丰富的图形世界
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考点精讲
考点一生活中的立体图形考点一生活中的立体图形 生活中的立体图形1.立体图形：有些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形.2.生活中常见的几何体通常分为三类：柱体、锥体、球．名称图例特征柱体圆柱底面形状是圆，侧面形状是曲面有两个面（底面）是互相平行的棱柱底面形状是多边形，侧面形状是平行四边形锥体圆锥底面形状是圆，侧面形状是曲面有一个顶点棱锥底面形状是多边形，侧面形状是三角形各侧面有一个公共顶点球体表面是曲面特别提醒：（1））立体图形都是由一个或几个面围成的；（2）组成棱柱的面都是平面，而圆锥、圆柱的面既有平面，又有曲面.棱柱的有关概念及其特征1.棱柱的有关概念：在棱柱中，相邻两个面的交线叫做棱，相邻两个侧面的交线叫做侧棱.2.棱柱的三个特征一是棱柱的所有侧棱长都相等；二是棱柱的上、下底面的形状、大小相同，并且都是多边形；三是侧面的形状都是平行四边形3.棱柱的分类棱柱可分为直棱柱和斜棱柱．直棱柱的侧面是长方形．人们通常还根据底面图形的边数将棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……它们的底面图形的形状分别是三角形、四边形、五边形……长方体、正方体都是四棱柱4.棱柱中的顶点、棱、面之间的关系底面多边形的边数n确定该棱柱是n棱柱，它有2n个顶点，3n条棱，其中有n条侧棱，有（n＋2）个面，n个侧面.特别提醒：（1）圆柱和棱柱的主要区别圆柱：底面是圆形，侧面是一个曲面；棱柱：底面是多边形，侧面都是四边形.（2）圆锥和棱锥的主要区别圆锥：底面是圆，侧面是曲面；棱锥：底面是多边形，侧面都是三角形.（3）我们常用虚线来表示立体图形中被挡住的部分，这也是我们区分立体图形和平面图形的标准之一.几何图形的构成1.图形是由点、线、面构成的．其中面有平面，也有曲面；线有直线，也有曲线.2.点、线、面、体之间的关系是：点动成线，线动成面，面动成体．面与面相交得到线，线与线相交得到点，因此说任何几何图形都是由无数个点构成的.注意：（1）有些含曲面的几何体可以由某一平面图形绕某一直线旋转得到.（2）同一平面图形绕不同的旋转轴旋转一般会形成不同的几何体.特别提醒：（1）将平面图形旋转成几何体，需两个条件：旋转轴和旋转角度.同一个平面图形绕不同的旋转轴进行旋转或旋转角度不同，所得的几何体一般不同.（2）几种常见平面图形旋转得到的几何体：直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周得到圆锥，长方形绕它的一边所在直线旋转一周得到圆柱，半圆形绕它的直径所在直线旋转一周得到球.
考点二展开与折叠考点二展开与折叠 正方体的表面展开图正方体是特殊的棱柱，它的六个面都是大小相同的正方形，将一个正方体的表面展开，可以得到11种不同的展开图.一四一型（中间四连方，两侧各一个）（如图（1）～（6）所示）（1） （2） （3） （5） （6）二三一型或一三二型（中间三连方，两侧各有一、两个）（如图（1）～（3）所示） （2） （3）（3）二二二型（中间二连方，两侧各有两个）（如图所示）．（4）三三型（两排各三个）（如图所示）．棱柱的表面展开图棱柱的表面展开图是由两个大小相同的多边形和一些长方形组成的，沿棱柱的表面不同的棱剪看，可得到不同组合方式的表面展开图.圆柱、圆锥的表面展开图1.圆柱的表面展开图是由两个大小相同的圆（底面）和一个长方形（侧面）组成的，其中长方形的一边的长是底面圆的周长，另一边的长是圆柱的高．圆柱的侧面展开图是长方形，如图所示（1）；圆柱的表面展开图如图所示（2）.2.圆锥的表面展开图是由一个扇形（侧面）和一个圆（底面）组成的，其中扇形的半径长是圆锥的母线（即圆锥底面圆周上任一点与顶点的连线）长，而扇形的弧长则是圆锥底面圆的周长.圆锥的侧面展开图是扇形，如图（1）所示；圆锥的表面展开图如图（2）所示.特别提醒：（1）同一个几何体，其表面按照不同的形式展开，得到的表面展开图不一定相同；（2）一个几何体的表面展开图并不是唯一确定的，但无论是哪种方式的表面展开图，将其围成的几何伂都是同一个.将表面展开图折叠成几何体由表面展开图通过折叠得到几何体与将几何体的表面展开是两个互逆的过程，由表面展开图判断几何体的形状的方法有两种：一是制作模型，动手操作；二是发挥空间想象能力，根据图形特征来判断.
考点三截一个几何体 截面用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面．截面形状通常为三角形、正方形、长方形、梯形、圆等，截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．截一个几何体所得截面的形状几种常见的几何体的截面如下
（1）用平面去截正方体
正方体的几种截面，如图所示：
（2）用平面去截圆柱
圆柱的几种截面，如图所示：
（3）用平面去截圆锥
圆锥的几种截面，如图所示
（4）用平面去截球
用平面截球时，截面的形状都是圆.特别提醒：一般地，用平行于底面的平面去截柱体时，截面是一个与底面完全相同的平面图形；用垂直于底面的一个平面去截直棱柱或圆柱时，截面是一个长方形．用一个平行于底面的平面去截锥体时，得到的是一个与底面形状相同，但比底面小的面.截面是一个平面图形，由于面与面相交得到线，截面的边是由截面与被截几何体的面相交而成的，所以截面与被截几何体的几个面相交，得到的截面就是几边形.
考点四从三个方向看物体的形状 从不同的方向观察物体1.我们从不同的方向观察同一物体时，通常可以看到不同的形状.我们常常从正面、上面、左面三个不同的方向看物体，然后描绘出观察到的形状，这样就可以把一个立体图形的特征转化为平面图形的特征．特别提醒：从三个方向看，得到的形状图与立体图形的相互转化可用如下方法：
（1）从正面和上面看，得到的形状图的长度相等，且相互对正，即“长对正”
（2）从正面和左面看，得到的形状图的高度相等，且相互平齐，即“高平齐”
（3）从上面和左面看，得到的形状图的宽度相等，即“宽相等” .2.常见立体图形分别从正面、左面、上面看所得到的平面图形如下表画从三个方向看到的物体的形状图从正面看到的物体的形状和从上面看到的物体的形状共同反映了物体左右方向的尺寸；从正面看到的物体的形状和从左面看到的物体的形状共同反映了物体上下方向的尺寸；从上面看到的物体的形状和从左面看到的物体的形状共同反映了物体前后方向的尺寸．特别提醒：（1）无论从哪个方向看一个几何体，实际上都只能看到一个平面图形.（2）从同一个方向看物体时，因物体摆放的方式不同，得到的平面图形一般也会有所不同. 判断几何体的形状根据从不同方向看物体得到的形状图所具有的特征进行综合判断并想象出物体的形状，这是由平面图形转化为立体图形的过程．长、宽、高的关系：从正面看到的图和从上面看到的图的长度相等；从正面看到的图和从左面看到的图的高度相等；从上面看到的图和从左面看到的图的宽度相等．上下、前后、左右的关系：读图时，可根据从正面看到的图分清物体各部分的上下和左右的位置关系；根据从上面看到的图分清物体各部分的左右和前后的位置关系；根据从左面看到的图分清物体各部分的上下和前后的位置关系.拓展：根据展开图判断立体图形的规律（1）展开图全是长方形（或正方形）时，应考虑长方体（或正方体）.（2）展开图中含有三角形时，应考虑棱锥或棱柱.如展开图中只含有2个三角形和3个长方形时，可考虑三棱柱；若展开图全是三角形（4个），则可考虑三棱锥.（3）展开图中只含有圆和长方形（或正方形）时，应考虑圆柱.（4）展开图中含有扇形时，应考虑圆锥.第二章 有理数及其运算
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考点精讲
考点一有理数 用正数和负数表示具有相反意义的量在生产、生活中常常会遇到一些语句中都含有一对具有相反意义的词，如“零上”和“零下”、“收入”和“支出”、“增加”和“减少”、“升高”和“降低”等.像这样，分别由具有相反意义的词表示的两个量，就是具有相反意义的量．具有相反意义的量是成对出现的，单独一个量不能称为相反意义的量．具有相反意义的量必须是同类量.特别提醒：（1）用正数和负数表示具有相反意义的量时，要根据实际，规定哪种意义的量为正数，那么具有相反意义的量就为负数．表示时要带单位（2）具有相反意义的量，只要求意义相反，不要求数量相等.正数和负数的概念1.正数：像3，1，325等比0大的数叫做正数，在小学学过的数除0以外都是正数，正数比0大．有时为了突出数的符号，常在正数前面加上“+”号.如＋5，＋1．2，＋，…，有时也可省略“+”号.2.负数：像-3，-1，-325等在正数前面加上“-”号的数叫做负数，负数比0小.负数前面的“-”号不能省略特别提醒：0既不是正数，也不是负数，0是正数和负数的分界，即正数一定比0大，负数一定比0小.有理数1.有理数：整数与分数统称为有理数.2.整数：正整数、零、负整数统称为整数3.分数：正分数和负分数统称为分数．有限小数和无限循环小数也是分数.4.有理数的分类（1）按符号分类：按定义分类特别提醒：到现在为止，我们学过的数可分为五类：正整数、正分数、零、负整数、负分数，但研究问题时，通常把有理数分为：正有理数、零、负有理数三类进行讨论．通常把正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数（也叫做自然数），负整数和零统称为非正整数．（3）在对有理数进行分类时，以须按同一准进行分类，不能混淆标准．
考点二数轴 数轴1.数轴的概念画一条水平直线，在直线上取一点表示0（叫做原点），选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到数轴.特别提醒：数轴的概念包含三层含义：第一层含义是数轴是一条直线，可以向两端无限延伸，但直线不一定是数轴；第二层含义是数轴有三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；第三层含义是原点的选定、正方向的选取（一般规定向右为正）、单位长度大小的确定，都是根据实际需要规定的，但同一数轴上的单位长度必须一致2.数轴的画法（1）画一条直线（一般画成水平的直线）（2）在直线上选取一点为原点，并用这点表示0（在原点下边标上“0”）.（3）确定正方向（一般规定向右为正），应箭头表示出来.（4）选取某一长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3，….用数轴上的点表示有理数数轴上的点与有理数的关系：任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，0用原点表示．特别提醒：（1）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数，（以后学习的无理數也可以用数轴上的点表示）（2）在数轴上表示一个数，一般用实心点表示，把要表示的数写在数轴上所对应的点的上方.利用数轴比较有理数的大小1.数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大.2.正数大于0，负数小于0，正数大于负数
考点三绝对值 相反数的概念1.相反数的代数定义：如果两个数只有符号不同，那么称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数．特别地，0的相反数是0．2.一地，数a的相反数是-a．这里a表示任意的一个数，可以是正数、负数或0.3.相反数的几何定义：在数轴上位于原点的两侧，与原点距离相等的两个点所表示的数互为相反数.4.相反数的几何意义：在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，且与原点的距离相等特别提醒：（1）“0的相反数是0”是相反数定义的一部分，不能把它漏掉.（2）相反数是成对出现的，单独的一个数不能说是相反数.（3）“只有符号不同”中的“只有”指的是除了符号不同以外其余完全相同（也就是绝对值相同），不能理解为只要特号不同的两个数就是互为相反数.绝对值的概念绝对值的概念：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值．2.用a表示一个有理数，则a的绝对值记作|a|，读作“a的绝对值”.表示0的点与原点的距离是0，所以|0|＝03.一个数的绝对值与这个数的关系：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数：0的绝对值是0．用式子表示：特别提醒：（1）数轴上表示数的点与原点的距离只与这个点离原点的远近有关，而与它所表示的数的正负无关.（2）距离不可能是负数，因此，任何一个数的绝对值都是非负数.正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数.（3）在数轴上表示一个数的点离原点越远,这个数的绝对值越大；反之,绝对值越小.4.绝对值的性质（1）任何数都有且只有一个绝对值,任何数的绝对值都是非负数,即｜a｜≥0.若几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0.例如，若｜a｜+｜b｜+｜c｜=0,则a=b=c=0.（2）绝对值是它本身的数是非负数,绝对值是它的相反数的数是非正数.0是绝对值最小的数.（3）绝对值是某个正数的数有两个,它们互为相反数.例如，因为|±2|=2，所以绝对值等于2的数为2，-2.绝对值是0的数只有0.（4）互为相反数的两个数的绝对值相等，反之，绝对值相等的两个数可能相等,也可能互为相反数.例如，若|a|=|b|，则当a=0时，a=b=0；当a≠0时，a=b或a=-b.特别提醒：（1）绝对值等于它本身的数是正数和0，绝对值等于它的相反数的数是负数和0，不要丢掉0.（2）无论是绝对值的几何意义，还是绝对值的代数意义，都揭示了绝对值的一个重要性质——非负性，即|a|≥0.比较两个负数的大小两个负数比较大小，绝对值大的反而小对于两个负数，由于它们都位于原点的左侧，因而，绝对值越大的，在数轴上的位置就越靠左，而数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大所以两个负数比较大小，绝对值大的反而小.
考点四有理数的加法 有理数的加法法则1.有理数加法法则如下：（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；（2）异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.（3）一个数同0相加，仍得这个数.特别提醒：当第二个加数为负数时，这个负数要用指号括起来，即两个符号要用括号隔开．当出现异号的两个异分母分数相加时，一般要写出通分这一步，确定出哪个数的绝时值大，从而确定号.（3）互为相反数的两数相加和为02.有理数加法的运算步骤步骤1:确定类型，即确定两个数是同号、异号，还是有一个加数为0，根据类型确定用哪个法则.步骤2:确定和的符号，根据两个加数的符号及加数的绝对值的大小确定和的符号是“+”还是“-”.步骤3:确定和的绝对值，根据加法法则对两个加数的绝对值进行加减运算，确定和的绝对值.有理数加法的运算律1.加法的交换律；两个数相加，交换加数的位置，和不变.用字母表示a+b=b+a.2.加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.用字母表示为(a+b)+c=a+(b+c).特别提醒：交换律和结合律对两个以上的数也适用，使用运算律是为了简化运算，在使用时，一般先把具有以下特征的数相加：（1）互为相反数的两个数；（2）符号相同的数；（3）相加能得到整数的数；（4）分母相同的数：（5）易于通分的数
考点五有理数的减法 有理数的减法1.有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数.2.有理数减法运算的步骤：（1）根据有理数的减法法则，把减号变为加号，把减数变为它的相反数.（2）利用有理数的加法法则进行运算.特别提醒：（1）在进行有理数减法运算时，关键是如何正确解决符号问题，使减法运算合理地转化为加法运算．应同时改变两个符号：一是运算符号，由“-”号变为“+”号；二是减数的性质符号，由“+”号变为“-”号或由“-”号变为“+”号.（2）在进行有理数减法运算时，减数与被减数不能互换，即减法没有交换律.
考点六有理数的加减混合运算 将有理数的加减混合运算统一为加法运算1.在进行有理数的加减混合运算时，可以通过有理数的减法法则，把减法转化为加法，也就是将有理数的加减混合运算统一为单一的加法运算．如：（-1）-3＋（-4）-（-2）＝（-1）＋(-3)+(-4)+(+2)
2.在一个和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式.如：（－8）＋（一7）＋（－6）＋（＋5）＝－8-7-6+5
3.和式的读法：如－8-7-6+5，一是按这个式子表示的意义读作“负8，,负7，负6，正5的和”；二是按运算意义读作“负8减7减6加5”.4.省略加号的和的形式，可看作是有理数的加法运算．因此，可运用加法运算律来简化计算，但要注意运算的合理性．（1）在交换加数位置时，要连同加数前面的符号一起交换．（2）在运用加法结合律时，有时把减号看作负号．有理数加减混合运算的步骤第一步：运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法
第二步：写成省略加号、括号的各数和的形式
第三步：运用加法法则、加法交换律，加法结合律进行简便运算.特别提醒：（1）进行有理数的加减混合运算时，将加减混合运算统一为加法运算后，可适当运用加法交换律和结合律简化运算.当交换加数的位置时，要连同其性质符号一起交换.（2）进行含带分数的加法运算时，可将带分数的整数部分与分数部分进行分离.注意分开的整数部分与分数部分必须保持原带分数的符号.利用有理数加减运算解决实际问题教材上“水位的变化”问题是典型的利用有理数的加减混合运算的实际问题，首先要理解在水位的变化记录表下面标明的“注”的含义：正号表示水位比前一天上升，负号表示水位比前一天下降，参考对象是前一天的水位.折线统计图1.根据相关数据，在图中标出能反映这些数据特征的点，然后再按照事物发展的一种趋势，将标出的点连成折线，这样就得到了折线统计图.2.画折线统计图的步骤：（1）首先确定题目中的折线统计图的标题，即应明确要画的是说明什么问题的折线统计图.（2）确定一个量或一个数值为0点，有的题目直接给出0点.（3）标出横线和竖线的单位，使看图的人能够看懂，并能正确使用．（4）恰当选择单位长度，使画出的折线统计图既不太靠上，又不太靠下，有明显的上升和下降的幅度，能清楚地看出变化情况.（5）竖线上选取的最高点最好比实际最高值略高一些，最低点比实际最低值略低一些，这样能突出最大值和最小值的变化幅度.3.折线统计图能清晰地显示各组数据在一段时期内的变化趋势．
考点七有理数的乘法考点七有理数的乘法 有理数乘法法则有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘任何数与0相乘，积仍为0.注意:（1）乘法法则中“同号得正,异号得负”是专指“两个非零的数相乘”,当两个数中有一个因数为0时,积就是0.（2）不要与加法法则混为一谈,错误地理解为“同号取原来的符号”.如把（-2）×（-3）的符号错误地判断为“取原来的符号‘-’”,再把绝对值相乘,得-6.特别提醒：（1）两个有理数的乘法运算可分两步进行:第一步，确定积的符号.第二步，把绝对值相乘.（2）因为性质符号与运算符号不能相连，所以当乘数中有负数时,必须将其用括号括起来,第一个因数有负号时可省略括号.如-3与-4相乘写为-3×（-4）.（3）一个数乘1等于它本身,一个数乘-1等于它的相反数.倒数如果两个有理数的乘积为1，那么称其中的一个数是另一个数的倒数，也称这两个有理数互为倒数.特别提醒：若a≠0，则a的倒数为，0没有倒数；互为倒数是两个数而言的，单独的一个数无所谓倒数.若a，b互为倒数，则ab＝1；反之，若ab＝1，则a，b互为倒数．（3）倒数为它本身的数为士1.有理数乘法法则的推广几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定当负因数有奇数个时，积的符号为负；当负因数有偶数个时，积的符号为正.
（2）几个数相乘，有一个因数为0，则积为0.特别提醒：多个非零有理数相乘,一定要先确定积的符号,再把绝对值相乘.积的符号由负因数的个数决定.（2）在有理数乘法运中，若有带分数与小数应先將带分数化成假分数，小数化成分数，以便约分.有理数乘法的运算律拓展：（1）乘法交换律和乘法结合律可以推广：三个或三个以上的有理数相乘，任意交换因数的位置，或者任意先把其中几个因数相乘，积都不变.（2）分配律对于一个有理数同两个以上有理数的和相乘的情形仍然成立，即a（b+c+…+m）=ab+ac+…+am.
考点八有理数的除法 有理数的除法法则（一）两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何非0的数都得0.特别提醒：进行有理数除法运算，应先确定商的符号，再确定商的绝对值.
（2）0不能作除数，0作除数无意义.（3）如果被除数和除数都是整数，且能整除，一般选用法则（一）进行计算，先确定商的符号，再将两数的绝对值相除.有理数的倒数用1除以一个非0的数，商就是这个数的倒数．正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，0没有倒数.有理数的除法法则（二）除以一个数（不等于0）等于乘这个数的倒数，即a÷b＝a×.特别提醒：如果被除数和除数都是整数，且不能整除，或者如果被除数和除数中有小数或分数，一般选择法则（二）进行计算.有理数的乘除混合运算步骤步骤1：将所有的除法转化为乘法.步骤2：先确定积的符号，再把绝对值相乘.步骤3：运用乘法运算律，简化运算.步骤4：求出最后的结果.注意:除法没有运算律，只有转化为乘法后才能运用运算律.特别提醒：（1）运用除法法则一可将除法转化为乘法.（2）在同一级运算中，要按从左到右的顺序进行计算.（3）在计算中，带分数应化为假分数，存在小数、分数两种形式时应统一成一种形式.（4）计算结果能约分的必须约分.
考点九有理数的乘方 乘方的意义一般地，n个相同的因数a相乘，记作，即a×a×…×a＝，这种求n个相同因数a的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂，a叫做底数，n叫做指数，读作“a的n次幂”（或“a的n次方”）.特别提醒：（1）一个数可以看做它本身的1次方，指数1通常省略不写.（2）当底数是负数或分数时，必须用括号将底数括起来.（3）负数的乘方与乘方的相反数不同．例如：（-2）4＝（-2）×（-2）×（-2）×（-2）＝16，-24＝ー2×2×2×2＝-16.乘方运算的性质正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的任意正整数次幂都是0.拓展：（1）互为相反数的两个非零数的偶次幂相等，即若a+b=0,则a2n=b2n（n为自然数，a≠0，b≠0）.（2）互为相反数的两个非零数的奇次幂仍然互为相反数，即若a+b=0,则a2n+1+b2n+1=0（n为自然数，a≠0，b≠0）.特别提醒：（1）1的任何次幂都是1，-1的奇次幂都是-1,-1的偶次幂都是1.（2）任何数的偶次幂（除00）都是非负数（比较常用的是二次方,如a2≥0）.（3）平方等于它本身的数有0和1，立方等于它本身的数有0和±1.（4）有理数的乘方运算同有理数的加减乘除运算一样分两步:一是确定结果的符号，二是确定结果的绝对值.（5）用字母a表示有理数,n为正整数,则当a＞0时,an＞0;当a＜0时,n为偶数，an>0，n为奇数，an<0；当a=0时,an=0（n≠0）.a2n=（-a）2n；（-a）2n+1=-a2n+1；a2n≥0.
考点十科学记数法 用科学记数法表示大数1.概念：一般地，一个大于10的数可以表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数，这种记数方法叫做科学记数法.2.科学记数法中a和n的确定（1）确定a：a就是把原数的小数点向左移动，使它成为只含有一位整数的数（即1≤a＜10）.（2）确定n一般有两种方法：方法一：利用整数的位数来求n，n等于原数的整数位数减1.例如，3 500是一个四位整数，则n＝4-1=3.方法二：看小数点移动的位数，小数点向左移动了几位，n就等于几.例如，从3 500到3.5，小数点向左移动了3位，则n＝3.特别提醒：（1）科学记数法是一种记数方法，用科学记数法表示一个绝对值大于等于10的数，只改变这个数的书写形式,并不改变它的大小.（2）用科学记数法表示一个带有单位的数时，其表示的结果也应带有单位，并且前后一致.当a=1时,可以省略不写,如1×104=104.
考点十一有理数的混合运算 有理数混合运算的法则1.运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的.2.有理数混合运算需注意的几个问题：（1）有理数的运算，加减法是第一级运算；乘除法是第二级运算；乘方和开方（以后学）是第三级运算．一个式子中如果含有多级运算时，先做第级运算，再做第二级运算，最后做第一级运算．同一级运算按照从左到右的顺序进行；有括号时，一般按照小括号、中括号、大括号的顺序进行运算灵活运用运算律，改变运算顺序，可以简化计算.特别提醒：（1）在运算过程中,一般先把带分数化为假分数、小数化为分数,再进行乘方、乘除等运算，可简化解题步骤.另外，有些运算同时进行也可简化解题步骤.（2）进行混合运算时，除遵守以上规则外，还需注意灵活使用运算律，使运算准确、简便.有理数混合运算的应用“24点”游戏是这样进行的：从一副扑克牌（去掉大、小王）中任意抽取4张，根据牌面上的数字进行混合运算（每张牌必须用一次且只能用一次，可以加括号），使得运算结果为24或－24，其中红色扑克牌代表负数，黑色扑克牌代表正数，J，Q，K分别代表11，12，13．由于任意取出的四张牌上的数字经过什么运算才能得到24或－24具有不确定性，因此大家要灵活运用有理数的加、减、乘、除、乘方运算，要多尝试、多探索.
考点十二用计算器进行运算 计算器的认识计算器具有运算快、操作简便、体积小等特点在信息高速发展的时代，它已成为人们广泛使用的计算工具.
2.按照功能，计算器可分为简单计算器、科学计算器、图形计算器等几种类型．计算器的面板由键盘和显示器两部分组成.3.计算器的使用近似数及其精确度1.所谓近似数，就是与实际接近的数，使用近似数就有一个近似程度的问题，也就是精确度.2.一数地，一个近似数四含五人到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位.如3＝3.333…，结果取3，就说精确到个位；取3.3，就说精确到十分位（或精确到0．1）；取3.33，就说精确到百分位（或精确到0．01）特别提醒：（1）取一个精确到某一位的近似数时，应对这一位后面的第一个数字进行四舍五入.（2）一个近似数末尾的0不可省略，如0.50中末尾的0不能省略，因为它表示的是这个数的精确度.第三章 整式及其加减
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考点精讲
考点一字母表示数 用字母表示数1.用字母表示数的优点：用字母表示数解决了特殊与一般的关系，更具有一般性和简明性.2.用字母表示问题中的数量关系与用数来表示数量关系，在本质上是相同的，首先弄清题意，并根据题目中所提供的条件发现其中所蕴含的数量关系或规律，然后利用字母列出式子，将其表达出来.用字母表示运算律和公式灵活运用运算律有利于简化计算，这些运算律都可以用字母来表示,从而使运算律的表述简明，且有代表性．如：设a，b，c表示三个数,加法交换律可表示为a＋b＝b＋a；加法结合律可表示为（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）；乘法交换律可表示为ab＝ba；乘法结合律可表示为（ab）c＝a（bc）；乘法对加法的分配律可表示为a（b＋c）＝ab＋ac用字母不仅可以表示运算律，还可以表示生活中的实际数量关系．若用s表示路程，用t表示时间，用v表示速度，则有s＝vt；圆的周长和面积可以分别表示为2πr和πr2，其中r表示圆的半径.
考点二代数式 代数式的概念用运算符号把数和字母连接而成的式子叫做代数式.
其中的运算符号可以是加、减、乘、除、乘方，还有今后要学习的开方.
特别提醒：（1）单独的一个数或一个字母也是代数式
（2）带有“＜（≤）”、“＞（≥）”、“＝”、“≠”等符号的式子不是代数式.代数式的书写要求（1）在代数式中，字母与字母相乘时，乘号通常简写作“·”或省略不写；数字与字母相乘时，乘号通常简写作“ ”或省略不写，数字应写在字母前面；带分数与字母相乘时，应先把带分数化成假分数后再与字母相乘；数字与数字相乘，仍用“×”.
（2）在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，被除数作分子，除数作分母，“÷”转化为分数线．分数线具有“÷”和括号双重作用.
（3）在实际问题中，表示某一数量的代数式往往是有单位名称的，如果代数式是积或商的形式，就将单位名称写在式子的后面即可；如果代数式是和或差的形式，就必须把代数式用括号括起来，再将单位名称写在式子的后面.列代数式正确列出代数式要注意以下几个方面：
（1）认真审题，将问题中表示数量关系的词语正确地转换为对应的运算．如：和、差、积、商、增加、扩大、缩小、倍、比、除以等，都是表示数量关系的常用词语.（2）注意题目的语言叙述所表示的运算顺序，一般“先读先写”.（3）在复杂的问题中，要弄清题意中数量关系的运算顺序，正确使用表明运算顺序的括号，分出层次，逐步列出代数式.代数式的实际意义
代数式的实际意义就是将代数式中的字母及运算符号赋予具体的含义．要注意实际问题中的数量关系必须与代数式所表示的相一致.特别提醒：问题的结论往往具有开放性，只要说法合乎情理即可.
代数式的值
用具体数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算顺序计算出的结果，叫做代数式的值．代数式的值一般不是某一个固定的量，它是随着代数式中字母取值的变化而变化的．代数式中的字母可以取不同的数，但它所取的数必须使代数式有意义且符合实际
代数式求值的方法步骤
第一步：用具体数值代替代数式里的字母，简称为“代入”.
第二步，按丽伊数武指明的运原序计算出结果，简称为“计算”.
考点三整式考点三整式 单项式1.单项式的概念：数与字母的乘积的代数式叫做单项式、单独一个数或一个字母也是单项式.特别提醒：（1）单项式中数与字母之间都是乘积关系．凡字母出现在分母中的式子一定不是单项式，如不是单项式.（2）单项式中不含加减运算．如知，3a-2都不是单项式.（3）π是常数，在单项式中相当于数字因数.（4）定义中的“数”可以是小数，也可以是分数、整数.2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数注意：只含有字母的单项式，它的系数是1或-1，通常“1”省略不写，单项式的系数包括它前面的符号.特别提醒：单项式的系数是带分数时，通常写成假分数．如一般不写成单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．单项式的次数仅与字母有关，而与系数的指数和π的指数无关.特别提醒：（1）若单项式中的某个字母没有写指数，则这个字母的指数是1，而不是0．如2x2y中，y的指数为1.（2）单独一个非零数的次数是0．如2的次数是0.多项式1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式．
2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.
3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数.
4.多项式的项数：多项式中单项式的个数叫做多项式的项数．例如：
x2-5x+3的项数是3，项分别为x2，-5x，3；3a2b＋7b－2的项数是3，项分别为3a2b，7b，-2.特别提醒：
（1）多项式中各单项式前的“＋”或“一”是这个单项式的性质符号，多项式中的“和”是指省略加号的代数和，故确定多项式的项时，不要忽略它们的符号.
（2）一个多项式含有几项，最高次项的次数是几次就叫几次几项式.如3a2b＋7b－2的项分别是3a2b，7b，－2，共3项，最高次项的次数是3，故它是三次三项式.
整式单项式和多项式统称为整式，即整式
2.代数式、整式、单项式、多项式之间的关系，如图所示：
3.整式是代数式的一种类型.特别提醒：分母中含有字母的式子一定不是整式.
考点四整式的加减 同类项的概念所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项，叫做同类项．特别提醒：（1）判断几个项是不是同类项有两个条件：一是所含字母相同；二是相同字母的指数分别相同．同时具备这两个条件的项是同类项，缺一不可．（2）同类项与系数无关，与字母的排列顺序无关.（3）特别注意，几个常数也是同类项合并同类项1.把同类项合并成一项叫做合并同类项2.合并同类项的法则：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变．3.合并同类项的步骤：第一步，准确地找出同类项；第二步，利用合并同类项法则合并同类项，把同类项的系数加在一起，字母和字母的指数不变；第三步，利用有理数的加法计算出各项系数的和，写出合并后的结果．去括号的意义在有理数运算中，有括号时，通常是先算括号内的，然后再按加、减、乘、除及乘方混合运算的运算顺序进行计算．而在代数式的运算中，有括号时，却往往无法先进行括号内的运算，或先算括号内的相对复杂，因而要先去掉括号，才能使运算得以顺利进行.去括号的法则去括号法则：（1）括号前是“＋”号，把括号和它前面的“＋”号去掉后，原括号里各项的符号都不改变；（2）括号前是“一”号，把括号和它前面的“一”号去掉后，原括号里各项的符号都要改变.注意：（1）当括号外是一个非“±1”的因数时，应根据分配律，先将该数数（不带性质符号）与括号内的各项分别相乘后再去括号.（2）括号内原有几项，去括号后仍有几项，不要丢项.特别提醒：（1）去括号的依据是分配律.去括号时，既要注意符号．又要注意各项系数的改变（2）去括号是式子的一种恒等变形，去括号时必须保证式子的值不变，即“形变而值不变”.多位数的表示方法相同字母在不同的数位上所表示的数值不同.比如，2在十位上表示2个10，在百位上表示2个10．若百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，则这个三位数可表示为100a＋10b＋c整式的加滅整式的加减，实质就是将整式中的同类项进行合并，如果有括号应先去括号，再合并同类项.特别提醒：（1）两个整式相减时，减式一般先用括号括起来.（2）整式的加减的最后结果中：①结果要最简，即结果中不再含有同类项；②一般按照某一字母的降幂或升幂排列；③不能出现带分数，带分数要转化为假分数.
考点五探索与表达规律 探索规律的关键：注意观察已知的对应数值或图形的变化规律，从中发现数量关系或图形的变化规律，即得到规律.探索规律的一般步骤（1）从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律；
（2）由此及彼，合理联想，大胆猜想；
（3）善于类比，从不同事物中发现其相似点或相同点；
（4）总结规律，得出结论，并验证结论正确与否．第四章 基本平面图形
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考点精讲
考点一线段、射线、直线 线段、射线、直线的概念1.线段：期紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看做线段．线段有两个特征：一是直的；二是有两个端点.2.射线：将线段向一个方向无限延长就形成了射线．手电筒、探照灯所射出的光线可以近似地看做射线．射线有三个特征：一是直的；二是有一个端点三是向一方无限延伸.3.直线：将线段向两个方向无限延长就形成了直线，直线有三个特征：一是直的；二是没有端点；三是向两方无限延伸.线段、射线、直线的表示方法名称图例表方方法线段用一个小写字母表示，如：线段a；用两个表示端点的字母表示，如：线段AB（或线段BA）.射线用一个小写字母表示，如：射线；用两个大写字母表示，端点在前，如：射线OA直线用一个小写字母表示，如：直线；用直线上的两个大写字母表示，如直线AB（或直线BA）.线段、射线、直线的区别与联系名称线段射线直线不同点端点个数2个1个无伸展性不可延长只能向一方无限延长向两方无限延长度量可以度量不可度量不可度量联系将线段向一个方向无限延长就形成了射线，向两个方向无限延长就形成了直线，线段和射线都可以看做直线的一部分 共同点都是直的，不是曲的拓展：线段的延长线是有方向的，作延长线时要特别注意表示线段的字母的顺序，以便确定延长的方向.“线段BA”与“线段AB”是同一条线段，但“线段AB的延长线”与“线段BA的延长线”却不是同一条.如图，图中，线段AB的延长线如图（1），线段BA的延长线如图（2）.直线的性质1.画直线的常用工具是直尺，经过一点A可以画出无数条直线.2.直线的基本性质：经过两点有且只有一条直线（这一事实可以简述为：两点确定一条直线）
考点二比较线段的长短 线段的性质两点的所有连线中,线段最短.简单说成：两点之间的所有连线中，线段最短.可简称为“两点之间线段最短”两点之间的距离两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离.特别提醒：（1）线段是一个图形；两点间的距离是指线段的长度，是一个数值.（2）线段的长度可用刻度尺测量.比较两条线段的长短已知线段AB和CD.1.叠合法：把它们放在同一条直线上比较．具体作法如下：画一条直线，在上先作出线段AB，再作出线段CD，并使点C与点A重合，点D与点B位于点A的同侧，则：（1）如果点D与点B重合，就说线段AB与线段CD相等，记作AB＝CD，如图①所示；（2）如果点D在线段AB内部，就说线段AB大于线段CD，记作AB＞CD，如图②所示；（3）如果点D在线段AB外部，就说线段AB小于线段CD，记作AB＜CD，如图③所示.度量法：先用刻度尺量出线段AB与线段CD的长度，再进行比较.特别提醒：用测量法比较线段的长短时，要采用相同的测量标准，单位要统一.作一条线段等于已知线段如图所示，作图步骤为：（1）作一条射线AB；（2）用圆规量出已知线段的长度（记作a）；（3）用圆规在射线AB上截取AC＝a．则线段AC就是所求作的线段.线段的中点特别提醒：（1）线段的中点必须在线段上，线段的中点只有一个，三等分点有两个，四等分点有三个.（2）利用线段的中点可以写出线段相等或成倍分关系的等式.（3）若点C是线段AB的中点，则AC＝BC；但若AC＝BC，则点C不一定是线段AB的中点.
考点三角考点三角 角的定义1.角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边．构成角的两个基本条件；一是角的顶点，二是角的边.如图所示，角的顶点是点O，角的边是射线OA，OB.2.从运动的观点看，角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.如图所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形.3.一条射线绕它的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角．终边继续旋转，当它又和始边重合时，所成的角叫做周角.如图(1)所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所成的角叫做平角：如图(2)所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角.在小学数学中，我们已经知道：1平角＝180°，1周角＝360°.拓展：平角与直线、周角与射线的区别：平角是一个角，它的始边和终边在同一条直线上，但方向相反；直线是一条线，没有端点，可以向两边无限延长，这是两个不同的概念，不能说“一条直线就是平角”或“平角是一条直线”.同样，周角是始边旋转360°后与终边重合而构成的角，这时构成角的两条边的两条射线重合，同样也不能说“一条射线是周角”或“周角是一条射线”.特别提醒：（1）平角和周角都是“角”，而不是”线”因此不能说“一条直线就是平角”，也不能说“一条射线就是周角.（2）没有特殊说明，我们只讨论大于等于0且小于等于180°的角.角的表示方法角的几何符号是“∠”，角的表示方法有以下几种：图例记法适用范围及注意事项用三个大写字母表示，如∠AOB或∠BOA任何情况都适用，用此方法表示角时，顶点的字母必须写在中间用一个大写字母表示，如∠O以这一点为顶点的角只有一个时才适用用数字1，2，3，…表示，如∠AOB可记作∠1任何情况都适用，用此方法表示角时，要用小弧线表示出角的范围，即从哪边到哪边用小写希腊字母α，β，…表示，如∠BOC可记作∠α任何情况都适用，用此方法表示角时，要用小弧线表示出角的范围，即从哪边到哪边特别提醒：当以某一点为顶点的角较多时，不能只用表示顶点的大写字母表示角，一般可用数字或希腊字母表示.角的分类小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角且小于直角的角叫锐角；大于直角且小于平角的角叫钝角.1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°.角的度量及换算1.角的度量单位角的度量单位主要有度、分、秒，符号分别是“°”“′”“″”.把一个周角360等分，每一份就是1度的角，记作1°；把1度的角60等分，每一份叫做1分的角，记作1′；把1分的角60等分，每一份叫做1秒的角，记作1″.以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.此外，还有其他度量角的单位制.2.角度制的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=，1′=60″，1″=.3.角的度量方法最常用的量角的工具是量角器.用量角器量角时要注意对中（顶点对中心）、重合（一边与量角器的零刻度线重合）、读数（读出另一边所对的度数）这三点.
考点四角的比较考点四角的比较 角的大小比较名称方法举例度量法用量角器量出两个角的度数，度数大的角大，度数小的角小，度数相等的角相等用量角器量得∠1=50°， ∠2=45°，所以∠1>∠2.叠合法把两个角的一条边和顶点叠合在一起，另一条边在叠合边的同侧，通过观察另一条边的位置来比较两个角的大小如果EF与BC重合，如图），那么∠DEF等于∠ABC，记作∠DEF=∠ABC.如果EF落在∠ABC的外部，如图，那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF>∠ABC.如果EF落在∠ABC的内部，如图，那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF<∠ABC.注意：（1）角的大小与角的两边的长短、粗细无关，只与角的两边张开的程度有关；（2）角的大小一旦确定，它的大小就不因图形的位置，图形的放大或缩小而改变.特别提醒：（1）比较角的大小时，有时也可用估测法，即直接通过观察的方法，比较角的大小.此方法较为直观，但不够准确，适用于角度差别较大或精确度要求不高的角的大小的比较.（2）“测量法”中角的大小关系和角的度数大小关系是一致的，是从“数的方面”来比较角的大小.“叠合法”中比较角的大小时，一定要使两个角的顶点及一边重合，将角的另一边落在重合的边的同侧，这是从“形”的方面来比较角的大小.两者比较大小的结果是一致的.角的平分线定义：从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.如图所示，如图所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA=∠BOA，∠BOA＝2∠BOC＝2∠C0A.特别提醒：（1）角的平分线是一条射线，不是线段，也不是直线.（2）若OC是∠AOB的平分线，则OC必然在∠AOB的内部.
考点五多边形和圆的初步认识 多边形的有关概念1.多边形：由若干条不在同一直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形．三角形、四边形、五边形、六边形等都是多边形，组成多边形的各条线段叫做多边形的边，相邻两条边的公共端点叫做多边形的顶点，相邻两条边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.特别提醒：多边形的特征：①多边形是平面图形，要和立体图形区分开；②多边形是由不在同一直线上的线段组成的封闭图形；③组成多边形的各条线段首尾顺次相连．2.多边形的对角线：在多边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的对角线.拓展：从n边形每一个顶点都能引出（n-3）条对角线，共有n个顶点，但每条对角线都重复计算了一次，从而对角线共有条.正多边形各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.如图所示的多边形分别是正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形.拓展：多边形可分为凸多边形和凹多边形，如没有特别说明，本书所说的多边形都是指凸多边形，即多边形总在任何一条边所在直线的同一侧，凸多边形的每个内角都小于180°.圆、圆弧、扇形、圆心角的概念平面上，一条线段绕着它固定的一个端点旋转一周，另一个端点形成的图形叫做圆．固定的端点O称为圆心，线段OA称为半径（如图所示）2.圆上任意两点A，B间的部分叫做圆弧，简称弧，记作.读作圆弧AB或“弧AB”（现阶段一般研究小于半圆的弧）3.由一条弧AB和经过这条弧的端点的两条半径OA，OB所组成的图形叫做扇形；顶点在圆心的角叫做圆心角.如图所示的阴影部分就是扇形AOB．∠AOB就是圆中的一个圆心角，∠AOB也可记作∠1.特别提醒：圆心和半径是确定一个圆的两个必须条件．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，二者缺一不可．圆心角的度数（1）一个圆可以分割成若干个扇形，这些扇形的面积的和等于圆的面积（2）因为一个周角为360°，所以分成的几个扇形的圆心角的度数之和＝360，每一个扇形圆心角的度数＝360°×（每一个扇形圆心角占周角的百分比）拓展：半径为R的圆，其面积S＝πR2，将圆等分为360个小扇形，则每个圆心角为1°的小扇形的面积是，所以圆心角为n的扇形的面是.第五章 一元一次方程
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考点精讲
考点一认识一元一次方程 一元一次方程的概念在一个方程中，只含有一个未知数，而且方程中的代数式都是整式，未知数的指数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.特别提醒：（1）一元一次方程必须是整式方程，即方程的分母中不含有未知数.如果一个方程的分母含有未知数，那么这个方程一定不是一元一次方程.（2）要判断一个方程是不是一元一次方程，不能只看形式，首先要将方程化简整理，然后根据一元一次方程的三个特征：①是整式方程；②只含有一个未知（元）；③未知数的次数是1.进行判断.方程的解的概念使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.特别提醒：方程的解是一个具体的数值.根据题意列方程根据题意列方程的一般步骤：（1）设未知数，看题目中求的是什么，一般求什么就设什么为x（设其他量也可以）；（2）分析已知量和未知量的关系，找出相等关系；（3）把相等关系的左、右两边的量用含x（未知数）的代数式表示出来（列方程）等式的基本性质等式基本性质1：等式两边同时加（或减）同一个代数式，所得结果是等式.如果a=b，那么a±c=b±c.等式基本性质2：等式两边同时乘同一个数（或除以同一个不为0数），所得的结果仍是等式.如果a=b，那么ac=bc； 如果a=b（c≠0），那么.特别提醒：根据等式的两条性质，对等式进行变形必须两边同时进行，即：同时加或减，同时乘或除，不能漏掉一边；（2）等式的性质住“两同”：①同一种运算：等式的两边必须都进行同一种运算；②同一个数（或式子）：加、减和乘必须是同一个数（或式子），除以的必须是同一个不为0的数（或式子）. 拓展：等式的其他性质（1）传递性（也称等量代换）：若a＝b，b＝c，则a＝c.（2）对称性：若a＝b，则b＝a.利用等式的基本性质解一元一次方程利用等式的基本性质解一元一次方程，就是利用等式的性质把方程ax＋b＝0（a≠0）进行变形，最后化为x＝-的形式，它一般先运用等式的基本性质1，将ax＋b＝0变形为ax＝一b，然后运用等式的基本性质2，将ax=-b变形为x＝-即可.特别提醒：利用等式的性质解方程时，方程的两边所进行的运算必须完全相同，才能保证方程的解不变.
考点二求解一元一次方程 移项方程中的任何一项，都可以在改变符号后，从方程的一边移到另边，这种变形叫移项.注意：（1）移项时，从等式的一边移到另一边，所移的项一定要变号.（2）方程中的项包括它前面的符号.特别提醒：（1）移项与加法交换律中交换加数的位置不同.移项是将方程中的某一项从方程的一边移到另一边，移项时要变号；而加法交换律中交换加数的位置只改变项的排列顺序，符号只随着移动并不改变.（2）解方程进行移项时，习惯上把含有未知数的项移到等号的左边，把不含有未知数的项移到等号的右边.解一元一次方程1.解一元一次方程的基本思想是：通过适当的变形，最终把一元一次方程化简为ax＝b(a，b为常数，且a≠0）的形式，再得出方程的解为x=-.2.解一元一次方程的一般步骤见下表变形名称具体做法依据注意事项解一元一次方程去分母方程两边同时乘各分母的最小公倍数等式的性质2 不要漏乘不含分母的项.分子是多项式时，去分母后应加上括号去括号先去小括号，再去中括号，最后去大括号（也可以先去大括号，再去中括号，最后去小括号）乘法分配律、去括号法则不要漏乘括号里的任何一项，不要弄错符号移项把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边（记住移项变号）等式的性质1移项要变号，不要漏掉其中任何一项合并同类项把方程化为的形式合并同类项法则字母及其指数不变系数化为1在方程的两边同时除以系数a得到方程的解为等式的性质2不要把分子、分母搞颠倒特别提醒：解具体的一元一次方程时，并不是以上每个步骤都要用到，有分母则去分母，有括号则去括号.也并不一定要按照一般步骤的顺序求解，有时要根据方程的形式、特点灵活安排求解步骤，熟练后还可以合并或简化步骤.
考点三一元一次方程的应用 列一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列一元一次方程解决实际问题的一般步骤可归纳为：
（1）审：审题，分析题中已知什么、求什么，明确各数量之间的关系
（2）找：找出能够表示应用题全部含义的等量关系；
（3）设：设未知数（一般求什么，就设什么）；
（4）列：根据等量关系列出需要的代数式，从而列出方程；
（5）解：解所列出的方程，求出未知数的值
（6）检：检验所求解是否符合题意；
（7）答：写出答案（包括单位）形积变化问题对于这类问题，虽然形状、面积和体积都可能发生变化，但应用题中仍然含有一个等量关系，要通过分析题意和题目中的数量关系，把这个能够表示应用题全部含义的等量关系找出来，然后根据这个等量关系列出方程．此类问题常见的有以下几种情况：（1）形状发生了变化，而体积没变，此时，等量关系为变化前后体积相等；（2）形状、面积发生了变化，面周长没变．此时，等量关系为变化前后周长相等；（3）形状、体积不同，但根据题意能找出体积之间的关系，把这个关系作为等量关系.打折销售问题与打折销售有关的概念
成本价：即进价，商店进货时的价格．标价：商店出售时所标明的价格.售价；商品出售时的实际价格．利润率：商品的利润与成本价的比率.
2.与打折销售有关的公式：①利润=售价-成本价（进价）；②利润率=100％；③售价=成本价+利润=成本价×（1+利润率）；④售价标价×打折数.借助表格分析复杂问题中的数量关系在实际问题中，可以用代数式表示出各个量，找出等量关系，一般包含两个等量关系，列出方程．一般包括以下几个方面的问题：复杂的销售题；（2）调配问题；（3）比例分配问题.行程问题1.相遇问题相遇问题是行程问题中重要的一类问题，它的特点是相向而行．这类问题具有直观性，因此通常画出线段图帮助分析题意，以便于列出方程．这类问题的等量关系一般是双方所走路程之和＝全部路程．相遇问题中等量关系的寻求方法：（1）从时间考虑：两人同时出发，相遇时两人所用时间相等.（2）从路程考虑：①沿直线运动，两人相向而行，相遇时两个人所走路程之和等于全程；②沿圆周运动，两人由同一地点相背而行，第一次相遇时两人所走的路程之和为圆周长.2.直线追及问题追及问题是行程问题中另一类重要问题，它的特点是同向而行．这类问题比较直观，画出线段图便于分析，其等量关系一般是双方行程的差＝原来的路程（开始时双方相距的路程）.追及问题中等量关系的寻求方法（1）从时间考虑：两人同时出发，追上时两人所用时间相等.（2）从路程考虑：①沿直线运动，两人所走路程之差等于需要追上的距离；②沿圆周运动，两人由同一地点同向而行，第一次相遇时两人所走路程.第五章 数据的收集与整理
思维导图
考点精讲
考点一数据的收集 数据的收集方式1.收集数据的方式有：问卷调查，访谈，查阅资料，实地调查，试验，网上搜索等.2.合理选择收集数据的方式对这些方式的选择与应用应结合生活中身边的问题情境，从而得出正确的判断.收集数据的过程
收集数据的步骤：（1）明确调査的问题和目的；（2）确定调査对象；（3）选择调査方法，设计调査问题；（4）实施调査；（5）收集并整理数据；（6）分析数据，得出结论，帮助人们作决策．
通过把握这一过程，针对某个感兴趣的问题设计调查方案一一展开调査活动一一发自内心的观点，相互评价一一回答问题
考点二普查和抽样调查 普查、总体、个体的概念1.为某一特定目的而对所有考察对象进行的全面调查叫做普查．普查可以直接获得总体的情况，但有时总体中个体的数目较多，普查的工作量较大.2.所要考察的对象的全体称为总体，而组成总体的每一个考察对象称为个体.特别提醒：当调查范围较小，调查对象不多时，采用普查.抽样调查、样本的概念1.抽样调查：人们往往从总体中抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查.2.从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本特别提醒：样本必须具有代表性和广泛性才能估计总体的情况.普查与抽样调查的优缺点方式优点缺点普查收集到的数据全面、准确花费多、耗时长，而且某些调查不易采用普查收集到的数买全面抽样调查调查范围小；（2）节省时间、人力、物力和财力；（3）少受客观条件限制调查的准确性不如普查（2）不能全面了解数据.特别提醒：（1）在选取样市时，要使总中每个个都有同等的机会，使声具有代表性、广泛性
（2）样市的个伂数量接近总伂的个伂数量，详市就越能反映总的真实突情况
考点三数据的表示 扇形统计图在生活中，有这样一些统计图，如图所示，利用圆和扇形来表示总体和部分的关系，即用圆代表总体，圆中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小，这样的统计图就叫做扇形统计图.扇形统计图可以直观地反映各部分在总体中所占的比例.在扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比，即百分比=.扇形统计图的绘制绘制扇形统计图的步骤：（1）计算各部分占总体的百分比.（2）计算各部分相应的扇形圆心角的度数：圆心角度数＝360°×各部分所占的百分比.（3）用圆规画圆，再利用量角器作出各圆心角，从而把圆面分成若干个扇形（4）将各部分占总体的百分比标注在相应的扇形上（5）写出扇形统计图的名称．扇形统计图的作用因为扇形统计图中一各部分的名称及其所占的百分比，因此它有三个作用：（1）利用这些数据，就可知道所占的百分比大，所占的百分比小，各部分之间的大小关系及差距等，从面可以帮助我们了解情况，作出正确，合理的决策（2）当知道总体的具体数量时，我们还可以借助扇形统计图来求出各都分的具体数量.（3）当知道某一部分的具体数量时，也可倍助扇形统计图求出总体的具体数量.条形统计图1.条形统计图一般是由两条互相垂直的数轴和若干长方形组成，两条数轴分别表示两个不同的项目，长方形的高表示其中一个项目的数据．2.条形统计图的特点：能清楚地表示出每个项目的具体数目频数的概念1.在数据统计中每个对象出现的次数称为频数.2.理解频数应注意的两个问题：（1）频数能反映每个对象出现的频条程度；（2）所有对象的频数之和等于数据总数.制作频数直方图1.绘制频数直方图的一般步骤：（1）计算所给数据的最大值与最小值的差；（2）决定组距和组数：数据越多，分的组数也应越多，当数据在100个以内时，一般分成5～12组，组距是指毎个小组的两个端点之间的距离，一般每个小组的组距相等；（3）确定分点：确定分点的方法不唯一，为了保证组距相等，往往把略小于最小数据的一点作为左端的分点，把略大于最大数据的一点作为右端的分点；（4）列频数分布表：统计每组中数据出现的次数，可采用“唱票画“正”字法”进行累计，一般选出三人，一人唱票，一人画“正”字，一人监票，可以避免出现差错；（5）绘制频数直方图：频数直方图多用于表示连续分组数据，直方图中的各个小长方形通常连续排列.2.频数直方图是一种特殊的条形统计图，它将统计对象的数据进行了分组，画在横轴上；纵轴表示各组数据的频数.当样本中数据较多，数据的差距也比较大时，频数直方图能更清晰、更直观地反映数据的整体状况.
