苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5．3.1　单调性(2)课时小练（有解析）

5．3.1　单调性(2)
一、 单项选择题
1. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A. y＝sinx B. y＝xex C. y＝x3－x D. y＝lnx－x
2. (2021·抚州临川一中月考)若函数f(x)＝x3－ax2＋x存在单调减区间，则实数a的取值范围是(　　)
A. [－1，1] B. (－∞，－1)∪(1，＋∞)
C. (－1，1) D. (－∞，－1]∪[1，＋∞)
3. 已知f(x)＝x2＋x－2lnx，则当x∈(0，1)时，函数f(x)是(　　)
A. 减函数 B. 增函数 C. 先增后减 D. 先减后增
4. 已知函数f(x)＝，若a＝f(4)，b＝f(5.3)，c＝f(6.2)，则a，b，c的大小关系是　(　　)
A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. c＜a＜b D. b＜a＜c
5. 若函数f(x)＝lnx＋ax2－2在区间上存在单调增区间，则实数a的取值范围是(　　)
A. (－∞，2] B. C. D. (－2，＋∞)
6. (2021·重庆缙云教育联盟月考)已知偶函数f(x)的定义域为R，其导函数为f′(x)，当x>0时，f′(x)>2x，则不等式f(3x－4)－f(x－2)>8x2－20x＋12的解集是(　　)
A. (－∞，1) B. (3，＋∞)
C. ∪(3，＋∞) D. (－∞，1)∪
二、 多项选择题
7. (2021·普宁期中)已知函数f(x)＝e2x－kx(k∈N*)在区间(0，＋∞)上单调递增，则k的取值可以为(　　)
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8. 若a，b为正实数，且a>b，则下列不等式成立的是(　　)
A. > B. lna>lnb C. alna三、 填空题
9. 若函数f(x)＝x3－ax－1的单调减区间为(－1，1)，则a的取值集合为________．
10. 已知函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在区间(0，1)上不是单调函数，则实数a的取值范围是________．
11. 若函数f(x)＝3ex＋x2－mx＋1在区间(－∞，3]上单调递减，则实数m的取值范围为____________．
12. 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，xf′(x)0的解集为____________．
四、 解答题
13. 若函数f(x)＝2x2＋lnx－ax在定义域上单调递增，求实数a的取值范围．
14. (2021·宜春上高二中月考)已知函数f(x)＝2ex－2e－x＋ax＋bsinx(a，b∈R)．
(1) 当b＝0时，f(x)为R上的增函数，求a的最小值；
(2) 若a>－1，2答案与解析
1. B　解析： 在A中，y＝sin x在区间，k∈Z上是增函数，故A不满足条件；在B中，y′＝ex(1＋x)，当x∈(0，＋∞)时，y′>0，故B满足条件；在C中，令y′＝3x2－1>0，得x>或x<－，所以y＝x3－x在区间和上是增函数，故C不满足条件；在D中，令y′＝－1>0，得02. B　解析：由题设，得f′(x)＝x2－2ax＋1，f(x)存在单调减区间，即存在x使f′(x)<0，所以Δ＝4a2－4>0，解得a<－1或a>1.
3. A　解析：因为f′(x)＝x＋1－＝＝，所以当04. B　解析：f(x)＝的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝(x＞0)，令f′(x)＞0，解得0＜x＜e；令f′(x)＜0，解得x＞e，故f(x)在区间(0，e)上单调递增，在区间(e，＋∞)上单调递减．因为e＜4＜5.3＜6.2，所以f(4)＞f(5.3)＞f(6.2)，即a＞b＞c.
5. D　解析：因为函数f(x)＝lnx＋ax2－2在区间上存在单调增区间，所以f′(x)＝＋2ax>0在区间上有解，即2a>－在区间上成立．又x∈，所以－∈，所以2a>－4，故a>－2.
6. D　解析：令g(x)＝f(x)－x2，则g′(x)＝f′(x)－2x.因为当x>0时，f′(x)>2x，所以g(x)在区间(0，＋∞)上单调递增．不等式f(3x－4)－f(x－2)>8x2－20x＋12可变形为f(3x－4)－(3x－4)2>f(x－2)－(x－2)2，即g(3x－4)>g(x－2)．因为f(x)是偶函数，所以易得g(x)也是偶函数．g(3x－4)>g(x－2)等价于|3x－4|>|x－2|，解得x<1或x>，即所求不等式的解集为(－∞，1)∪.
7. AB　解析：f(x)＝e2x－kx(k∈N*)的导函数为f′(x)＝2e2x－k.要使函数f(x)＝在区间(0，＋∞)上单调递增，只需f′(x)＝2e2x－k≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以k≤2e2x(x>0)．因为y＝2e2x在区间(0，＋∞)上单调递增，所以2e2x>2，所以k≤2.故选AB.
8. BD　解析：因为a>b>0，所以<，故A错误；因为函数y＝lnx在区间(0，＋∞)上为增函数，所以当a>b时，lna>lnb，故B正确；对于C，构造函数f(x)＝xlnx，则f′(x)＝lnx＋1.当x∈时，f′(x)<0；当x∈时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，故C错误；对于D，构造函数g(x)＝ex－x，则g′(x)＝ex－1>0在区间(0，＋∞)恒成立，所以函数g(x)＝ex－x在区间(0，＋∞)上单调递增，故当a>b时，ea－a>eb－b，即a－b9. {3}　解析：由题意，得f′(x)＝3x2－a<0的解集为(－1，1)，所以－1和1是方程3x2－a＝0的两个根．将－1，1代入3x2－a＝0，得a＝3.
10. (0，7)　解析：若函数f(x)在区间(0，1)上是单调增函数，则f′(x)＝3x2＋4x－a≥0在区间(0，1)上恒成立，则(3x2＋4x)min≥a.因为x∈(0，1)，所以a≤0；若函数f(x)在区间(0，1)上是单调减函数，则f′(x)＝3x2＋4x－a≤0在区间(0，1)上恒成立，则(3x2＋4x)max≤a.因为x∈(0，1)，所以a≥7.又因为函数f(x)＝x3＋2x2－ax＋1在区间(0，1)上不是单调函数，所以实数a的取值范围(0，7)．
11. [3e3＋6，＋∞)　解析：由题意，得f′(x)＝3ex＋2x－m≤0在区间(－∞，3]上恒成立，所以3ex＋2x≤m在区间(－∞，3]上恒成立．易知函数y＝3ex＋2x在区间(－∞，3]上单调递增，所以ymax＝3e3＋6，所以m≥3e3＋6，所以实数m的取值范围为[3e3＋6，＋∞)．
12. (－1，0)∪(0，1)　解析：令g(x)＝，则g′(x)＝.当x>0时，xf′(x)0，即不等式>0的解集为(－1，0)∪(0，1)．
13. 因为f(x)＝2x2＋lnx－ax的定义域为(0，＋∞)，且在区间(0，＋∞)上单调递增，所以f′(x)＝4x＋－a≥0在区间(0，＋∞)上恒成立，所以a≤4x＋在区间(0，＋∞)上恒成立．
令g(x)＝4x＋，因为g(x)＝4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即x＝时取等号，
所以g(x)min＝4，所以a≤4.
又当a＝4时，f′(x)＝4x＋－4＝＝≥0满足条件．
故实数a的取值范围是(－∞，4]．
14. (1) 当b＝0时，f(x)＝2ex－2e－x＋ax，
所以f′(x)＝2ex＋2e－x＋a≥0对x∈R恒成立，
则a≥(－2ex－2e－x)max.
因为－2ex－2e－x≤－2＝－4，当且仅当ex＝e－x，即x＝0时取等号，所以a≥－4，
故a的最小值为－4.
(2) 因为f(x)＝2ex－2e－x＋ax＋bsinx(a，b∈R)，所以f′(x)＝2ex＋2e－x＋a＋bcosx.
因为a>－1，2所以2ex＋2e－x＋a≥4＋a>3，bcosx∈[－b，b]，－3所以f′(x)>0，所以f(x)为R上的增函数．
因为f(ax－1)因为a>－1，所以x<1，
故x的取值范围为(－∞，1)．