活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5．3.1　单调性(2)（有答案）

5．3.1　单调性(2)
掌握利用导数判断函数单调性的方法，能运用函数的单调性解决简单的综合题．
活动一 掌握利用导数判断函数单调性的一般步骤
例1　求证：函数f(x)＝在x∈上是单调减函数．
活动二 函数单调性的应用一(求参数范围)
例2　已知函数f(x)＝2x3＋ax2＋1.
(1) 若函数f(x)的单调减区间为[0，2]，求实数a的值；
(2) 若函数f(x)在区间[0，2]上为减函数，求实数a的取值范围．
例3　若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a>0且a≠1)在区间上单调递增，求实数a的取值范围．
活动三 函数单调性的应用二(证明不等式)
例4　求证：函数f(x)＝ex－x在区间(－∞，0)上是单调减函数．
　求证：当x∈(－∞，0)时，ex>x＋1.
活动四 函数单调性的应用三(函数的零点)
例5　求证：方程x－sinx＝0有且只有一个根为x＝0.
1. 已知f(x)在R上是可导函数，f(x)的图象如图所示，则不等式f′(x)>0的解集为(　　)
A. (－2，0)∪(2，＋∞)
B. (－∞，－2)∪(2，＋∞)
C. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
D. (－2，－1)∪(1，2)
2. 若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)单调递增，则实数k的取值范围是(　　)
A. (－∞，－2] B. (－∞，－1] C. [2，＋∞) D. [1，＋∞)
3. (多选)下列函数中，在区间(1，＋∞)上为增函数的是(　　)
A. y＝sin 2x B. y＝xex C. y＝x3－x D. y＝ln x－x
4. 若函数y＝a(x3－3x)(a≠0)的单调增区间为(－1，1)，则实数a的取值范围是________．
5. 已知函数f(x)＝2＋.
(1) 求证：f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数；
(2) 当x>4时，求证：f(x)>.
参考答案与解析
【活动方案】
例1　由题意，得f′(x)＝.
因为当0所以f′(x)<0，
所以函数f(x)＝在区间上是单调减函数．
例2　(1) f′(x)＝6x2＋2ax，则由题意，得6×22＋2a×2＝0，解得a＝－6，故实数a的值为－6.
(2) f′(x)＝6x2＋2ax，则由题意，得
解得a≤－6，故实数a的取值范围是(－∞，－6]．
例3　设g(x)＝x3－ax.
因为g(x)>0，所以x∈(－，0)∪(，＋∞)．
又g′(x)＝3x2－a，令g′(x)<0，
则当x∈时，g(x)单调递减；
令g′(x)>0，则当x∈(－，－)或x∈(，＋∞)时，g(x)单调递增．
当a>1时，函数f(x)增区间为，(，＋∞)，不合题意；
当0故实数a的取值范围为.
例4　f′(x)＝ex－1.因为当x∈(－∞，0)时，ex∈(0，1)，所以ex－1<0，所以函数f(x)＝ex－x在区间(－∞，0)上是单调减函数．
跟踪训练　设f(x)＝ex－x－1，则f′(x)＝ex－1.
当x∈(－∞，0)时，ex∈(0，1)，所以ex－1<0，
所以函数f(x)在区间(－∞，0)上是单调减函数．
又f(0)＝e0－0－1＝0，所以f(x)>0，
即当x∈(－∞，0)时，ex>x＋1.
例5　设f(x)＝x－sinx，则f′(x)＝1－cosx>0，故函数f(x)在R上为单调增函数．
因为f(π)＝π>0，f(－π)＝－π<0，f(0)＝0，
所以方程x－sinx＝0有且只有一个根为x＝0.
【检测反馈】
1. C　解析：因为函数f(x)在区间(－∞，－1)，(1，＋∞)上是增函数，所以当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0.
2. D　解析：由题意，得f′(x)＝k－≥0在区间(1，＋∞)上恒成立，即k≥在区间(1，＋∞)上恒成立．因为x>1，所以0<<1，所以k≥1.
3. BC　解析：对于A，由正弦函数的图象，得y＝sin 2x在区间(1，＋∞)上不单调，排除A；对于B，y′＝(1＋x)ex>0在区间(1，＋∞)上恒成立，则函数y＝xex在区间(1，＋∞)上为增函数，故B正确；对于C，y′＝3x2－1>0在区间(1，＋∞)上恒成立，则y＝x3－x在区间(1，＋∞)上为增函数，故C正确；对于D，y′＝－1＝<0在区间(1，＋∞)上恒成立，则y＝ln x－x在区间(1，＋∞)上为减函数，排除D.故选BC.
4. (－∞，0)　解析：由题意，得y′＝3a(x2－1)，且当x∈(－1，1)时，y′>0，所以a<0，即实数a的取值范围是(－∞，0)．
5. (1) 由题意，得f′(x)＝－＝.
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，
所以f(x)在区间(1，＋∞)上是增函数．
(2) 由(1)知，当x>4时，f(x)>f(4)＝2＋＝.