一 知识梳理
知识点一 元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是确定的、互不相同的．
思考 我班所有的“追梦人”能否构成一个集合？
答案 不能构成集合，因为“追梦人”没有明确的标准．
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
知识点三 常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
知识点四 列举法
把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点五 描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．
二专题训练
一、单选题
1．（2022高一上·河南月考）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（ ）
A．所有很大的实数组成的集合
B．满足不等式的所有整数解组成的集合
C．所有大于的偶数组成的集合
D．所有到轴距离均为1的点组成的集合
【答案】C
【知识点】集合的含义
【解析】【解答】A：“很大的实数”的标准不确定，故不能组成集合，错误；
B：满足不等式的所有整数解为有限集，错误；
C：所有大于的偶数组成的集合为，为无限集，正确；
D：所有到轴距离均为1的点组成的集合中只有4个元素，错误.
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合集合中元素的确定性、互异性和无序性，从而找出给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的选项。
2．（2022高一上·南阳月考）若集合只含有元素a，则下列各选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由题意知A中只有一个元素a，∴。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，进而找出正确的选项。
3．（2021高一上·兰州期中）下列说法正确的是（ ）
A．某个村子里的高个子组成一个集合
B．所有小正数组成一个集合
C．集合和表示同一个集合
D．这六个数能组成一个集合
【答案】C
【知识点】集合的含义；集合的确定性、互异性、无序性
【解析】【解答】A：某个村子里的高个子，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，错误；
B：所有小正数，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合，错误；
C：和中的元素相同，它们是同一个集合，正确；
D：中含有相同的数，不符合集合元素的互异性，错误.
故答案为：C
【分析】由已知条件结合集合的定义，由此对选项逐一判断即可得出答案。
4．（2021高一上·河池月考）已知集合 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】集合的确定性、互异性、无序性；集合的相等
【解析】【解答】解：对于A：由 是集合，所以 ，
∴A不符合题意；
对于B：当 时， ，与集合中元素的互异性相矛盾，
∴B不符合题意；
对于C：当 时， ， ，不合题意，
∴C不符合题意；
对于D：当 ， 时， ，符合题意，
∴D符合题意.
故答案为：D.
【分析】由集合相等的定义，结合元素的互异性，对选项逐一判断即可得出答案。
5．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4 C．4 D．0
答案 B
解析 若a＝2，则6－2＝4∈A；
若a＝4，则6－4＝2∈A；
若a＝6，则6－6＝0 A，故选B.
6．已知x，y为非零实数，代数式＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．－1∈M B．1∈M C．2∈M D．3 M
答案 A
解析 ①当x，y均为正数时，代数式＋＋的值为3；②当x，y为一正一负时，代数式＋＋的值为－1；③当x，y均为负数时，代数式＋＋的值为－1，所以集合M的元素有－1,3，故选A.
二、多选题
7．（2021高一上·茂名月考）已知集合 ，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】B,C,D
【知识点】元素与集合关系的判断；子集与真子集
【解析】【解答】因为集合 仅有 个子集，所以集合 中仅有一个元素，
当 时， ，所以 ，所以 ，满足要求；
当 时，因为集合 中仅有一个元素，所以 ，所以 ，此时 或 ，满足要求，
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合子集的定义，再利用分类讨论的方法结合元素与集合的关系，再由判别式法得出满足要求的实数a的取值。
8 已知集合中的元素为，若，则.
A 0 B -1 C 1 D2
【答案】C D
【详解】
由，，
若，，，
此时，符合题意；
若，则，，
当时，，不符题意，
当时，，符合题意，
综上可得：或.
故答案为：C D.
三、填空题
9．（2021高一上·信阳期中）已知集合，若，则实数 ．
【答案】
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】由题意，集合，且，
若时，可得，此时，不满足元素的互异性，舍去；
若时，解得或，
当时，可得集合，符合题意；
当时，不符合题意，（舍去），
综上可得：。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合元素与集合的关系，再结合元素的互异性，从而求出实数m的值。
10．（2021高一上·张家口期中）若集合 有且只有一个元素，则实数 的取值集合为 ．
【答案】
【知识点】元素与集合关系的判断
【解析】【解答】当 时，则有 ，合乎题意；
当 时，由题意可得 ，解得 .
综上所述，实数 的取值集合为 .
故答案为： .
【分析】由已知条件结合题意对a分情况讨论：当 时以及当 时，结合一元二次方程的性质，计算出a的取值即可。
四、解答题
11．（2021高一上合肥阜阳)设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
证明：(1)若a∈A，则∈A.
∵2∈A，∴＝－1∈A.
∵－1∈A，∴＝∈A.
∵∈A，∴＝2∈A.
∴A中必还有另外两个元素，且为－1，.
(2)若A为单元素集，则a＝，
即a2－a＋1＝0，方程无解．
∴a≠，∴集合A不可能是单元素集．
12．（2020河南开封）集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．
解析：∵9∈A，∴2a－1＝9或a2＝9，
若2a－1＝9，则a＝5，此时A中的元素为－4，9，25；B中的元素为9，0，－4，显然－4∈A且－4∈B，与已知矛盾，故舍去．
若a2＝9，则a＝±3，当a＝3时，A中的元素为－4，5，9；B中的元素为9，－2，－2，B中有两个－2，与集合中元素的互异性矛盾，故舍去．
当a＝－3时，A中的元素为－4，－7，9；B中的元素为9，－8，4，符合题意．
综上所述，满足条件的a存在，且a＝－3.一 知识梳理
知识点一 元素与集合的概念
1．元素：一般地，把研究对象统称为元素(element)，常用小写的拉丁字母_______表示．
2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合(set)，(简称为集)，常用大写拉丁字母_______表示．
3．集合相等：指构成两个集合的元素是_____的．
4．集合中元素的特性：给定的集合，它的元素必须是____、________．
知识点二 元素与集合的关系
1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作.________
2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a_____集合A，记作
知识点三 常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 ＋
知识点四 列举法
把集合的所有元素______出来，并用_______括起来表示集合的方法叫做列举法．
知识点五 描述法
一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有______P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，
这种表示集合的方法称为描述法
二专题训练
一、单选题
1．（2022高一上·河南月考）下列给出的对象能构成集合并且为无限集（含有无限个元素的集合）的是（ ）
A．所有很大的实数组成的集合
B．满足不等式的所有整数解组成的集合
C．所有大于的偶数组成的集合
D．所有到轴距离均为1的点组成的集合
2．（2022高一上·南阳月考）若集合只含有元素a，则下列各选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2021高一上·兰州期中）下列说法正确的是（ ）
A．某个村子里的高个子组成一个集合
B．所有小正数组成一个集合
C．集合和表示同一个集合
D．这六个数能组成一个集合
4．（2021高一上·河池月考）已知集合 ，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．集合A中含有三个元素2,4,6，若a∈A，且6－a∈A，那么a为( )
A．2 B．2或4 C．4 D．0
6．已知x，y为非零实数，代数式＋＋的值所组成的集合是M，则下列判断正确的是( )
A．－1∈M B．1∈M C．2∈M D．3 M
二、多选题
7．（2021高一上·茂名月考）已知集合 ，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
8 已知集合中的元素为，若，则.
A 0 B -1 C 1 D2
三、填空题
9．（2021高一上·信阳期中）已知集合，若，则实数 ．
10．（2021高一上·张家口期中）若集合 有且只有一个元素，则实数 的取值集合为 ．
四、解答题
11.（2021高一上合肥阜阳)．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则∈A(a≠1)．求证：
(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；
(2)集合A不可能是单元素集．
12（2020河南开封）．集合A中共有3个元素－4，2a－1，a2，集合B中也共有3个元素9，a－5，1－a，现知9∈A且集合B中再没有其他元素属于A，能否根据上述条件求出实数a的值？若能，则求出a的值，若不能，则说明理由．
