调递增．
（1）求函数的解析式；
（2）若，求的取值范围；
（3）若实数，（，）满足，求的最小值.
参考答案
1．A
【详解】因集合，
若，有，解得，此时，于是得，
若，因或，则由得：，解得：，
综上得：，
2．B
【详解】∵函数y=f(x+1)的定义域是[-2，4]，∴-2≤x≤4，∴-1≤x+1≤5，
∴-1≤2x-1≤5，∴0≤2x≤6，∴0≤x≤3，∴函数y=f(2x-1)的定义域是[0，3].
3．D
【详解】由题意，解得或，又在上单调递增，所以，，所以，，易知是偶函数，所以由得，解得或.
4．A
【详解】∵函数是（﹣∞，+∞）上的减函数，∴，解得.
5．B
【详解】∵当时，恒成立，∴当时，，
即，∴函数在上为单调增函数，∵函数是偶函数，即，∴函数的图象关于直线对称，∴，又函数在上为单调增函数，
∴，即，∴，
6．D
【详解】对于A，，故是偶函数，，不是奇函数，故A错误；对于B，当时，，由对勾函数性质知，而是偶函数，的值域是，故B错误；对于C，当时，，由对勾函数性质知在上单调递增，而是偶函数，故在上单调递减，故C错误；对于D，当时，，即，解得，故D正确，
7．D
【详解】不等式可化为，又，，
所以，令，则，因为，，
所以，当且仅当时等号成立，又已知在上恒成立，
所以，因为，当且仅当时等号成立，
所以m≥8，当且仅当，或，时等号成立，
8．C
【详解】∵函数是定义在R上的偶函数，∴，∴可化为
∵对于任意不等实数，，不等式恒成立，
∴函数在上为减函数，又，∴，∴，
9．AC
【详解】对于A：由成立，可得函数的对称轴为，
又二次函数的对称轴为，所以，解得，故A正确；
对于B：当时，可得成立，满足题意，
当时，可得，解得，综上k的取值范围为，故B错误；
对于C：当时，，所以，充分性成立，若，则或，解得或，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故C正确；
对于D：函数定义域为R，函数的定义域为，定义域不同，故不是同一函数，故D错误，
10．BC
【详解】函数的图象如右图所示：
因为函数在上的值域为，结合图象可得，
结合a是正整数，所以BC正确.
11．ABD
【详解】由题意得：，其图象如图所示：
由图象知：当时，，故A正确；函数的最小值为，故B正确；
函数在上单调递增，故C错误；
方程恰有两个不相等的实数根，则或，故D正确；
12．CD
【详解】根据题中条件知，函数为R上的偶函数；根据题中条件知，函数在上单调递增.根据函数的单调性得，，A错误；是R上的偶函数且在上单调递增时,，解得，B错误；或 ，解得或，即 时，，C正确；根据偶函数的单调性可得，函数在上单调递减在R上有最小值，故选项D正确.
13．
【详解】当时，原不等式为：，即，符合题意；当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意；当时，只需，解得. 综上，的取值范围为.
14．
【详解】，令，
则，为上的奇函数，，
即，.
15．
【详解】当时，幂函数和直线第一象限的图像如下：
由图可知，不满足题意；
当时，幂函数和直线重合，不满足题意；
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下:
由图可知，满足题意，
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下：
由图可知，满足题意，
当时，幂函数和直线第一象限的图像如下：
由图可知，满足题意. 综上，.
16．
【详解】由题知，，所以恒成立，即．
又因为奇函数的定义域关于原点对称，所以，解得，
因此，，由单调递增，单调递增，易知函数单调递增，
故等价于等价于
即，解得．
17．（1）因为关于的不等式的解集为或，所以和为方程的两根，所以，解得；
（2）不等式，即，即，
当时，原不等式解集为；
当时，方程的根为，，
①当时，，原不等式的解集为或；
②当时，，原不等式的解集为；
③当时，，原不等式的解集为；
④当时，，原不等式的解集为．
18．（1）由，，得：，
由题设得，即，所以，即.
（2）因为，，，所以，
即，所以.
19．（1）由得，对称轴为，设，
∴，得，∴．
（2）①，，对称轴，
ⅰ 当即时，在单调递增，，
ⅱ 即时，在单调递减，在单调递增，
∴，
ⅲ 当即时，在单调递减，，
综上：
②画出函数的图象图下图所示：
利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：
方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知：
当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.
20．（1）因为函数，恒成立，所以，则，
此时，所以，解得，所以；
（2）证明：任取，则，
，，且，则，
则，即，所以函数是增函数．
（3），，是定义在上的增函数，
，得，所以不等式的解集为．
21．（1）由题意知当（辆/千米）时，（千米/小时），
代入，解得，所以.
当时，，符合题意；
当时，令，解得，所以.
所以，若车流速度不小于40千米/小时，则车流密度的取值范围是.
（2）由题意得，
当时，为增函数，所以，当时等号成立；
当时，
.当且仅当，即时等号成立.
所以，隧道内车流量的最大值约为3667辆/小时，此时车流密度约为83辆/千米.
22．（1）．，，（），即或
在上单调递增，为偶函数，即
（2）
，，，∴
（3）由题可知，
，
当且仅当，即，时等号成立．
所以的最小值是2．
2
（北京）股份有限公司
4