人教版数学九年级上册 24.1.2 垂直于弦的直径课件 (共29张PPT)

(共29张PPT)
24.1 圆的有关性质
第二十四章 圆
24.1.2 垂直于弦的直径
1.进一步认识圆，了解圆是轴对称图形．
2.理解垂直于弦的直径的性质和推论，并能应用它
解决一些简单的计算、证明和作图问题．（重点）
3.灵活运用垂径定理解决有关圆的问题．（难点）
学习目标
问题情境
问题 ：赵州桥是我国隋代建造的石拱桥，距今约有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶.它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为37m，拱高（弧的中点到弦的距离）为7.23m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
导入新课
折一折：
你能通过折叠的方式找到圆形纸片的对称轴吗？
圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
在折的过程中你有何发现？
（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什
么？你能找到多少条对称轴？
（2）你是怎么得出结论的？
圆的对称性： 圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是圆的对称轴．
用折叠的方法
●O
说一说
垂径定理及其推论
一.
讲授新课
问题：如图，AB是⊙O的一条弦，直径CD⊥AB，垂足为E．你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么
线段: AE=BE
劣弧: AC=BC, AD=BD
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理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE重合，AC和BC，AD与BD重合．
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·
O
A
B
D
E
C
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧．
∵ CD是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE，
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AC =BC，
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AD =BD.
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如．
归纳总结
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为CD没有过圆心
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳总结
例1 如图，OE⊥AB于E，若⊙O的半径为10 cm，OE=6 cm，则AB= cm．
·
O
A
B
E
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB=2AE=16 cm．
16
∴
(cm)．
例2 如图，⊙O的弦AB＝8 cm ，直径CE⊥AB于D，DC＝2 cm，求半径OC的长．
·
O
A
B
E
C
D
解：连接OA，∵ CE⊥AB于D，
∴ ．
设OC=x cm，则OA=x，OD=(x－2) cm.
在Rt△OAD中，根据勾股定理，得
解得 x=5.
即半径OC的长为5 cm.
x2=42+(x-2)2，
如果把垂径定理（垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧）结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心 ；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧； ⑤平分弦所对的劣弧．
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法
已知:
求证：
① CD是直径
② CD⊥AB，垂足为E
③ AE=BE
④ AC=BC ⑤ AD=BD
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证明猜想
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使AE=BE.
（1）CD⊥AB吗？为什么？
（2）
·
O
A
B
C
D
E
⌒
AC与BC相等吗？ AD与BD相等吗？为什么？
⌒
（2）由垂径定理可得AC =BC， AD =BD.
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解：（1）连接AO，BO，则AO=BO.
又AE=BE，∴△AOE≌△BOE (SSS).
∴∠AEO=∠BEO=90°.
∴CD⊥AB.
证明举例
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思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
例3 已知：⊙O中弦AB∥CD.
求证：AC＝BD.
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.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径MN⊥AB.
∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
则AM＝BM，CM＝DM
（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）.
∴AM－CM＝BM－DM.
∴AC＝BD.
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解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，连接半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
视频：垂径定理微课讲解
试一试：根据刚刚所学，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗
垂径定理的实际应用
二.
经过圆心O作弦AB的垂线OC，垂足为D，与弧AB交于点C，则D是AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高.
∴ AB=37 m，CD=7.23 m.
解得R≈27.3(m).
即主桥拱半径约为27.3 m.
解：如图，用 表示主桥拱，设
所在圆的圆心为O，半径为R.
∴ AD= AB=18.5 m，
OD=OC-CD=R-7.23.
=18.52+(R-7.23)2
练一练：如图a、b,一弓形弦长为 cm，弓形所在的圆的半径为7 cm，则弓形的高分别为＿＿ ＿____＿.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2 cm和12 cm
弦a，弦心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
d+h=r
归纳总结
A
B
C
D
O
h
r
d
1.已知⊙O中，弦AB=8 cm，圆心到AB的距离为3 cm， 则此圆的半径为 .
5 cm
2.⊙O的直径AB=20 cm，∠BAC=30°，则弦AC= .
3.（分类讨论题）已知⊙O的半径为10 cm，弦MN∥EF，且MN=12 cm，EF=16 cm，则弦MN和EF之间的距离为 .
14 cm或2 cm
cm
当堂练习
4.如图，在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E.求证：四边形ADOE是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：
∴四边形ADOE为矩形，
又∵AC=AB，
∴AE=AD.
∴四边形ADOE为正方形.
5.已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．你认为AC和BD有什么关系？为什么？
解：AC＝BD.理由如下：
过O作OE⊥AB，垂足为E，
则AE＝BE，CE＝DE.
∴ AE－CE＝BE－DE，
即 AC＝BD.
.
A
C
D
B
O
E
注意：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的弦心距，或作垂直于弦的直径，它是一种常用辅助线的添法．
6.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中弧CD，点O是弧CD的圆心)，其中CD=600 m，E为弧CD上的一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90 m.求这段弯路的半径.
解:连接OC.
● O
C
D
E
F
┗
设这段弯路的半径为R m,则OF=(R－90) m.
在Rt△OFC中，根据勾股定理，得
解得R=545.
∴这段弯路的半径为545 m.
拓展提升：
如图，⊙O的直径为10，弦AB=8，P为弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围 .
3≤OP≤5
B
A
O
P
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心;②垂直于弦; ③平分弦（不是直径）; ④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分弦,
并且平分弦所对的两条弧
两条辅助线：
连半径，作弦心距
构造Rt△,利用勾股定理计算或建立方程
基本图形及变式图形
课堂小结