函数及其表示方法
一、函数的概念
函数的判断
例1．已知函数：（、为非空数集），定义域为，值域为，则、、、的关系是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】
由函数的定义确定A与M，B与N的关系.
【详解】
根据函数的定义及定义域和值域的概念可得
A=M，，
故选：C
定义域
典例1．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由题意，即不等式的解集为，分，，三种情况讨论，即得解
【详解】
函数的定义域为，即不等式的解集为
（1）当时，得到，显然不等式的解集为；
（2）当时，二次函数开口向下，函数值不恒大于0，故解集为不可能．
（3）当时，二次函数开口向上，由不等式的解集为，
得到二次函数与轴没有交点，即，即，解得；
综上，的取值范围为
故选：B
练1．已知函数f(x)=的定义域是一切实数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由函数的定义域为一切实数，转化为在上恒成立，结合二次函数的图象与性质，即可求解.
【详解】
由函数f(x)＝的定义域为一切实数，即在上恒成立，
当m=0时，1≥0恒成立；
当m≠0时，则，解得.
综上可得，
故选：D.
练2．函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.
【答案】
【分析】
由题意可得恒成立，分和两种情况分别考虑，解不等式即可得到所求范围．
【详解】
因为函数的定义域为 R，所以的解为R，
即函数的图象与x轴没有交点，
（1）当时，函数与x轴没有交点，故成立；
（2）当时，要使函数的图象与x轴没有交点，则，解得.
综上：实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的定义域问题，注意运用分母不为，以及二次不等式恒成立问题解法，属于中档题．
提升1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用复合函数的定义及给定函数式列出不等式组，求出其解集即可作答.
【详解】
因函数的定义域为，则在函数中，
必有，解得，
所以的定义域为.
故选：A
同一函数的判断
1．在下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．，，,
B．，
C．，
D．，
【答案】B
【分析】
根据相等函数的性质：定义域和对应法则都相同即可求解.
【详解】
对于选项A：两个函数的对应法则不同，故不是同一函数，故A错误；
对于选项B：因为，，故对应法则相同，
且二者定义域都为，所以与是同一函数，故B正确；
对于选项C：因为定义域为，定义域为，所以与不是同一函数，故C错误；
对于选项D：，，即二者对应法则不同，所以与不是同一函数，故D错误.
故选：B.
值域
例1．若函数的值域为，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据函数与函数的关系，即可求得值域．
【详解】
因为的值域是［1，2］，
而与函数定义不同，值域相同，
所以的值域是［1，2］，
所以的值域为.
故选：B
【点睛】
本题主要考查了函数图象的变换及其特征，函数的值域，属于基础题．
练1．已知定义在上的函数的定义域为，值域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据抽象函数的定义域的求法，求得函数的定义域，结合函数的图象变换，即可求得函数的值域.
【详解】
因为的定义域为，值域为，
令，解得，即函数的定义域为，
由的图象上的各点横坐标缩短为倍，得到，
再将向右平移个单位，得到，
所以函数的值域为.
故选：C.
练2．（多选）函数的定义域是，值域为，则下列函数值域也为的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
根据函数图象的变换确定即可.
【详解】
对于A选项，若函数的值域为，向下平移1个单位，则函数的值域为；
对于B选项，函数的图象可由函数的图象向右平移个单位而得到，值域依然是；
对于C选项，函数的图象与函数的图象关于轴对称，值域不变依然是；
对于D选项，函数的值域为.
故选：BC.
例2．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】D
【分析】
当，时，，利用，将区间的自变量利用加减转化到区间上，从而进行值域的求解
【详解】
当，时，，，
则当，时，即，，所以；
当，时，即，，
由，得，从而，；
当，时，即，，则，．
综上得函数在，上的值域为，．
故选：D．
例3．定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（ ）
A．R B． C． D．
【答案】C
【分析】
令，可得，再令，可得，得到在上的值域为，即得解.
【详解】
因为定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，
令，可得，
再令，可得，
又在上的值域为，因此在上的值域为
则在R上的值域是.
故选：C
【点睛】
本题考查了抽象函数的值域问题，考查了学生综合分析，转化与划归，数学运算的能力，属于较难题.
例4．高斯（1777-1855）是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称，高斯一生的数学成就很多，其中：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，设函数的值域为集合，则中所有负整数元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】
根据二次函数的性质求出函数的值域，然后再进行判断即可.
【详解】
函数图象的对称轴为，当时，易知，，所以的值域，故其值域中所有负整数元素为，，，个数为3.
故选：B.
【点睛】
关键点睛：解决本题的关键一是理解高斯函数的定义，二是求函数的值域.
练1．符号表示不超过的最大整数，如[3.14]=3，[－1.6]=－2，定义函数:，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．函数的定义域为，值域为[0，1]
D．函数是增函数 奇函数
【答案】AB
【分析】
将代入解析式，即可判断A项；当时，，得出，从而判断B项；由表示不超过的最大整数，得出，从而判断C项；取特殊值，判断D项.
【详解】
对于A项，，则A正确；
对于B项，当时，，得出，则B正确；
对于C项，函数的定义域为，因为表示不超过的最大整数，
所以，则C错误；
对于D项，，
，
函数既不是增函数也不是奇函数，则D错误；
故选：AB
例5．已知函数的定义域与值域均为，则（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】
根据函数的定义域可得，，，再根据函数的值域即可得出答案.
【详解】
解：∵的解集为，
∴方程的解为或4，
则，，，
∴，
又因函数的值域为，
∴，∴.
故选：A.
例6．函数，，对，，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
先求出两个函数在上的值域分别为、，再根据对任意的，存在，使，集合是集合的子集，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数的取值范围，注意条件.
【详解】
设，，在上的值域分别为、，
由题意可知：，，
∴，
∴，
又∵，
∴.
故选：A.
例7．若函数的值域为，则的值为__________.
【答案】
【分析】
设，利用法可得出关于的二次不等式，利用根与系数的关系可求得实数的值.
【详解】
设，可得，
由题意可知，关于的方程在上有解，
若，可得，则；
若，则，即，
由题意可知，关于的二次方程的两根为、，
由韦达定理可得，解得.
综上所述，.
故答案为：.
例8．求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）且；（5）；（6）；（7）；（8）；（9）；（10）.
【分析】
（1）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；
（2）直接利用二次函数性质求分母取值范围，再求y的取值范围即得结果；
（3）先求定义域，再利用函数单调性求函数取值范围即可；
（4）变形得，即可得解；
（5）利用二次函数的单调性逐步求值域即可；
（6）令，则，将函数变形为，利用二次函数的性质计算可得；
（7）求出函数定义域，平方后利用二次函数的性质求值域即可；
（8）直接利用二次函数的单调性逐步求值域即可；
（9）先分离常数，利用分式函数有意义直接得到值域即可；
（10）先进行换元，再利用对勾函数单调性求解值域即可.
【详解】
解：（1）分式函数，
定义域为，故，所有，
故值域为；
（2）函数中，分母，
则，故值域为；
（3）函数中，令得，
易见函数和都是减函数，
故函数在时是递减的，故时，
故值域为；
（4），
故值域为且；
（5），
而，，
，，
即，故值域为；
（6）函数，定义域为，令，
所以，所以，对称轴方程为，
所以时，函数，故值域为；
（7）由题意得，解得，
则，
故，，，
由y的非负性知，，故函数的值域为；
（8）函数，定义域为，，故，即值域为；
（9）函数，定义域为，
故，所有，故值域为；
（10）函数，
令，则由知，，，
根据对勾函数在递减，在递增,
可知时，，故值域为.
【点睛】
方法点睛：
求函数值域常见方法：
（1）单调性法：判断函数单调性，利用单调性求值域（包括常见一次函数、二次函数、分式函数、对勾函数等）；
（2）换元法：将复杂函数通过换元法转化到常见函数上，结合图象和单调性求解值域；
（3）判别式法：分式函数分子分母的最高次幂为二次时，可整理成关于函数值y的二次方程，方程有解，判别式大于等于零，即解得y的取值范围，得到值域.
例9．已知表示不超过的最大整数，定义函数.有下列结论：
①函数的图象是一条直线；②函数的值域为；
③方程有无数个解；④函数是上的增函数.
其中错误的是______.(填写所有错误结论的序号)
【答案】①④
【分析】
根据已知条件，写出函数的解析式，画出函数图像，数形结合得出正确答案.
【详解】
由题意知，对任意的实数x，若存在整数k，满足，则
，作出图像，如图所示
由图可知，函数的图像在每个单位区间内是一条线段，不是一条直线，故①错误；
由图可知，，故函数的值域为，故②正确；
由图可知，直线与函数的图像有无数个交点，即有无数个解，故③正确；
由图可知，函数在每个单位区间内单调递增，但在整个定义域内不具备单调性，故④错误；
故答案为：①④
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数的图像与性质，作出函数图像是解题的关键，考查学生的数形结合思想，属于一般题.
例10．若函数的值域为，则其定义域为_________．
【答案】
【分析】
根据题意得到分式不等式，然后分类讨论，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可.
【详解】
因为函数的值域为，
所以，化简得：，
当时，即当时，不等式成立；
当时，即当时，
由，
综上所述：函数的定义域为：.
故答案为：
【点睛】
本题考查了已知函数的值域求定义域，考查了分式不等式的解法，考查了转化思想和数学运算能力.
例11．若，，求函数的值域________.
【答案】
【分析】
将代入，得到的解析式，然后利用换元法求出值域．
【详解】
要使函数成立，则，即，将函数代入得：
，令，则，所以，又或，
故函数的值域为.
故答案为：.
【点睛】
求解复合函数的值域的一般方法如下：
（1）若函数的形式比较简单，可先将的解析式表示出来，然后设法求出其值域，解答时注意定义域；
（2）采用换元法，令，计算的值域即的取值范围，然后计算的值域．
例12．若函数的值域是，则函数的值域是________.
【答案】
【分析】
由给定条件求出的值域，换元借助对勾函数性质即可得解.
【详解】
因函数的值域是，从而得函数值域为，
函数变为，，由对勾函数的性质知在上递减，在上递增，
时，，而时，，时，，即，
所以原函数值域是.
故答案为：
例13．已知函数y=f(x)的值域为，y=f2(x)﹣f(x)+1的值域为___________；的值域为___________.
【答案】
【分析】
①利用换元法设f(x)=t，则t∈，转化为求二次函数值域；
②利用换元法结合导函数求函数单调性即可得到值域.
【详解】
①设f(x)=t，则t∈，
∴y=f2(x)﹣f(x)+1=t2﹣t+1=(t﹣)2+，
∴当t=时，y取得最小值，当t=3时，y取得最大值7，
∴y=f2(x)﹣f(x)+1的值域为[，7].
②F(x)=4f(x)+ =4t+，
令g(t)=4t+，则g′(t)=4﹣，
∴g(t)在上单调递减，在(，3]上单调递增，
∴当t=时，g(t)取得最小值g()=4，
又g()=5，g（3）=.
∴g(t)的值域为
故答案为：，
例14．已知函数的定义域为，值域为，则实数对的可能值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
先画出的图象，再根据其值域为，结合选项即可判断.
【详解】
解：画出的图象如图所示：
由图可知：，
，
根据选项可知：当的定义域为，值域为时，
的可能值为，，.
故选：ABC.
例15．函数的值域为___________.
【答案】
【分析】
将给定函数式两边平方，利用闭区间上的二次函数值域求解即可作答.
【详解】
依题意，函数中，，，
于是有，
而，当或时，，当时，，
因此，，则有，而，
于是得，
所以函数的值域为.
故答案为：
例16．函数的值域为，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABC
【分析】
根据各选项中的取值，依次判断的值域即可得到结果.
【详解】
对于A，当时，，则值域为，A正确；
对于B，当时，，则值域为，B正确；
对于C，当时，，则值域为，C正确；
对于D，当时，，则值域为，D错误.
故选：ABC.
练1.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
或 B． C．或 D．或
D
例17.已知，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先由基本初等函数的单调性判断函数和是增函数，再利用两个增函数的和是增函数可以判断函数 是增函数，借助单调性确定函数的值域.
【详解】
函数在单调递增， 在单调递增
函数-在单调递增，
函数的值域为
故选C
【点睛】
本题考查函数值域的求解，函数值域是函数定义域和对应法则共同确定的，求解值域关键是确定函数定义域和函数的单调性.
练1.函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出，容易求出，从而求出1≤y2≤2，进而得出该函数的值域．
【详解】
；
∵；
∴1≤y2≤2；
∵y＞0；
∴；
∴原函数的值域为．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数值域的概念及求法，不等式a2+b2≥2ab的应用．
提升1.函数的最小值为_______．
【答案】
【解析】
【分析】
由题意首先确定函数的定义域，然后结合函数的单调性求解最小值即可.
【详解】
函数有意义，则：，则
据此可得函数的定义域为：，
由于函数都在区间上单调递减，在区间上单调递增，故函数的最小值为，
而，
据此可得函数的最小值为.
例18.函数（）的值域为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【分析】
先分离常数，再求出，从而得到即可得到答案.
【详解】
，由于，∴，，，
于是，故函数的值域为.
故选：A.
例19．已知定义在区间上的函数，其值域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
分离常数可得，根据的范围求出的范围即可求解.
【详解】
，
当时，，，所以，
所以，
当时，，所以，所以，
所以，
所以在区间上的值域为，
故选：C.
提升1．已知函数的最小值为2，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
将函数分离变量得到，画出图象，数形结合即得解
【详解】
由作出图象，
如图，由图象可得要取得最小值2，则；
∵在区间上单调递减，则时，取得最小值为2，即，可得，
∴a的取值范围为
故选：D
【点睛】
本题考查了一次比一次型的分式函数的最值问题，考查了学生转化划归，数形结合，数学运算能力，属于中档题
例20．若函数满足，则___________.
【答案】
【分析】
用方程组思想求得函数解析式，再计算函数值．
【详解】
因为，所以，所以，联立可得，所以.
故答案为：．
练1．已知函数的定义域为，且，则________．
【答案】
【分析】
将x换成，有，将该方程代入已知方程消去，可得答案．
【详解】
在中，将x换成，则换成x，
∴，
将该方程代入已知方程消去，得．
故答案为：．函数及其表示方法
一、函数的概念
函数的判断
例1．已知函数：（、为非空数集），定义域为，值域为，则、、、的关系是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
定义域
典例1．若函数的定义域为R，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练1．已知函数f(x)=的定义域是一切实数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练2．函数的定义域为，则实数a的取值范围是___________.
提升1．若函数的定义域为，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
同一函数的判断
1．在下列四组函数中，表示同一函数的是( )
A．，，,
B．，
C．，
D．，
值域
例1．若函数的值域为，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
练1．已知定义在上的函数的定义域为，值域为，则函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
练2．（多选）函数的定义域是，值域为，则下列函数值域也为的是（ ）
A． B．
C． D．
例2．已知函数对任意，都有，当，时，，则函数在，上的值域为（ ）
A．， B．， C．， D．，
例3．定义在R上的函数对一切实数x、y都满足，且，已知在上的值域为，则在R上的值域是（ ）
A．R B． C． D．
例4．高斯（1777-1855）是德国著名数学家，物理学家，天文学家，大地测量学家，近代数学奠基者之一，并享有“数学王子”之称，高斯一生的数学成就很多，其中：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，，设函数的值域为集合，则中所有负整数元素个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
练1．（多选）符号表示不超过的最大整数，如[3.14]=3，[－1.6]=－2，定义函数:，则下列命题正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．函数的定义域为，值域为[0，1]
D．函数是增函数 奇函数
例5．已知函数的定义域与值域均为，则（ ）
A． B． C． D．1
例6．函数，，对，，使，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例7．若函数的值域为，则的值为__________.
例8．求下列函数的值域
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）
（9）；
（10）.
例9．已知表示不超过的最大整数，定义函数.有下列结论：
①函数的图象是一条直线；②函数的值域为；
③方程有无数个解；④函数是上的增函数.
其中错误的是______.(填写所有错误结论的序号)
例10．若函数的值域为，则其定义域为_________．
例11．若，，求函数的值域________.
例12．若函数的值域是，则函数的值域是________.
例13．已知函数y=f(x)的值域为，y=f2(x)﹣f(x)+1的值域为___________；的值域为___________.
例14．（多选）已知函数的定义域为，值域为，则实数对的可能值为（ ）
A． B． C． D．
例15．函数的值域为___________.
例16．（多选）函数的值域为，则实数的可能取值是（ ）
A． B． C． D．
练1.已知函数的值域为，则实数的取值范围是（ ）
或 B． C．或 D．或
例17.已知，则函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
练1.函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
提升1.函数的最小值为_______．
例18.函数（）的值域为（ ）
A． B． C． D．
例19．已知定义在区间上的函数，其值域为（ ）
A． B．
C． D．
提升1．已知函数的最小值为2，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例20．若函数满足，则___________.
