活动单导学课程 苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5．3.2　极大值与极小值(2)（有答案）

5．3.2　极大值与极小值(2)
1. 能熟练、准确地求函数的极值．
2. 初步掌握解决与极值有关的求参、恒成立、方程根、函数图象等问题的方法．
活动一 理解函数的极值
例1　已知函数f(x)＝x3－x2＋ax－1.
(1) 若函数在x＝－1处取得极大值，求实数a的值；
(2) 若函数f(x)在x1与x2处取得极值，其中x1<0，x2>0，求实数a的取值范围．
活动二 掌握与极值有关的参数取值问题
例2　已知函数f(x)＝ax5－bx3＋c在x＝1处有极大值4，在x＝－1处有极小值0，求实数a，b，c的值．
　已知函数f(x)＝x5＋ax3＋bx＋1仅在x＝±1处有极值，且极大值比极小值大4.求：
(1) 实数a，b的值；
(2) f(x)的极值．
活动三 掌握与极值有关的方程的根或恒成立问题
例3　设函数f(x)＝x3－12x＋5，x∈R.
(1) 求函数f(x)的单调区间和极值；
(2) 若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围．
例4　已知f(x)＝ax4lnx＋bx4－c(x>0)在x＝1处取得极值－3－c，其中a，b，c为常数．
(1) 试确定实数a，b的值；
(2) 讨论函数f(x)的单调区间；
(3) 若对任意x>0，不等式f(x)≥－2c2恒成立，求实数c的取值范围．
1. 若函数f(x)＝x3－3bx＋3在区间(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是(　　)
A. (0，4) B. [0，4) C. [1，4) D. (1，4)
2. 已知函数f(x)＝sin2x－2sinx，x∈(0，2π)，则下列结论中正确的是(　　)
A. f(x)是增函数 B. f(x)在x＝处有极大值
C. f(x)是减函数 D. f(x)在x＝处有极小值
3. (多选)若函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是(　　)
A. 函数y＝f(x)在区间(3，5)上单调递增
B. 当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值
C. 函数y＝f(x)在区间(1，2)上单调递增
D. 当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值
4. 已知f(x)＝(x2＋2x＋a)ex，若f(x)存在极小值，则实数a的取值范围是________．
5. 已知函数f(x)＝x3＋mx2－2m2x－4(m为常数，且m>0)有极大值－，求实数m的值．
参考答案与解析
【活动方案】
例1　(1) 由题意，得f′(x)＝x2－2x＋a，
且f′(－1)＝1＋2＋a＝0，
解得a＝－3，则f′(x)＝x2－2x－3，经验证可知f(x)在x＝－1处取得极大值，故实数a的值为－3.
(2) 由题意，得方程x2－2x＋a＝0有一正一负两个根x1，x2，则x1x2＝a<0，
故实数a的取值范围是(－∞，0)．
例2　由题意，得f′(x)＝5ax4－3bx2，
解得
故实数a，b，c的值分别为－3，－5，2.
跟踪训练　(1) 由题意，得f′(x)＝5x4＋3ax2＋b.
因为当x＝±1时有极值，
所以5＋3a＋b＝0，即b＝－3a－5.①
将①代入f′(x)，得f′(x)＝5x4＋3ax2－3a－5＝5(x4－1)＋3a(x2－1)＝(x2－1)[5(x2＋1)＋3a]＝(x＋1)(x－1)[5x2＋(3a＋5)]．
又f(x)仅在x＝±1处有极值，
所以5x2＋(3a＋5)≠0对任意x恒成立，
即Δ＝0－20(3a＋5)<0，解得a>－.
又当x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－1，1)时，f′(x)<0，
所以当x＝－1时取得极大值；当x＝1时取得极小值，
所以f(－1)－f(1)＝4，即a＋b＝－3.②
由①②解得a＝－1，b＝－2.
(2) 由(1)，得a＝－1，b＝－2，
所以f(x)＝x5－x3－2x＋1，
所以极大值f(－1)＝3，极小值f(1)＝－1.
例3　(1) 由题意，得f′(x)＝3x2－12.
令f′(x)>0，得x>2或x<－2；
令f′(x)<0，得－2故函数f(x)的单调增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)，单调减区间为(－2，2)，
所以当x＝－2时，取得极大值f(－2)＝21；
当x＝2时，取得极小值f(2)＝－11.
(2) 由(1)可作出函数f(x)的草图，方程f(x)＝a有三个不同的实根即为y＝f(x)与y＝a的图象有三个交点，故实数a的取值范围为(－11，21)．
例4　(1) 由题意，得b－c＝－3－c，则b＝－3.
f′(x)＝4ax3ln x＋ax3＋4bx3＝x3(4aln x＋a＋4b)，则f′(1)＝a＋4b＝0，解得a＝12.
(2) 由(1)，得f′(x)＝48x3ln x(x>0)．
令f′(x)＝0，解得x＝1.
当0当x>1时，f′(x)>0，此时f(x)为单调增函数；
故函数f(x)的单调增区间为(1，＋∞)，单调减区间为(0，1)．
(3) 根据(2)的结论，可画出函数f(x)的图象，
所以f(x)min＝f(1)＝－3－c.
因为f(x)≥－2c2在区间(0，＋∞)上恒成立，
所以－3－c≥－2c2，解得c≥或c≤－1，
故实数c的取值范围为(－∞，－1]∪[，＋∞)．
【检测反馈】
1. A　解析：令f′(x)＝3x2－3b＝0，得x2＝b.因为f(x)在(－1，2)内有极值，所以0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故实数b的取值范围是(0，4)．
2. D　解析：由f′(x)＝2cos2x－2cosx＝4cos2x－2cosx－2＝(4cosx＋2)(cosx－1)>0，解得cosx<－.又x∈(0，2π)，所以3. CD　解析：结合函数y＝f(x)的导函数的图象可知，当x<－2时，f′(x)<0，函数f(x)是减函数；当－20，函数f(x)是增函数；当24时，f′(x)>0，函数f(x)是增函数，所以当x＝2时，函数y＝f(x)有极大值，故A，B错误，C，D正确．故选CD.
4. (－∞，2)　解析：f′(x)＝(2x＋2)ex＋(x2＋2x＋a)ex＝ex(x2＋4x＋a＋2)，若f(x)存在极小值，则f′(x)＝0有两个不相等的实数根，即x2＋4x＋a＋2＝0有两个不等的实根，所以Δ＝16－4(a＋2)>0，解得a<2，故实数a的取值范围是(－∞，2)．
5. 由题意，得f′(x)＝3x2＋mx－2m2＝(3x－2m)(x＋m)．令f′(x)＝0，得x1＝，x2＝－m.
因为m>0，所以 >－m.
列表如下：
x (－∞， －m) －m (－m， ) (， ＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) ?↗ 极大值 ?↘ 极小值 ?↗
所以函数y＝f(x)在x＝－m处取得极大值，即f(－m)＝m3－4＝－，解得m＝1，
故实数m的值为1.