苏教版高中数学选择性必修第一册第5章导数及其应用5．3.2　极大值与极小值(1)课时小练（有解析）

5．3.2　极大值与极小值(1)
一、 单项选择题
1. 函数y＝1＋3x－x3有(　　)
A. 极小值－1，极大值1 B. 极小值－2，极大值3
C. 极小值－2，极大值2 D. 极小值－1，极大值3
2. 已知函数f(x)在R内可导，若命题p：f′(x0)＝0，q：函数f(x)在x＝x0处取得极值，则p是q的(　　)
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
3. 设函数f(x)＝xex，则下列说法中正确的是(　　)
A. x＝1为f(x)的极大值点 B. x＝1为f(x)的极小值点
C. x＝－1为f(x)的极大值点 D. x＝－1为f(x)的极小值点
4. (2021·河南县级示范性高中月考)函数f(x)＝(x2－3x＋3)ex的极大值与极小值之和为(　　)
A. e B. 3 C. 3－e D. 3＋e
5. 若函数f(x)＝ax－lnx在x＝处取得极值，则实数a的值为(　　)
A. B. C. 2 D.
6. (2021·西安长安区一中月考)函数f(x)＝(x2－2x)ex的图象大致是(　　)
A B C D
二、 多项选择题
7. (2021·哈尔滨工业大学附属中学期末)函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法中正确的(　　)
A. (－1，3)为函数f(x)的单调增区间
B. (3，5)为函数f(x)的单调减区间
C. 函数f(x)在x＝5处取得极小值
D. 函数f(x)在x＝0处取得极大值
8. 下列关于函数极值的说法中，错误的是(　　)
A. 导数为零的点一定是函数的极值点
B. 函数的极小值一定小于它的极大值
C. 一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值
D. 若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数
三、 填空题
9. 函数f(x)＝x2－lnx的极值点是________．
10. 如图是函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象，给出下列命题：①当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值；②当x＝1时，函数y＝f(x)取得极值；③y＝f(x)在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f(x)在区间(－2，2)上单调递增，其中正确命题的序号是________.
11. 设x＝θ是函数f(x)＝3cosx＋sinx的一个极值点，则cos2θ＋sin2θ＝________．
12. 已知x＝a是函数f(x)＝x3－12x的极大值点，则a＝________．
四、 解答题
13. (2021·玉林育才中学月考)已知函数f(x)＝.
(1) 求函数f(x)在x＝1处的切线方程；
(2) 求函数f(x)的单调区间和极值．
14. (2022·双鸭山一中期末)已知函数f(x)＝lnx－.
(1) 若a＝－3，求函数f(x)的极值；
(2) 若函数f(x)在区间[e，e3]上单调递增，求实数a的取值范围．
参考答案与解析
1. D　解析：y′＝3－3x2，令y′＝3－3x2＝0，得x＝±1，所以当x＝－1时，取得极小值－1；当x＝1时，取得极大值3.
2. B　解析：由题意，可知对于函数f(x)在R内可导，导数为0的点不一定是极值点，但极值点一定是导数为0的点，所以命题p推不出命题q，命题q能推出命题p，所以p是q的必要不充分条件．
3. D　解析：令f′(x)＝ex＋x·ex＝(1＋x)ex＝0，解得x＝－1.当x＜－1时，f′(x)＜0；当x＞－1时，f′(x)＞0，所以x＝－1为f(x)的极小值点．
4. D　解析：f′(x)＝(x2－x)ex，令f′(x)＝0，得x＝0或x＝1，当x<0或x>1时，f′(x)>0，当05. A　解析：因为f′(x)＝a－，所以f′＝0，即a－＝0，解得a＝.
6. B　解析：由f(x)＝0，得x＝0或x＝2，选项A，C不满足；由f(x)＝(x2－2x)ex，得f′(x)＝(x2－2)ex，当x<－或x>时，f′(x)>0，当－7. ABC　解析：由函数y＝f(x)的导函数的图象可知当x<－1时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当－10，函数f(x)单调递增；当35时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增，所以函数f(x)单调减区间为(－∞，－1)，(3，5)，单调增区间为(－1，3)，(5，＋∞)，且函数f(x)在x＝－1和x＝5处取得极小值，在x＝3处取得极大值．故选ABC.
8. ABC　解析：A显然不正确；极值是函数的局部性质，极大值与极小值之间一般来说没有大小关系，故B不正确；一个函数在它的定义域内可能有多个极大值和极小值，故C不正确；若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数，故D正确．故选ABC.
9. 　解析：由题意，得函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2x－＝，令f′(x)＝0，得x＝或x＝－(舍去)，当x∈时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；当x∈时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以函数f(x)的极值点是x＝.
10. ①④　解析：由导函数的图象可得，当x∈(－∞，－2)时，f′(x)<0，所以函数y＝f(x)单调递减；当x∈(－2，＋∞)时，f′(x)≥0，所以函数y＝f(x)单调递增，所以当x＝－2时，函数y＝f(x)取得极值，故①④正确，②错误；对于③，由图象可知f′(0)>0，所以y＝f(x)在x＝0处切线的斜率大于零，故③错误．综上，正确命题的序号是①④.
11. 　解析：由题意，得f′(x)＝－3sinx＋cosx.因为x＝θ是函数f(x)＝3cosx＋sinx的一个极值点，所以f′(θ)＝－3sinθ＋cosθ＝0，则tanθ＝，所以cos2θ＋sin2θ＝＝＝.
12. －2　解析：因为f(x)＝x3－12x，所以f′(x)＝3x2－12.令f′(x)＝0，则x1＝－2，x2＝2.当x∈(－∞，－2)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增；当x∈(－2，2)时，f′(x)<0，则f(x)单调递减；当x∈(2，＋∞)时，f′(x)>0，则f(x)单调递增，所以当x＝－2时，f(x)取极大值，即x＝－2是f(x)的极大值点，所以a＝－2.
13. (1) 由f(x)＝可得f′(x)＝＝，
所以函数f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝＝0，切点为，
所以函数f(x)在x＝1处的切线方程为y＝.
(2) 因为f′(x)＝，
由f′(x)>0可得x<1；由f′(x)<0可得x>1；
所以函数f(x)在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
所以当x＝1时，f(x)取得极大值为f(1)＝，无极小值．
综上所述，f(x)的单调增区间为(－∞，1)，f(x)的单调减区间为(1，＋∞)，f(x)的极大值为f(1)＝，无极小值．
14. (1) 当a＝－3时，f(x)＝lnx＋(x>0)，则f′(x)＝－＝，
令f′(x)＝0，得x＝3，
x，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：
x (0，3) 3 (3，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ?↘ 极小值 ?↗
所以当x＝3时，f(x)取得极小值f(3)＝ln3＋1，无极大值．
(2) 由f(x)＝lnx－(x>0)，得f′(x)＝＋＝(x>0)，
当a≥0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在区间[e，e3]上单调递增；
当a<0时，由f′(x)＝0，得x＝－a，
x，f′(x)和f(x)的变化情况如下表：
x (0，－a) －a (－a，＋∞)
f′(x) － 0 ＋
f(x) ?↘ 极小值 ?↗
因为f(x)在区间[e，e3]上单调递增，
所以－a≤e，得－e≤a<0.
综上，实数a的取值范围为[－e，＋∞)．