(共4张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
第1课时 用直接开平方法解一元二次方程
谢谢大家！
令令令令令令
知识要点聚焦
要点感知1
利用
平方根
的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接
开平方法.
要点感知2
直接开平方法的步骤：(1)
移项；(2)二次项系数化为1；(3)直接开
平方，且必须保证被开方数是
非负数
311BB1811818111818111818111818181118111818188110181188181818181818181811181811181818188181118181
课堂达标训练
LVWKWW1111177177078
1.方程x2=1的解为
D
A.x1=x2=0
B.x1=x2=1
C.x1=x2=-1
D.x1=1,x2=-1
2.如果一个一元二次方程的根是x1=x2=2,那么这个方程可能是
(C)
A.x2=4
B.x2+4=0
C.(x-2)2=0
D.(x十2)2=0
3.关于x的一元二次方程(x十3)2=a一1有实数根，则a的取值范围是
a≥1.
4.用直接开平方法解下列方程：
(1)16x2-9=0;
(2)(x一3)2-9=0；
3
4,2=一3
1=
x1=0,X2=6
4
(3)(2x-1)2=169;
(4)9(x十4)2-48=0.
x1=一6，x2=7
七43
一4
3
-4,=-43
3(共5张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
1.直接开平方法和因式分解法
第2课时 用因式分解法解一元二次方程
谢谢大家！
令令令令令令
NN1110011111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111131111131
知识要点聚焦
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要点感知1
先因式分解，将一元二次方程化为两个一次因式的
乘积
等于0的
形式，再使这两个一次因式分别等于0，从而实现
降次，这种解法叫做
因式分解法.即A·B=0→A=0或B=0(A、B表示两个因式).
要点感知2
能用直接开平方法求解的方程也能用
因式分解法求解.当方程左右
两边出现相同因式时，不能约去，只能用因式分解法求解.
31NN11311101010131310101310101010101110101011101010131310131313101310111010101310101011131113131
课堂达标训练
LILILIILILLILIILILILIILIILLIILIIILIIILIIILILIIILIILIIILILIIIILLLM
1.一元二次方程(x一3)(x十5)=0的两根分别为
D
A.3、5
B.-3、-5
C.-3、5
D.3、-5
2.用因式分解法解方程，下列方法中正确的是
(A)
A.(2x-2)(3x-4)=0,∴.2-2x=0或3x-4=0
B.(x十3)(x-1)=1,∴.x十3=0或x-1=1
C.(x-2)(x-3)=2X3,∴.x-2=2或x-3=3
D.x(x十2)=0，∴.x十2=0
3.用适当的方法解下列方程：
(1)(x+1)2-4=0;
(2)3x(x-2)=x-2;
x1=1,x2=一3
K1=2,x2=3
(3)3(x+2)2-27(x-1)2=0;
(4)(x+3)(x-2)+6=0.
x1=0,x2=一1(共5张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
5.一元二次方程的根与系数的关系
谢谢大家！
令令令令令令
318388888818188118883131318188818888888188818881818118381888888113188883181818831383188883181888
知识要点聚焦
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要点感知1
二次项系数为1的一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程x十px十
q=0(2一4q≥0)的两根为1、x2,那么x1十2=一p
,1·x2=q
要点感知2
一般情形下一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程αx十bx十c=0
b
C
(a≠0，b一4ac≥0)的两根为01、x2,那么01十x2=
C1·C2=
31111111111111188118111118113811881881813818311838338118835888383588188883883837
课堂达标训练
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1.设x1、x2是一元二次方程x2十3x一4=0的两个根，则x1十x2的值是
(B
A.3
B.-3
C.4
D.-4
2.关于x的方程x2十mx十n=0的两根为一2和3，则m十n的值为
(B
A.1
B.-7
C.-5
D.-6
3.不解方程，求下列方程两个根的和与积：
(1)x2-3x-1=0;
(2)4x2+1=7x;
7
X1十X2=3,X1X2=一1
x十x=41=4
(3)2x2+3=7x2+x;
(4)3x-5=6x2-2x-4.
十，=一5=-
5
+=名=名
4.若关于x的一元二次方程x2一4x十k一3=0的两个实数根为x1、x2,且满足x1=
3x2,试求出方程的两个实数根及k的值.
解：关于x的一元二次方程x2一4x十k一3=0的两个实数根为1、x2,∴.△=（一4）2
一4X1X(k一3)≥0.解得k≤7.由根与系数的关系，得x1十x2=4,x1·x2=k一3.
又，x1=3x2,∴.X1=3,x2=1..x1·x2=k一3=3.∴.k=6.(共5张PPT)
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第2课时 一元二次方程的应用（2）
谢谢大家！
令令令令令令
318B8111381813811814383361118181831331341834334161118181838183341831113133118
知识要点聚焦
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要点感知
商品利润公式：(1)售价一
进价（成本）
=利润；(2)一件商品的利润×
销售量=总利润；(3)
售价×销售量=销售额，
要点感知2
个人见面，相互握手一次，每个人都与其他人握手一次，则一个人需要与
(一1)个人握手.因为甲与其他人握手后，其他人不需要再与甲握手，
所以握手的总次数为n(n一1)
要点感知3
若一个两位数的十位数字和个位数字分别为x、y,则这个数可表示为
10x+y;若一个三位数的百位数字、十位数字和个位数字分别为x、
y、之，则这个数可表示为100x+10y+z
31DD0888888888888818818181881888888881818181111888188188818888813181888181818881318188188818888
课堂达标训练
LVMKKKKKK1K17111111110118
1.在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，一共碰杯55次.设参加酒会的人数为x,则可
列方程为
2x(x-1)=55
2.有一人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感.设每轮传染中平均一个人传
染x个人，则可列方程为(1十x)2=81
3.已知一个两位数，十位上的数字比个位上的数字的平方小9，如果把个位上的数字与
十位上的数字对调，得到的两位数比原来的两位数小27，则原来的两位数是74
4.阳光市场某个体商户购进某种电子产品，每个进价50元.调查发现，当售价为80元
时，平均一周可卖出160个，而当售价每降低2元时，平均一周可多卖出20个.若设
每个电子产品降价x元：
(1)根据题意，填表：
进价（元）
售价（元）
每件利润（元）
销量（个）
总利润（元）
降价前
50
80
30
160
30×160
降价后
50
80一x
30-x
160+10x
(80-50-x)(160+10x)
(2)若商户计划每周盈利5200元，且尽量减少库存，则每个电子产品应降价多少元？
解：根据题意，得(80一50一x)(160+10x)=5200.解得x1=10,x2=4(不合题意，舍
去).故每个电子产品应降价10元.(共5张PPT)
第22章 一元二次方程
22.3 实践与探索
第1课时 一元二次方程的应用（1）
谢谢大家！
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31VNNN1313131010111013101310101003131010101013101010101013131310101110131010101013131313101318030
知识要点聚焦
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要点感知1
应用一元二次方程解决实际问题与应用一元一次方程解决实际问题一
样，一般步骤为：审、设、列、解、验、答.注意：检验方程的解是否正确，是否
符合题意
要点感知2
平均变化率公式：a(1士x)”=b,公式中a是基数，x为平均增长率（降
低率)，为增长（降低）次数，b为增长（降低）后的量.
31R8D0888888888888888881888818818188811188818118881818188811888811818881888188818181881888888888
课堂达标训练
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1.某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为
30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长
为x米.若苗圃园的面积为72平方米，则x为
(A)
A.12
B.10
C.15
D.8
18米
苗圃园
第1题图
第2题图
2.王叔叔从市场上买了一块长80cm,宽70cm的矩形铁皮，准备制作一个工具箱.如图，
他将矩形铁皮的四个角各剪掉一个边长xcm的正方形后，剩余的部分刚好能围成一
个底面积为3000cm2的无盖长方体工具箱.根据题意列方程为
(C)
A.(80-x)(70-x)=3000
B.80×70-4x2=3000
C.(80-2x)(70-2x)=3000
D.80×70-4x2-(70十80)x=3000
3.某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份
的生产成本是361万元.假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同.
(1)求每个月生产成本的下降率.
(2)请你预测4月份该公司的生产成本.
解：(1)设每个月生产成本的下降率为x.根据题意，得400(1一x)2=361.解得x1=0.05=5%,
x2=1.95(不合题意，舍去).故每个月生产成本的下降率为5%.
(2)361×(1一5%)=342.95（万元）.故预测4月份该公司的生产成本为342.95万元.(共5张PPT)
第22章 一元二次方程
22.1 一元二次方程
谢谢大家！
令令令令令令
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知识要点聚焦
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要点感知
只含有一个未知数
,并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫
做一元二次方程.
要点感知2
一元二次方程的一般形式是ax2+bx十c=0
(a、b、c是已知数，a≠0)，
其中a是二次项系数，b是
一次项系数，c是常数项
要点感知3
使一元二次方程左右两边相等的
未知数
的值叫做一元二次方程的
解，也叫做一元二次方程的根.
课堂达标训练
WWMMMKKW11111771471777771777777
1.下列选项中，是一元二次方程的是
(D)
A.x-2=0
B.x2-2x-3
C.xy+1=0
D.x2-4x-1=0
2.已知一元二次方程x2十kx一3=0有一个根为1，则k的值为
(B)
A.-2
B.2
C.-4
D.4
3.(1)若方程xm-3-2x-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为5
(2)若方程(n-1)x2-3.x十1=0是关于x的一元二次方程，则n≠1·
4.为创建“国家生态园林城市”，某小区在规划设计时，在小区中央设置一块面积为1200
平方米的矩形绿地，并且长比宽多40米.设绿地的宽为x米.根据题意，可列方程为
x(x+40)=1200
5.将下列一元二次方程化成一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：
(1)8x2-3=5x;
解：移项，得8x2一5x一3=0.其中二次项系数为8，一次项系数为一5，常数项为一3.
(2)5x(x-2)=4x2-3x.
解：去括号，得5x2一10x=4x2一3x.移项、合并同类项，得x2一7x=0.其中二次项系
数为1，一次项系数为一7，常数项为0.(共5张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
2.配方法
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知识要点聚焦
VA11KKKKKM11M11114111141111174111118411111471711141714141111171781
要点感知1
通过方程的简单变形，将左边配成一个含有未知数的完全平方式
,右
边是一个非负常数
,从而可以直接开平方求解.这种解一元二次方程
的方法叫做配方法
要点感知2)
用配方法解一元二次方程的一般步骤：(1)将二次项系数化为1；
(2)将常数项移到方程的右边；(3)方程两边都加上一次项系数绝对
值一半的平方；(4)写成(x十m)2=n的形式；(5)若n≥0，则用直接开
平方法求解.
课堂达标训练
1.用配方法解方程x2一8x十5=0，将其化为(x十a)2=b的形式，正确的是
D
A.(x十4)2=11
B.(x+4)2=21
C.(x-8)2=11
D.(x-4)2=11
2.(1)已知x2+mx十16为完全平方式，则m的值为士8.
(2)若2+号x十m为完全平方式，则n的值为
3.用配方法解下列方程：
(1)x2十2x=5;
(2)x2-x-6=0;
x1=√6-1，x2=-√6-1
X1=3,X2=一2
(3)2x2-1=8x;
(4)2x2十x-6=0.
=受+2=-3受+2
3
2
1=26=-2(共5张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
3.公式法
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31BB8188888118881881181818818818181888188818131111818181818181818181888131811481318188188111888
知识要点聚焦
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要点感知1
一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的求根公式是
r=-b±VB-4ac
2a
(b2一4ac≥0).将一元二次方程中系数a、b、c的值，直接代入这个公
式，就可以求得方程的根.这种解一元二次方程的方法叫做公式法.
要点感知2
用公式法解一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)，先确定a、b、c的值，再
确定b2一4ac的正负，最后代入求根公式求解.
31088888888888881818111818181811111181118181811881818118111118181881881818888188818181888888888888
课堂达标训练
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1.用公式法解方程2x2一3x十1=0时，a、b、c的值分别是
(B)
A.2、3、1
B.2、-3、1
C.2、3、-1
D.4、3、1
2.用公式法解一元二次方程3x2十2=7x,下列代入求根公式正确的是
D
A.=
7±√72-3X2
B.x=-7±V7-3X2
2
2
C.x=-7±V-(-7)2-4×3X2
D.x=-（-7)±V(-7)2-4×3X2
2X3
2X3
3.已知三角形的两边长是方程x2一2√3x十1=0的两根，则三角形的第三条边长c
的取值范围是2√W24.用公式法解下列方程：
(1)x2十x-2=0;
(2)3x2-2=x;
x1=一2，X2=1
3,2=1
(3)-4x2+4W/3x=3;
(4)x2-3x十5=2x.
3
x1三X2=
七=5+
2
2
5,x=5,5
2(共5张PPT)
第22章 一元二次方程
22.2 一元二次方程的解法
4.一元二次方程根的判别式
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知识要点聚焦
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要点感知
b2一4ac叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号“△”来表示，用它可
以直接判断一元二次方程ax2十bx十c=0(a≠0)的实数根的情况：
当△>0时，方程有1
两个不相等
的实数根；
当△=0时，方程有两个相等
的实数根；
当△<0时，方程没有实数根.
3111101000180110801118080010081010018100001001011010111001101011080001100000118100008101
课堂达标训练
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1.一元二次方程2x2一x十1=0根的情况是
A.两个不相等的实数根
B.两个相等的实数根
C.没有实数根
D.无法判断
2.已知关于x的一元二次方程2x2一kx十3=0有两个相等的实数根，则k的值为(A)
A.±26
B.土√6
C.2或3
D.√2或√3
3.如果关于x的一元二次方程(k十2)x2一3x十1=0有实数根，那么k的取值范围是
k≤4且k≠-2
4.请给出一元二次方程x2一3x十2=0的一个常数项，使这个方程有两个不相等的
实数根.（填在横线上，填一个答案即可）（答案不唯一，小于均可）
5.已知关于x的一元二次方程x2十2x十m=0.
(1)当m=3时，判断方程的根的情况.
(2)当m=一3时，求方程的根.
解：(1)当m=3时，原方程为x2十2x十3=0..°△=22一4X1X3=一8<0，.原方程
没有实数根.
(2)当m=一3时，原方程为x2十2x一3=0..△=22一4X1X（一3)=16>0，
-2±√/16
2
,即x1=1,x2=一3.
