3.2.2 函数的奇偶性与周期性（讲义）-2022-2023学年高中数学人教A版必修第一册（含答案）

五 函数的奇偶性与周期性
【教学目的】
理解奇函数，偶函数，函数奇偶性和周期函数的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性，函数周期性的基本方法，能够运用函数奇偶性，函数周期性解答相关的数学问题。
重点：理解奇函数，偶函数，函数奇偶性和周期函数的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性，函数周期性的基本方法；
难点：分段函数和抽象函数奇偶性的判断（或证明），函数性质的综合运用。
【知识精讲】
一、函数奇偶性的概念：
【问题】认真观察下列图像，回答后面的思考问题：
y y f(x)=
3 5
2 f(x)=2-|x| 4
1 3
-3 -2 -1 0 1 2 3 x 2
-1 1
-2 (1) -3 -2 – 1 0 1 2 3 x (2）
y y f(x)=
2 f(x)=x 2
1 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1 -1
-2 (3) -2 (4)
『思考问题』
（1）【问题】中（1），（2）两个函数的共同特点是：①函数图像关于y轴对称；②当自变量x互为相反数时，函数值相等；
（2）【问题】中（3），（4）两个函数的共同特点是：①函数图像关于原点对称；②当自变量x互为相反数时，函数值也互为相反数；
(3) 【问题】中四个函数的定义域的共同特点是关于原点对称。
1、奇函数的定义：
设函数y=f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数y=f(x)为定义域A上的奇函数。
2、偶函数的定义：
设函数y=f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有f(-x)=f(x成立，则称函数y=f(x)为定义域A上的偶函数。
3、函数的奇偶性的定义：
函数y=f(x)具奇函数（或偶函数）的性质，称为函数y=f(x)的奇偶性。
4、理解函数奇偶性应注意的问题：
（1）函数f(x)可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是偶函数，也可以既不是奇函数又不是偶函数；但函数具有奇偶性的必要条件是函数定义域关于原点对称；
（2）函数是奇函数的充分必要条件是函数的图像关于原点成中心对称图形；函数是偶函数充分必要条件是函数的图像关于y轴成轴对称图形；在定义域的公共部分内，两奇函数的积（或商）为偶函数，两偶函数的积（或商）为偶函数，一奇一偶函数的积（或商）为奇函数（注意：两函数求商时，分母不能为零）；
（3）奇函数（或偶函数）有关定义等价形式f(-x)= f(x) =1（f(x) 0）。
二、函数奇偶性的判断（或证明）：
1、函数奇偶性的判断（或证明）的基本方法：
(1)函数奇偶性判断（或证明）的基本方法有：①定义法；②图像法；
（2）在具体判断（或证明）函数的奇偶性时，如果已知函数的解析式应采用定义法，如果已知函数的图像应采用图像法。
2、用定义法判断（或证明）函数的奇偶性的基本方法：
（1）用定义法判断（或证明）函数奇偶性的基本方法是：① 求函数的定义域，看是否关于原点对称；②验证f(x)与f(-x)之间的关系 ；③得出函数是否具有奇偶性；
（2）如果问题涉及的函数是分段函数时，判断（或证明）其奇偶性的方法是分段分别验证f(x)与f(-x)之间的关系（这里要注意的问题是验证f(-x)应该选用那一段的解析式）；
（3）如果问题涉及的函数是抽象函数时，判断（或证明）其奇偶性的方法是赋值法加定义法，其中验证f(-x)与f(x)之间的关系时采用的是赋值法，这里赋值的一般规律是注意与问题的已知条件联系起来综合考虑。
3、用图像法判断（或证明）函数的奇偶性的基本方法：
（1）用图像法判断（或证明）函数奇偶性的基本步骤是：①求函数的定义域，看是否关于原点对称；②作出函数的图像；③根据函数图像判断（或证明）函数的奇偶性；
（2）如果问题涉及的函数是分段函数时，用图像法判断（或证明）其奇偶性时，应先根据各段的解析式分别作出各段的函数图像，再依据图像的特征判断（或证明）函数的奇偶性。
三、函数奇偶性的性质：
1、奇函数具有如下性质：
（1）奇函数的定义域关于原点对称；
（2）如果函数f(x)是奇函数且数0在定义域内，则一定有f(0)=0成立；
（3）如果函数f(x)是奇函数，则有f(-x)=-f(x)恒成立；
（4）奇函数的图像关于原点对称；
（5）奇函数在对称的两个区间上的单调性相同；
（6）在公共定义域内有：①奇奇=奇；②奇（或）偶=奇。
2、偶函数具有如下性质：
（1）偶函数的定义域关于原点对称，
（2）如果函数f(x)是偶函数，则有f(-x)=f(x)恒成立；
（3）偶函数的图像关于y轴对称；
（4）偶函数在对称的两个区间上的单调性相反；
（5）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)= f(|x|)；
（6）在公共定义域内有：①偶偶=偶；②奇（或）奇=偶；③偶（或）偶=偶。
四、函数的周期性：
1、周期函数的概念：
（1） 周期函数的定义：设函数f(x)的定义域是M，如果存在一个非零常数T，使得对任意的xM，都有f(x+T)=f(x)成立，则称函数f(x)是以T为周期的周期函数；这个非零常数T称为周期函数f(x)的一个周期。
（2）最小正周期的定义：在周期函数f(x)的所有周期中，如果存在一个最小的正数，则这
个最小的正数是函数f(x)的最小正周期。
2、函数周期性的判断（或证明）：
（1）判断（或证明）函数的周期性的基本方法是定义法；
（2）周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
3、周期函数的性质：
(1)若f(x)是周期函数，则其图像平移一个周期后， 其图像与前一个周期的图像完全重合；
（2）若函数f(x)的周期为T,则nT（n Z）也是函数f(x)的周期。
（3）对函数f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x+a)=-f(x)，则T=2a（a＞0）；②若f(x+a)= ，则T=2a（a＞0）；③若f(x+a)=- ，则T=2a（a＞0）。
【典例解析】
【典例1】:解答下列问题：
1、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A y= B y=x+ C y= + D y=x+
2、设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A f(x)+|g(x)|是偶函数Bf(x)-|g(x)|是奇函数C|f(x)|+g(x)是偶函数D|f(x)|-g(x)是奇函数
3、函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（ ）
A f(x)是偶函数 B f(x)是奇函数 C f(x)= f(x+2) D f(x+3)是奇函数
4、已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)对任意的x，y R都成立，且f(0) ≠0,则函数f(x)是 函数（填“奇”或“偶”）；
5、判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ； （3）f(x)= +x ；
（4）f(x)= ； （5）f(x)=（x-1）； （6）f(x)= ；
（7） f(x)= ； （8）f(x)= xlg(x+ )； x+2 ，(x＜-1），
（9）f(x)=+x ，(x＜0) ； （10）f(x)= 0 ，(|x|≤1)。
- +x ，（x＞0） -x+2 ，(x＞1)，
6、已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
（1）求证：函数f(x)是奇函数；
（2）若f(-3)=a，用a表示f(12).
7、已知函数f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）证明函数f(x)是奇函数；
（3）判断并证明函数f(x)在定义域上的单调性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
『思考问题1』
（1）【典例1】是判断（或证明）函数奇偶性的问题，解答这类问题应该理解奇函数，偶函数的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性的基本方法；
(2)函数奇偶性的判断（或证明）常用的方法有：①定义法；②图像法；
（3）在具体判断（或证明）函数的奇偶性时，如果已知函数的解析式应采用定义法，如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出）应采用图像法；
（4）分段函数判断（或证明）奇偶性时，在验证f(-x)与f(x)时，需要分段进行验证（注意f(-x)适应的解析式）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列函数是偶函数的是（ ）
A y=x B y=2-3 C y= D y=，x∈［0,1］
2、已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(-1)+g(1)=2，f(1)+g(-1)=4，则g(1)等于（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1
3、函数f(x)= (xR)与g(x)=lg|x-2|分别为 函数和 函数（填奇、偶、既奇又偶或非奇非偶）
4、判断下列函数的奇偶性： x+1， (x＞0)
（1）y=2-3； （2）y=lg(1+)； （3）y= 1 ， (x=0) ；
（4）f(x)= 2+3 （5）f(x)= -2x -x+1 ，(x＜0
（6）f(x)= （7）f(x)= +1
5、证明函数f(x)= (a＞1)是奇函数；
6、已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)（x∈R,y∈R），且f(0)≠0，试证明函数f(x)是偶函数；
7、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，把下列函数图像补充完整。
Y y
f(x) g(x)
0 x 0 x
【典例2】解答下列问题：
1、已知偶函数f(x)在区间［0，+∞）上单调递增，则满足f(2x-1)＜f()的x的取值范围是（ ）
A （，） B ［，） C （，） D ［，）
2、若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a= ；
3、设函数y=f(x)是奇函数，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)的值为 ；
4、设函数f(x)= 的最大值为M，最小值为m，则M+m= ；
5、已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=-4x，那么不等式f(x+2) ＜5的解集是 ；
6、已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，若f(a) f(2)，求实数a的取值范围；
7、已知函数f(x)是偶函数，而且在（0，+∞）上是减函数，判断f(x)在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断；
8、已知奇函数f(x)在〔a，b〕上是减函数，判断它在〔-b，-a〕上是增函数还是减函数？
9、已知偶函数g(x)在〔a，b〕上是增函数，判断它在〔-b，-a〕上是增函数还是减函数？
10、函数y=f(x)(x≠0)是奇函数，且当x (0,+∞)时是增函数，若f(1)=0,求不等式
f〔x(x-)〕＜0的解集；
11、已知定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x＞0时，f(x)=-2x+2，求函数f(x)的解析式；
12、已知函数f(x)= -。
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）函数f(x)的图像关于 对称；
（3）证明函数f(x)在（0，+∞）上是增函数；
（4）证明函数f(x)在（-∞，0）上是减函数。
13、已知函数f(x)= +(a+1)x+lg|a+2|(a≠-2，a R)。
（1）若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；
（2）若f(x)和g(x)在区间（-∞，〕上都是减函数，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，比较f(1)和的大小。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数奇偶性的应用问题，解答这类问题需要理解奇函数，偶函数的定义，掌握奇函数，偶函数的性质，注意弄清楚问题与奇函数（或偶函数）的哪一个性质相关；
（2）函数奇偶性的应用问题主要包括：①已知函数的奇偶性，求函数的解析式；②已知含字母系数函数的解析式和奇偶性，求参数的值（或取值范围）；
（3）解答已知函数的奇偶性，求函数的解析式问题的基本方法是：①运用函数的奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，②利用函数奇偶性中f(-x)与f(x)的关系式求出所求函数的解析式；
（4）解答已知含字母系数函数的解析式和奇偶性，求参数的值（或取值范围）问题的基本方法是待定系数法，运用f(-x) f(x)=0得到关于参数的恒等式，利用系数的对等性求出参数的值（或取值范围）；
（5）运用函数奇偶性解答问题必须注意性质的条件与结论，只有性质的条件满足时，才能得到相应性质的结论。
〔练习2〕解答下列问题：
已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)= +x+1，求函数f(x)的解析式；
若函数f(x)= 为奇函数，则a= ；
3、已知函数f(x)=ln(-3x)+1，则f(lg2)+f(lg)=（ ）
A -1 B 0 C 1 D 2
4、设偶函数f(x)的定义域为R，当x ［0，+∞）时，f(x)是增函数，则f(-2),f()，f(-3)的大小关系是（ ）
A f ()＞f(-3)＞f(-2) B f ()＞f(-2)＞f(-3)
C f()＜f (-3)＜f(-2) D f()＜f(-2)＜f (-3)
5、已知函数f(x)=a+b+cx-8，且f(d)=10，则f(-d)= ；
6、设奇函数的定义域为［-6,6］，若当x［0,6］时，
f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0 y
的解集是 ； -6 -3 0 3 6 x
已知奇函数f(x)在定义域〔-1，1〕上为增函数，则不等式f()+f(x-1)＞0的解集为 ；
8、已知f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数且过点（-1,3），g(x)=f(x-1)，则f(2012)+g(2013)= 。
9、已知函数f(x)= (a＞1)。
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）求f(x)的值域。
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，函数g(x)是定义在R 上的奇函数，且g(x)= f(x-
1)，则f(2017)+f(2019)的值为（ ）
A -1 B 1 C 0 D 无法计算
2、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x+2)=- ，当2 x 3时，f(x)=x，
则f(-105.5)= 。
3、设函数f(x)在R 上满足：f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)判断函数f(x)是不是周期数；
4、判断下列函数是不是周期函数：
（1）f(x)=sinx （2）f(x)=tanx (x≠k+，kZ)
『思考问题3』
（1）【典例3】是判断（或证明）函数周期性的问题，解答这类问题需要理解周期函数的定
义，掌握判断（或证明）函数周期性的基本方法；
（2）判断（或证明）函数周期性的基本方法是定义法；
（3）定义法判断（或证明）函数周期性的基本方法是：①确定一个常数T；②验证f(x+T)
与f(x)的值是否相等；③得出函数的周期性；
（4）周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
〔练习3〕解答下列问题：
1、定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，当-3 x ＜-1时，f(x)= -，当-1x ＜
3时，f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)= ；
2、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2 x 3时，f(x)=x，
则f(105.5)= 。
3、判断下列函数是不是周期函数：
（1）f(x)=cosx (2)f(x)=tanx (x≠k，kZ)
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)= ，则实数a的取值范围为（ ）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
2、函数f(x)=lg(a+ )为奇函数，则实数a= 。
3、设f(x)是以2为周期的函数，且当x ［1,3）时，f(x)=x-2，则f(-1)= ；
设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b∈R，若f()=f()，则a+3b的值为 ； ，0x 1，
定义在R上的偶函数f(x)满足f（x+4）=-f(x)+f(2)，且当x 〔0，2〕时，y=f(x)单调递减，给出下列四个命题：（1）f(2)=0；（2）x=-4为函数y=f(x)图像的一条对称轴；（3）函数y=f(x)在〔8，10〕上单调递增；（4）若方程f(x)=m在〔-6，-2〕上的两根为、，则+=-8。其中正确命题的序号为 。
6、函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，当x∈(0,1〕时，f(x)= (2-x) (a＞0)。
（1）当x∈〔2k-1,2k+1〕时，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为，解关于x的不等式f(x)＞。
『思考问题4』
（1）【典例4】是函数单调性，奇偶性与周期性综合运用的问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，奇偶性和周期性，并能灵活运用函数的单调性，奇偶性和周期性；
（2）对于具体问题首先应该弄清楚它与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关，然后结合函数的相应性质进行解答；
（3）解答函数单调性，奇偶性和周期性的综合问题关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，注意两个常用结论：①f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)；②若奇函数在x=0处与意义，则有f(0)=0.
〔练习4〕解答下列问题：
1、奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)等于（ ）
A -2 B -1 C 0 D 1
2、已知函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)= +3x+2，若当x［1，3］时，n≤f(x)≤m恒成立，则m-n的最小值为 ；
3、若f(x)=ln(+1)+ax是偶函数，则a= ；
4、设f(x)是定义在R上的偶函数，且是以2为周期的周期函数，在区间〔2,3〕上，f(x)=4-2。
（1）求函数f(x)在区间〔1,2〕上的解析式；
（2）若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图像上，求矩形面积S的最大值。
【考题演练】
【典例5】解答下列问题：
1、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
2、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
3、已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关
于直线x=2对称，g(2)=4，则=（ ）（2022全国高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
4、若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a= ，b= （2022全国高考乙卷文）
5、已知函数f(x)及其到函数（x）的定义域均为R，记g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均为偶函数，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
6、若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+ f(x-y)= f(x). f(y)，f(1)=1，则=（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A - 3 B -2 C 0 D 1
（理）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)=
f(x)- 的所有零点之和为 （成都市2019级高三二诊）
8、设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A f(x-1)-1 B f(x-1)+1 C f(x+1)-1 D f(x+1)+1
9、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）
10、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
11、函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2-17，则f(f())= （2021成都市高三一诊）
12、关于函数f(x)=sinx+ 有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像关于原点对称；③f(x)的图像关于直线x=对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是 （2020全国高考新课标III）
13、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对区间（- ，0]上的任意，，当
时，都有<0，若实数t满足f（2t+1） f（t-3），则t的取值范围是 （成都市2020—2021高一上期期末调研考试）
14、已知函数f(x)= 。
（1）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）用函数单调性的定义证明函数f(x)在（0，+∞）上是减函数（2018—2019成都市高一上期调研考试）
15、已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，且f(x)+g(x)= 。
（1）求函数f(x)，g(x)的解析式；
（2）设函数F（x）= +1，记H（x）=F（）+F（）+F（）+----+F（）（n，n≥2），探究是否存在正整数n（n≥2），使得对任意x（0，1］，不等式g（2x）＞H（n）.g(x)恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n的值；若不存在，请说明理由（2018—2019成都市高一上期调研考试）
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试题中函数奇偶性和函数周期性的问题，归结起来主要包括：①判断（或证明）函数的奇偶性；②函数奇偶性的运用；③判断（或证明）函数的周期性；④函数性质综合运用等几种类型；
判断（或证明）函数的奇偶性（或周期性）主要方法是定义法和图像法，已知函数解析式，一般采用定义法，已知函数图像（或函数图像容易作出）一般采用图像法；
（3）解答函数单调性，奇偶性和周期性的综合运用问题的基本方法是：①弄清楚问题与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关；②将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题；③注意常用结论：f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)和若奇函数在x=0处与意义，则有f(0)=0的灵活运用.
[练习5]解答下列问题：
已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)= -x，0x1，若对任意的xR，不等式f(x) ＞f(x-a)恒成立，则实数a的取值范围是 -1,1＜x＜2 （2018—2019成都市高一上期调研考试） x-3，x≥2
已知函数f(x)= 是奇函数，则实数a的值为 （2019成都市高三一诊文）
3、(理)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(+x)=f(-x)，且当0≤x≤1时，f(x)= ，则f()=( )
A - B - C D
（文）已知定义域为R的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，f(x)= ，则f()=( )(2019成都市高三二诊)
A - B - C D
4、设f(x)是定义域为R的偶函数，且在（0，+）单调递减，则（ ）（2019全国高考新课标III）
A f()＞f()＞f() B f()＞f()＞f()
C f()＞f()＞f() D f()＞f()＞f()
5、设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)= -1，则当x<0时，f(x)=（ ）（2019全国高考新课标II（文））
A -1 B +1 C --1 D - +1
6、设函数f(x)是定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x（0，1]时，f(x)=x(x-1)，若对任意的x（-，m]，都有f(x) - ，则m的取值范围是（ ）（2019全国高考新课标II（理））
A （-，] B （-，] C （-，] D （-，]
7、已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=- ，若f(ln2)=8，则a= （2019全国高考新课标II（理））
8、设函数f(x)= +a（a为常数），若f(x)为奇函数，则a= ，若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是 （2019全国高考北京（理））
五 函数的奇偶性与周期性
【教学目的】
理解奇函数，偶函数，函数奇偶性和周期函数的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性，函数周期性的基本方法，能够运用函数奇偶性，函数周期性解答相关的数学问题。
重点：理解奇函数，偶函数，函数奇偶性和周期函数的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性，函数周期性的基本方法；
难点：分段函数和抽象函数奇偶性的判断（或证明），函数性质的综合运用。
【知识精讲】
一、函数奇偶性的概念：
【问题】认真观察下列图像，回答后面的思考问题：
y y f(x)=
3 5
2 f(x)=2-|x| 4
1 3
-3 -2 -1 0 1 2 3 x 2
-1 1
-2 -3 -2 – 1 0 1 2 3 x
(1) (2)
y y
3 3 f(x)=
2 f(x)=x 2
1 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 x -3 -2 -1 0 1 2 3 x
-1 -1
-2 -2
(3) (4)
『思考问题』
（1）【问题】中（1），（2）两个函数的共同特点是：①函数图像关于y轴对称；②当自变量x互为相反数时，函数值相等；
（2）【问题】中（3），（4）两个函数的共同特点是：①函数图像关于原点对称；②当自变量x互为相反数时，函数值也互为相反数；
(3) 【问题】中四个函数的定义域的共同特点是关于原点对称。
1、奇函数的定义：
设函数y=f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有f(-x)=-f(x)成立，则称函数y=f(x)为定义域A上的奇函数。
2、偶函数的定义：
设函数y=f(x)的定义域为A，如果对任意的xA，都有f(-x)=f(x成立，则称函数y=f(x)为定义域A上的偶函数。
3、函数的奇偶性的定义：
函数y=f(x)具奇函数（或偶函数）的性质，称为函数y=f(x)的奇偶性。
4、理解函数奇偶性应注意的问题：
（1）函数f(x)可以是奇函数，也可以是偶函数，也可以既是奇函数又是偶函数，也可以既不是奇函数又不是偶函数；但函数具有奇偶性的必要条件是函数定义域关于原点对称；
（2）函数是奇函数的充分必要条件是函数的图像关于原点成中心对称图形；函数是偶函数充分必要条件是函数的图像关于y轴成轴对称图形；在定义域的公共部分内，两奇函数的积（或商）为偶函数，两偶函数的积（或商）为偶函数，一奇一偶函数的积（或商）为奇函数（注意：两函数求商时，分母不能为零）；
（3）奇函数（或偶函数）有关定义的等价形式：f(-x)= f(x) =1（f(x) 0）。
二、函数奇偶性的判断（或证明）：
1、函数奇偶性的判断（或证明）的基本方法：
(1)函数奇偶性判断（或证明）的基本方法有：①定义法；②图像法；
（2）在具体判断（或证明）函数的奇偶性时，如果已知函数的解析式应采用定义法，如果已知函数的图像应采用图像法。
2、用定义法判断（或证明）函数的奇偶性的基本方法：
（1）用定义法判断（或证明）函数奇偶性的基本方法是：① 求函数的定义域，看是否关于原点对称；②验证f(x)与f(-x)之间的关系 ；③得出函数是否具有奇偶性；
（2）如果问题涉及的函数是分段函数时，判断（或证明）其奇偶性的方法是分段分别验证f(x)与f(-x)之间的关系（这里要注意的问题是验证f(-x)应该选用那一段的解析式）；
（3）如果问题涉及的函数是抽象函数时，判断（或证明）其奇偶性的方法是赋值法加定义法，其中验证f(-x)与f(x)之间的关系时采用的是赋值法，这里赋值的一般规律是注意与问题的已知条件联系起来综合考虑。
3、用图像法判断（或证明）函数的奇偶性的基本方法：
（1）用图像法判断（或证明）函数奇偶性的基本步骤是：①求函数的定义域，看是否关于原点对称；②作出函数的图像；③根据函数图像判断（或证明）函数的奇偶性；
（2）如果问题涉及的函数是分段函数时，用图像法判断（或证明）其奇偶性时，应先根据各段的解析式分别作出各段的函数图像，再依据图像的特征判断（或证明）函数的奇偶性。
三、函数奇偶性的性质：
1、奇函数具有如下性质：
（1）奇函数的定义域关于原点对称；
（2）如果函数f(x)是奇函数且数0在定义域内，则一定有f(0)=0成立；
（3）如果函数f(x)是奇函数，则有f(-x)=-f(x)恒成立；
（4）奇函数的图像关于原点对称；
（5）奇函数在对称的两个区间上的单调性相同；
（6）在公共定义域内有：①奇奇=奇；②奇（或）偶=奇。
2、偶函数具有如下性质：
（1）偶函数的定义域关于原点对称，
（2）如果函数f(x)是偶函数，则有f(-x)=f(x)恒成立；
（3）偶函数的图像关于y轴对称；
（4）偶函数在对称的两个区间上的单调性相反；
（5）如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)= f(|x|)；
（6）在公共定义域内有：①偶偶=偶；②奇（或）奇=偶；③偶（或）偶=偶。
四、函数的周期性：
1、周期函数的概念：
（1） 周期函数的定义：设函数f(x)的定义域是M，如果存在一个非零常数T，使得对任意的xM，都有f(x+T)=f(x)成立，则称函数f(x)是以T为周期的周期函数；这个非零常数T称为周期函数f(x)的一个周期。
（2）最小正周期的定义：在周期函数f(x)的所有周期中，如果存在一个最小的正数，则这
个最小的正数是函数f(x)的最小正周期。
2、函数周期性的判断（或证明）：
（1）判断（或证明）函数的周期性的基本方法是定义法；
（2）周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
3、周期函数的性质：
(1)若f(x)是周期函数，则其图像平移一个周期后， 其图像与前一个周期的图像完全重合；
（2）若函数f(x)的周期为T,则nT（n Z）也是函数f(x)的周期。
（3）对函数f(x)定义域内任一自变量x：①若f(x+a)=-f(x)，则T=2a（a＞0）；②若f(x+a)= ，则T=2a（a＞0）；③若f(x+a)=- ，则T=2a（a＞0）。
【典例解析】
【典例1】:解答下列问题：
1、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）
A y= B y=x+ C y= + D y=x+
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②奇函数的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和奇函数的性质，判断函数奇偶性的基本方法，对各选项中函数的奇偶性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数y=的定义域为R关于原点对称，=，函数y=是偶函数，A错误；对B，函数y=x+的定义域为（-∞，0）（0，+∞）关于原点对称，-x-=-（x+），函数y= x+是奇函数，B错误；对C，函数y=+ 的定义域为R，关于原点对称，+=+，函数y=+ 是偶函数，C错误；对D，函数y= x+ 的定义域为R关于原点对称，-x+ =-x+ x+ ，-x+ =-x+ -( x+ )， 函数y= x+ 既不是奇函数，也不是偶函数，D正确， 选D。
2、设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ）
A f(x)+|g(x)|是偶函数Bf(x)-|g(x)|是奇函数C|f(x)|+g(x)是偶函数D|f(x)|-g(x)是奇函数
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②奇函数的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和奇函数的性质，判断函数奇偶性的基本方法，对各选项的结论进行判断就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数， f(-x)= f(x)，g(-x)=- g(x)，对A， f(-x)+|g(-x)|= f(x)+|-g(x)|= f(x)+|g(x)|，f(x)+|g(x)|是偶函数， A正确，选A。
3、函数f(x)的定义域为R，若f(x+1)与f(x-1)都是奇函数，则（ ）
A f(x)是偶函数 B f(x)是奇函数 C f(x)= f(x+2) D f(x+3)是奇函数
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②奇函数的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和奇函数的性质，判断函数奇偶性的基本方法，对各选项中函数的奇偶性进行判断就可得出选项。
【详细解答】函数f(x+1)与f(x-1)都是奇函数， f(-x+1)=- f(x+1)，f(-x-1)=- f(x-1)，
f(x) =-f(-x+2)， f(x) =-f(-x-2)， f(x+2)= (x-2)， f(x)= f(x+4)， f(x+3)=
f(x-1)=- f(-x+3)，函数f(x+3)是奇函数，D正确， 选D。
4、已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)对任意的x，y R都成立，且f(0) ≠0,则函数f(x)是 函数（填“奇”或“偶”）；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②奇函数的定义与性质；③抽象函数的定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数，奇函数和抽象函数的性质，判断函数奇偶性的基本方法，就可判断函数f(x)的奇偶性。
【详细解答】,令x=y=0， f(0+0)+f(0-0)=2 f(0)=2f(0).f(0)，2f(0)[f(0)-1]=0， f(0) ≠0, f(0)=1，令x=0，y=x，f(0+x)+f(0-x)=2f(x).f(0)， f(x)+f(-x)=2f(x)， f(-x)=f(x)，函数f(x)是偶函数。
5、判断下列函数的奇偶性：
（1）f(x)= ； （2）f(x)= ； （3）f(x)= +x ；
（4）f(x)= ； （5）f(x)=（x-1）； （6）f(x)= ；
（7） f(x)= ； （8）f(x)= xlg(x+ )； x+2 ，(x＜-1），
（9）f(x)=+x ，(x＜0) ； （10）f(x)= 0 ，(|x|≤1)。
- +x ，（x＞0） -x+2 ，(x＞1)，
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②奇函数的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和奇函数的性质，判断函数奇偶性的基本方法，对各小题中函数的奇偶性进行判断就可判断断函数f(x)的奇偶性。
【详细解答】（1）函数 f(x)= 的定义域为R关于原点对称，f(-x)= = = f(x)，
函数f(x)是偶函数；（2）函数 f(x)= 的定义域为R关于原点对称，f(-x)= = -= -f(x)，函数f(x)是奇函数；（3）函数 f(x)= +x的定义域为（-∞，0）（0，+∞）关于原点对称，f(-x)=-x-=-（x+）=-f(x)，函数f(x)= x+是奇函数；（4）函数 f(x)= 的定义域为（-∞，0）（0，+∞）关于原点对称，f(-x)=== f(x)，函数f(x)= 是偶函数；（5）函数 f(x)= （x-1）的定义域为[-1，1）关于原点不对称，函数f(x)= （x-1）不具有奇偶性；（6）函数f(x)= 的定义域为（-1，0）（0，1）关于原点对称，f(-x)= == f(x)，函数f(x)= 是偶函数；（7）函数f(x)= 的定义域为[-2，0）（0，2]关于原点对称，f(-x)= == f(x)，f(-x)=
=-=- f(x)，函数f(x)= 不具有奇偶性；（8）函数f(x)=
xlg(x+ )的定义域为R关于原点对称，f(-x)=-x lg(-x+ )=-xlg(-x
+)=-xlg=-xlg= xlg(x+ )= f(x)，
函数f(x)= xlg(x+ )是偶函数；（9）函数f(x) 的定义域为（-∞，0）（0，+∞）关于原点对称，①当x（-∞，0）时，-x（0，+∞），f(-x)=- -x=--x=-（+x）=- f(x)，②当x（0，+∞）时，-x（-∞，0），f(-x)=-x=-x=-（-+x）=- f(x)，函数f(x)是奇函数；（10）函数f(x) 的定义域为R关于原点对称，①当x（-∞，0）时，-x（0，+∞），f(-x)=-x+1= f(x)，②当x=0时，-x=0，f(-x)=1= f(x)，③当x（0，+∞）时，-x（-∞，0），f(-x)=-（-x）+1=x+1= f(x)，函数f(x)是偶函数。
6、已知函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)。
（1）求证：函数f(x)是奇函数；
（2）若f(-3)=a，用a表示f(12).
【解析】
【知识点】①抽象函数的定义与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③赋值法的基本方法；④函数奇偶性判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】（1）根据问题条件可知，函数的定义域为R关于原点对称，判断（或证明）函数的奇偶性，只需验证f(-x)与 f(x)的关系，这里怎样赋值是解答问题的关键，注意问题的条件函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，得出f(0) =0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x),从而有f(x)+f(-x)=f(0)=0，于是问题得到解决；（2）由（1）知函数f(x)是奇函数，从而得到f(3)=- f(-3)=-a，，令x=y=3，得到f(6)=f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，令x=y=6，得到f(12)=f(6+6)=f(6)+f(6)
=-2a-2a=-4a，
【详细解答】（1）函数f(x)对一切x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，令x=y=0，得到f(0+0)=f(0)+f(0)，f(0) =0，令x=x，y=-x，得到f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x), f(x)+f(-x)=f(0)=0，函数f(x)是奇函数；（2）由（1）知函数f(x)是奇函数，f(3)=- f(-3)=-a，，令x=y=3，f(3+3)=f(3)+f(3)=-a-a=-2a，f(6)=-2a，令x=y=6， f(6+6)=f(6)+f(6)=-2a-2a=-4a，f(12)=-4a。
7、已知函数f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函数f(x)的定义域；
（2）证明函数f(x)是奇函数；
（3）判断并证明函数f(x)在定义域上的单调性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范围。
【解析】
【知识点】①函数定义域的定义与求法；②复合函数的定义与性质；③分式的定义与性质；④对数函数的定义与性质；⑤复合函数奇偶性判断（或证明）的基本方法。
【解题思路】（1）由函数f(x)有意义的条件得到 >0，解这个不等式就可以得到函数f(x)的定义域；（2）由（1）可知函数f(x)的定义域为（-1，1）关于原点对称，只需证明f(-x)=-f(x)就可得到结论；（3）设g(x)= 运用定义法先判断函数g(x)在（-1，1）上的单调性，再根据复合函数单调性的判断法则得出结论（注意底数a的两种可能情况）；（4）根据底数a的两种可能情况分别进行解答，得出结果。
【详细解答】（1）函数f(x)有意义，必有 >0，-1=-=-f(x)，函数f(x)是奇函数；（3）设g(x)= ，任取， （-1，1），且<，g（）-g（）=-=
=<0，g（）1时，函数f（g(x)）在（-1，1）上单调递增，函数f(x)在（-1，1）上单调递增；
（4）①当01时， f(x)＞0，>1，01时， f(x)＞0时，x的取值范围是（0，1）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是判断（或证明）函数奇偶性的问题，解答这类问题应该理解奇函数，偶函数的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性的基本方法；
(2)函数奇偶性的判断（或证明）常用的方法有：①定义法；②图像法；
（3）在具体判断（或证明）函数的奇偶性时，如果已知函数的解析式应采用定义法，如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出）应采用图像法；
（4）分段函数判断（或证明）奇偶性时，在验证f(-x)与f(x)时，需要分段进行验证（注意f(-x)适应的解析式）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列函数是偶函数的是（ ）（答案：B）
A y=x B y=2-3 C y= D y=，x［0,1］
2、已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且f(-1)+g(1)=2，f(1)+g(-1)=4，则g(1)等于（ ）
A 4 B 3 C 2 D 1 （答案：D）
3、函数f(x)= (xR)与g(x)=lg|x-2|分别为 函数和 函数（填奇、偶、既奇又偶或非奇非偶）（答案：函数f(x)为奇函数，函数g(x)非奇非偶。）
4、判断下列函数的奇偶性： x+1， (x＞0)
（1）y=2-3； （2）y=lg(1+)； （3）y= 1 ， (x=0) ；
（4）f(x)= 2+3 （5）f(x)= -2x -x+1 ，(x＜0
（6）f(x)= （7）f(x)= +1（答案：（1）偶函数；（2）偶函数；（3）函数f(x)是奇函数；（4）函数f(x)s是偶函数；（5）函数f(x)是奇函数；（6）函数f(x)是奇函数；（7）函数f(x)s是偶函数。）
5、证明函数f(x)= (a＞1)是奇函数；（提示：用定义法进行证明。）
6、已知函数f(x)满足：f(x+y)+f(x-y)=2f(x).f(y)（xR,yR），且f(0)≠0，试证明函数f(x)是偶函数；（提示：用赋值法加定义法进行证明）
7、已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，把下列函数图像补充完整。
Y y
f(x) g(x)
0 x 0 x
（答案： Y y
f(x) g(x)
0 x 0 x ）
【典例2】解答下列问题：
1、已知偶函数f(x)在区间［0，+∞）上单调递增，则满足f(2x-1)＜f()的x的取值范围是（ ）
A （，） B ［，） C （，） D ［，）
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②求解绝对值不等式的基本方法。
【解题思路】运用偶函数的性质，结合问题条件得到关于x的绝对值不等式，求解绝对值不等式得出x的取值范围就可求出选项。
【详细解答】偶函数f(x)在区间［0，+∞）上单调递增，且f(2x-1)＜f()，|2x-1|＜，
2、若f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数，则实数a= ；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②求解方程的基本方法。
【解题思路】运用偶函数的性质，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】 f(x)=(x+a)(x-4)为偶函数， f(-x)=(-x+a)(-x-4)= +（4-a）x-4a= f(x)=(x+a)
(x-4)=+（a-4）x-4a，2（a-4）x=0，a=4。
3、设函数y=f(x)是奇函数，若f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，则f(1)+f(2)的值为 ；
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②求解方程的基本方法。
【解题思路】运用奇函数的性质，结合问题条件得到关于f(1)+f(2)的方程，求解方程就可求出f(1)+f(2)的值。
【详细解答】函数y=f(x)是奇函数， f(-2)+f(-1)=- f(2)-f(1)， f(-2)+f(-1)-3=f(1)+f(2)+3，
-f(2)-f(1)-3=f(1)+f(2)+3，2[f(1)+f(2)]=-6，f(1)+f(2)=-3。
4、设函数f(x)= 的最大值为M，最小值为m，则M+m= ；
【解析】
【知识点】①奇函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解题思路】由f(x)= =1+，设g(x)= ，根据判断函数奇偶性的基本方法判断函数g(x)是奇函数，运用奇函数的性质得到函数g(x)的最大值与最小值的和为0，从而求出M+m的值。
【详细解答】 f(x)= =1+，设g(x)= ，对函数g(x)定义域为R关于原点对称，g(-x)= = =- g(x)，函数g(x)是奇函数，+=0，M==1+，m==1+，
M+m=1++1+=2++=2。
5、已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=-4x，那么不等式f(x+2) ＜5的解集是 ；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②求函数解析式的基本方法；③判断函数单调性的基本方法；④求解不等式的基本方法。
【解题思路】运用偶函数的性质和求函数解析式的基本方法，结合问题条件求出当x<0时，函数f(x)的解析式，根据判断函数单调性的基本方法判断函数f(x)的单调性，利用函数单调性得到关于x的不等式，求解不等式就可求出不等式f(x+2) ＜5的解集。
【详细解答】设x<0，则-x>0，函数f(x)是定义域为R的偶函数，当x0时，f(x)=-4x， f(x)= f(-x)= -4（-x）=+4x， f(x)= -4x，x0，函数f(x)在（-∞，
+4x，x<0，-2），（0，2）上单调递减，在（-2，0），（2，+∞）上单调递增， f(-5)= f(5)=25-45=5， f(x+2) ＜5
|x+2|<5，-76、已知函数y=f(x)是R上的偶函数，且在（-∞，0）上是减函数，若f(a) f(2)，求实数a的取值范围；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到关于a的不等式，运用求解不等式的基本方法求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】函数f(x)是定义域为R的偶函数，在（-∞，0）上是减函数，f(a) f(2)，
|a|2，a-2或a 2，若f(a) f(2)，则实数a的取值范围是（-∞，-2][2，+∞）。
7、已知函数f(x)是偶函数，而且在（0，+∞）上是减函数，判断f(x)在（-∞，0）上是增函数还是减函数，并证明你的判断；
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③证明函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到f() ，f()的大小关系，运用证明函数单调性的基本方法就可证明函数f(x)在（-∞，0）上是增函数。
【详细解答】证明：任取， (0,+∞)，且＜，函数f(x)在（0，+∞）上是减函数，f()＞f()，-，-（-∞，0），且-＜-，函数f(x)是偶函数， f(-)=f()，f(-)=f()， f(-)＞f(-)，函数f(x)在（-∞，0）上是增函数。
8、已知奇函数f(x)在〔a，b〕上是减函数，判断它在〔-b，-a〕上是增函数还是减函数？
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到f() ，f()的大小关系，运用判断函数单调性的基本方法就可得到函数f(x)在（-b，-a）上是减函数。
【详细解答】任取， (a，b)，且＜，函数f(x)在（a，b）上是减函数，f()＞f()，-，-（-b，-a），且-＜-，函数f(x)是奇函数， f(-)=-f()，f(-)=-f()， f(-)＜f(-)，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数。
9、已知偶函数g(x)在〔a，b〕上是增函数，判断它在〔-b，-a〕上是增函数还是减函数？
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③证明函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到f() ，f()的大小关系，运用证明函数单调性的基本方法就可得到函数f(x)在（-b，-a）上是减函数。
【详细解答】任取， (a,b)，且＜，函数f(x)在（a，b）上是增函数，f()＜f()，-，-（-b，-a），且-＜-，函数f(x)是偶函数， f(-)=f()，f(-)=f()， f(-)＜f(-)，函数f(x)在（-∞，0）上是减函数。
10、函数y=f(x)(x≠0)是奇函数，且当x (0,+∞)时是增函数，若f(1)=0,求不等式
f〔x(x-)〕＜0的解集；
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②函数单调性的定义与性质；③求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据奇函数和函数单调性的性质，结合问题条件得到关于x的不等式，运用求解不等式的基本方法求解不等式就可求出不等式f〔x(x-)〕＜0的解集。
【详细解答】函数y=f(x)(x≠0)是奇函数，当x (0,+∞)时是增函数，f(1)=0, f〔x(x-)〕＜0，0 ＜x(x-)＜1，或x(x-)＜-1， ＜x＜0，或＜x＜，或，不等式f〔x(x-)〕＜0的解集为（，0）（，）。
11、已知定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图像关于原点对称，且当x＞0时，f(x)=-2x+2，求函数f(x)的解析式；
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③求函数解析式的基本方法。
【解题思路】运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)是奇函数，根据奇函数的性质，奇函问题条件就可求出函数f(x)的解析式。
【详细解答】定义在（-∞，+∞）上的函数f(x)的图像关于原点对称，函数f(x)是奇函数， f(0)=0，设x<0，则-x>0，当x＞0时，f(x)=-2x+2， f(x)=- f(-x)=-[ -2（-x）+2]=--2x-2， f(x)= -2x+2，x＞0，
0， x=0，
--2x-2，x<0。
12、已知函数f(x)= -。
（1）判断函数f(x)的奇偶性；
（2）函数f(x)的图像关于 对称；
（3）证明函数f(x)在（0，+∞）上是增函数；
（4）证明函数f(x)在（-∞，0）上是减函数。
【解析】
【知识点】①函数奇偶性的定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③函数单调性的定义与性质；④判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法，就可判断函数f(x)的奇偶性；（2）运用偶函数的性质就可得到函数f(x)的图像关于Y轴对称；（3）运用证明函数单调性的基本方法就可证明函数f(x)在（0，+∞）上是增函数；（4）运用证明函数单调性的基本方法就可证明函数f(x)在（-∞，0）上是减函数。
【详细解答】（1）函数f(x) = -的定义域为（-∞，0）（0，+∞）关于原点对称，f(-x) = - = -= f(x)，函数f(x)是偶函数；（2）由（1）知函数f(x)是偶函数，函数f(x)的图像关于Y轴对称；（3）证明：任取， (0,+∞)，且＜， f()
-f()=-+==＜0，函数f(x) 在（0，+∞）上是增函数；（4）函数f(x)是偶函数，函数f(x) 在（0，+∞）上是增函数，函数f(x) 在)在（-∞，0）上是减函数。
13、已知函数f(x)= +(a+1)x+lg|a+2|(a≠-2，a R)。
（1）若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x)的解析式；
（2）若f(x)和g(x)在区间（-∞，〕上都是减函数，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，比较f(1)和的大小。
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②偶函数的定义与性质；③减函数的定义与性质；④判断函数单调性的基本方法；⑤比较实数大小的基本方法。
【解题思路】（1）运用奇函数和偶函数的性质，结合问题条件得到关于函数g(x)，h(x)的方程组，求解方程组就可求出函数g(x)和h(x)的解析式；（2根据减函数的性质，奇函问题条件得到关于a的不等式组，求解不等式组就可求出实数a的取值范围；（3）求出f(1)，利用判断函数单调性的基本方法判断f(1)关于a的函数在区间[-，-1）的单调性，求出f(1) 在区间[-，-1）上的最小值，借助于比较实数大小的基本方法就可得出结果。
【详细解答】（1） f(x)= g(x)+ h(x)=+(a+1)x+lg|a+2|①，g(x)是奇函数，h(x)是偶函数， f(-x)= g(-x)+ h(-x)=- g(x)+ h(x)=-(a+1)x+lg|a+2|②，联立①②解得：g(x)= (a+1)x， h(x)
=+ lg|a+2|；（2） f(x)和g(x)在区间（-∞，〕上都是减函数，-
①，a≠-2②，a+1<0③，联立①②③解得：- a<-1；（3） f(1)=1+a+1+lg|a+2|
=2+a+ lg|a+2|，设M（a）= f(1)= a+2+ lg|a+2|， 函数M（a）= f(1)在区间[-，-1）上单调递增，== M（-）=-+2+lg|-+2|=+lg=+ lg >+ lg =-=， f(1)> 。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数奇偶性的应用问题，解答这类问题需要理解奇函数，偶函数的定义，掌握奇函数，偶函数的性质，注意弄清楚问题与奇函数（或偶函数）的哪一个性质相关；
（2）函数奇偶性的应用问题主要包括：①已知函数的奇偶性，求函数的解析式；②已知含字母系数函数的解析式和奇偶性，求参数的值（或取值范围）；
（3）解答已知函数的奇偶性，求函数的解析式问题的基本方法是：①运用函数的奇偶性讨论函数在各个分类区间上的解析式，②利用函数奇偶性中f(-x)与f(x)的关系式求出所求函数的解析式；
（4）解答已知含字母系数函数的解析式和奇偶性，求参数的值（或取值范围）问题的基本方法是待定系数法，运用f(-x) f(x)=0得到关于参数的恒等式，利用系数的对等性求出参数的值（或取值范围）；
（5）运用函数奇偶性解答问题必须注意性质的条件与结论，只有性质的条件满足时，才能得到相应性质的结论。
〔练习2〕解答下列问题：
已知函数f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)= +x+1，求函数f(x)的解析式；
+x+1，x＞0，
（答案：函数f(x)的解析式为f(x)= 0， x=0， ）
-+x-1，x<0，
2、若函数f(x)= 为奇函数，则a= ；（答案：a=-1）
3、已知函数f(x)=ln(-3x)+1，则f(lg2)+f(lg)=（ ）（答案：D）
A -1 B 0 C 1 D 2
4、设偶函数f(x)的定义域为R，当x ［0，+∞）时，f(x)是增函数，则f(-2),f()，f(-3)的大小关系是（ ）（答案：A）
A f ()＞f(-3)＞f(-2) B f ()＞f(-2)＞f(-3)
C f()＜f (-3)＜f(-2) D f()＜f(-2)＜f (-3)
5、已知函数f(x)=a+b+cx-8，且f(d)=10，则f(-d)= ； （答案：f(-d)=-26）
6、设奇函数的定义域为［-6,6］，若当x［0,6］时，
f(x)的图像如图所示，则不等式f(x)＜0 y
的解集是 ； （答案：不等式f(x)＜0 的解集 -6 -3 0 3 6 x
是{x|6k+3已知奇函数f(x)在定义域〔-1，1〕上为增函数，则不等式f()+f(x-1)＞0的解集为 ；
（答案：不等式f()+f(x-1)>0 的解集是（1，2]。）
8、已知f(x)为R上的偶函数，g(x)为R上的奇函数且过点（-1,3），g(x)=f(x-1)，则f(2012)+g(2013)= (答案：f(2012)+g(2013)=-6。)
9、已知函数f(x)= (a＞1)。
（1）判断函数f(x)的奇偶性； （答案：函数f(x)是奇函数。）
（2）求f(x)的值域。（答案：函数f(x)的值域是（-1，1）。）
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，函数g(x)是定义在R 上的奇函数，且g(x)= f(x-
1)，则f(2017)+f(2019)的值为（ ）
A -1 B 1 C 0 D 无法计算
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②判断函数是周期函数的基本方法；③奇函数的定义
与性质；④偶函数的定义与性质。
【解题思路】运用奇函数和偶函数的性质，结合问题条件，得到f(x- 1)=- f(x-+1)，根据
判断函数是周期函数的基本方法得出函数f(x)是以4为周期的周期函数，f(2017)= f(504
4+1)= f(1)，f(2019)= f(5044+3)= f(3)= f(-1)，利用奇函数的性质，结合问题条件
求出f(1)的值就可得出选项。
【详细解答】 g(x)= f(x-1)， g(-x)= f(-x-1)，函数f(x)是定义在R 上的偶函数，
函数g(x)是定义在R 上的奇函数， g(-x)=- g(x)，f(-x)= f(x)， f(x- 1)=- f(x-+1)，
f(x)=- f(x-+2)，f(x+2)=- f(x-+4)， f(x)=f(x-+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函
数， f(2017)= f(504 4+1)= f(1)，f(2019)= f(5044+3)= f(3)= f(-1)， g(0)=
f(0-1)= f(-1)= f(1)=0， f(2017)+f(2019)= f(1)+ f(-1)=0+0=0，C正确，选C。
2、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x+2)=- ，当2 x 3时，f(x)=x，
则f(-105.5)= 。
【解析】
【知识点】①周期函数定义与性质；②判断函数周期性的基本方法；③偶函数定义与性质。
【解题思路】根据周期函数的性质，运用判断函数周期性的基本方法，结合问题条件，得到
函数f(x)是以4为周期的周期函数，f(-105.5)= f(-426-1.5)= f(-1.5)，利用函数f(x)
是定义在R 上的偶函数，结合问题条件求出f(-1.5)的值就可求出f(-105.5)的值。
【详细解答】 f(x+2)=- ， f(x)=- ， f(x+2)=- ，
f(x)= f(x+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函数， f(-105.5)= f(-426-1.5)= f(-1.5)，
函数f(x)是定义在R 上的偶函数，当2 x 3时，f(x)=x， f(-105.5)= f(-1.5)
= f(1.5)=1.5。
3、设函数f(x)在R 上满足：f(2-x)=f(2+x)，f(7-x)=f(7+x)判断函数f(x)是不是周期数；
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②判断函数是周期函数的基本方法。
【解题思路】运用问题条件，得出f(x+4)= f(x+14)，从而得到f(x)= f(x+10)，根据判断
函数是周期函数的基本方法就可得出函数f(x)是以10为周期的周期函数。
【详细解答】 f(2-x)=f(2+x)， f(x)= f(4-x)， f(7-x)=f(7+x)， f(x)= f(14-x)，
f(4-x)= f(14-x)，f(4+x)= f(14+x)， f(x)= f(x+10)，函数f(x)是以10为周期的周期函数。
4、判断下列函数是不是周期函数：
（1）f(x)=sinx （2）f(x)=tanx (x≠k+，kZ)
【解析】
【知识点】①周期函数定义与性质；②判断函数周期性的基本方法。
【解题思路】（1）根据周期函数的性质，运用判断函数周期性的基本方法，结合问题条件就可判断函数f(x)是以2为周期的周期函数；（2）根据周期函数的性质，运用判断函数周期性的基本方法，结合问题条件就可判断函数f(x)是以为周期的周期函数。
【详细解答】（1）f(2+x)=sin(2+x)=sinx=f(x),函数f(x)是以2为周期的周期
函数；（2）f(+x)=tan(+x)=tanx=f(x),函数f(x)是以为周期的周期函数。
『思考问题3』
（1）【典例3】是判断（或证明）函数周期性的问题，解答这类问题需要理解周期函数的定
义，掌握判断（或证明）函数周期性的基本方法；
（2）判断（或证明）函数周期性的基本方法是定义法；
（3）定义法判断（或证明）函数周期性的基本方法是：①确定一个常数T；②验证f(x+T)
与f(x)的值是否相等；③得出函数的周期性；
（4）周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
〔练习3〕解答下列问题：
1、定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x)，当-3 x ＜-1时，f(x)= -，当-1x ＜
3时，f(x)=x，则f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)= ；（答案：f(1)+f(2)+f(3)+------+f(2018)
=339。）
2、已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，并且f(x+2)=-f(x)，当2 x 3时，f(x)=x，
则f(105.5)= 。（答案：f(105.5)=2.5。）
3、判断下列函数是不是周期函数：
（1）f(x)=cosx (2)f(x)=tanx (x≠k，kZ)
（答案：（1）函数f(x)是以2为周期的周期函数；（2）函数f(x)是以为周期的周期函
数。）
【典例4】解答下列问题：
1、已知函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数，若f(1)＜1，f(5)= ，则实数a的取值范围为（ ）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②偶函数的定义与性质；③分式不等式的解法。
【解题思路】运用周期函数和偶函数的性质，结合问题条件，得出f(5)= f(23-1)= f(-1)
= f(1)，从而得到关于a的不等式，求解不等式求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函数， f(5)= f(23-1)= f(-1)
= f(1)， f(1)＜1，f(5)= ，＜1，-12、函数f(x)=lg(a+ )为奇函数，则实数a= 。
【解析】
【知识点】①奇函数的定义与性质；②对数函数的定义与性质；③求解方程的基本方法。
【解题思路】运用奇函数和对数函数的性质，结合问题条件，得到关于a的方程，求解方程
就可求出实数a的值。
【详细解答】函数f(x)=lg(a+ )为奇函数， f(-x)=lg(a+ )=- f(x)=-lg(a+ )
=lg ，=，a=-1。
3、设f(x)是以2为周期的函数，且当x ［1,3）时，f(x)=x-2，则f(-1)= ；
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②求函数解析式的基本方法。
【解题思路】运用周期函数的性质和求函数解析式的基本方法，结合问题条件，求出函数
f(x)在区间［-1,1）的解析式就可求出f(-1)的值。
【详细解答】设x ［-1,1），则x+2 ［1,3）， f(x)是以2为周期的函数，且当x ［1,3）时，f(x)=x-2， f(x)= f(x+2)=x+2-2=x， x ［-1,1）时，f(x)=x， f(-1)=-1。
设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b∈R，若f()=f()，则a+3b的值为 ； ，0x 1，
【解析】
【知识点】①周期函数的定义与性质；②求解方程组的基本方法。
【解题思路】运用周期函数的性质，结合问题条件，得到f()=f()=f(-2+)= f(-)，f(1)
= f(-2+1)= f(-1)，从而得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，就可求出a+3b
的值。
【详细解答】 f(x)是定义在R上且周期为2的函数，f()=f()， f(1)= f(-2+1)= f(-1)，
f()=f()=f(-2+)= f(-)，在区间［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b
-a+1=， a=2， ，0x 1，∈R，
=-a+1， b=-4，a+3b=2+3（-4）=-10。
定义在R上的偶函数f(x)满足f（x+4）=-f(x)+f(2)，且当x 〔0，2〕时，y=f(x)单调递减，给出下列四个命题：（1）f(2)=0；（2）x=-4为函数y=f(x)图像的一条对称轴；（3）函数y=f(x)在〔8，10〕上单调递增；（4）若方程f(x)=m在〔-6，-2〕上的两根为、，则+=-8。其中正确命题的序号为 。
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②减函数的定义与性质；③周期函数的定义与性质；④
判断函数是周期函数的基本方法；⑤判断命题真假的基本方法。
【解题思路】运用偶函数的性质，结合问题条件求出f(2)的值，得到函数f(x)是以4为周期
的周期函数，利用判断命题真假的基本方法对各结论的真假进行判断就可得出结果。
【详细解答】定义在R上的偶函数f(x)满足f（x+4）=-f(x)+f(2)，当x=-2时，f（-2+4）
=-f(-2)+f(2)= f(2)， f(2)=0，f（x+4）=-f(x)，函数f(x)是以4为周期的周期函数，（1），
（2）正确；当x 〔0，2〕时，y=f(x)单调递减，当x 〔-2，0〕时，y=f(x)单调递
增， f(8)= f(24+0)= f(0)，f(,10)= f(24+2)= f(2)，函数y=f(x)在〔8，10〕上单调递减，
（3）错误； x=-4为函数y=f(x)图像的一条对称轴，若方程f(x)=m在〔-6，-2〕上的
两根为，，则+=-8，（4）正确，正确命题的序号为：（1），（2），（4）。
6、函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，均有f(x+2)=f(x)成立，当x∈(0,1〕时，f(x)= (2-x) (a＞0)。
（1）当x∈〔2k-1,2k+1〕时，求f(x)的解析式；
（2）若f(x)的最大值为，解关于x的不等式f(x)＞。
【解析】
【知识点】①偶函数的定义与性质；②周期函数的定义与性质；③判断函数是周期函数的基
本方法；④求函数解析式的基本方法；⑤对数函数的定义与性质；⑥求解不等式的基本方法。
【解题思路】（1）运用判断周期函数的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)是以2为周期
的周期函数，根据偶函数的性质求出函数f(x)在[-1，0）上的解析式，从而求出函数f(x) 当
x∈〔2k-1,2k+1〕时，求f(x)的解析式；（2）运用周期函数的性质，利用函数f(x)在[-1，
1]上图像求出不等式f(x)＞的解集，从而得出关于x的不等式f(x)＞的解集。
【详细解答】（1）对任意的xR，均有f(x+2)=f(x)成立，函数f(x)是以2为周期
的周期函数，设x[-1，0），则-x(0,1〕函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x(0,1〕
时，f(x)= (2-x) ， f(x)= f(-x)= (2+x)，设x[2k-1，2k），则x-2k[-1，0），
函数f(x)是以2为周期的周期函数， f(x)= f(x-2k)= (2+x-2k) ，设x（2k，2k+1]，
则x-2k（0，1]，函数f(x)是以2为周期的周期函数， f(x)= f(x-2k)= (2+2k-x) ，
当x〔2k-1,2k+1〕时，f(x)= (2+x-2k) ，x[2k-1，2k），（2）当x[-1，1]时，
(2+x)，x[-1，0）， (2+2k-x)，x（2k，2k+1]；函数f(x)的解析式为：
f(x)= (2-x) ，x(0,1〕①当a>1时，函数f(x)在[-1，0）上单调递增，在(0,1〕上
单调递减，= f(0)= (2+0)= 2=，=2，a=4， f(x)＞
（2-x）＞或（2+x）＞2-x<且0x1或-<2+x且-1x0，
-2+2k+2-）（kZ）；②当0单调递增，= f(-1)= f(1) =(2-1)= 1=0 ，综上所述，若f(x)的最
大值为，关于x的不等式f(x)＞的解集为：（2k-2+，2k+2-）（kZ）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是函数单调性，奇偶性与周期性综合运用的问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，奇偶性和周期性，并能灵活运用函数的单调性，奇偶性和周期性；
（2）对于具体问题首先应该弄清楚它与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关，然后结合函数的相应性质进行解答；
（3）解答函数单调性，奇偶性和周期性的综合问题关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，注意两个常用结论：①f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)；②若奇函数在x=0处与意义，则有f(0)=0.
〔练习4〕解答下列问题：
1、奇函数f(x)的定义域为R，若f(x+2)为偶函数，且f(1)=1，则f(8)+f(9)等于（ ）
A -2 B -1 C 0 D 1（答案：D）
2、已知函数f(x)为奇函数，且当x＜0时，f(x)= +3x+2，若当x［1，3］时，n≤f(x)≤m恒成立，则m-n的最小值为 ；（答案：m-n的最小值为）
3、若f(x)=ln(+1)+ax是偶函数，则a= ；（答案：a=-）
4、设f(x)是定义在R上的偶函数，且是以2为周期的周期函数，在区间〔2,3〕上，f(x)=4-2。
（1）求函数f(x)在区间〔1,2〕上的解析式；（答案：x[1，2]时，函数f(x)=4-2；）
（2）若矩形ABCD的两个顶点A、B在x轴上，C、D在函数y=f(x)(0≤x≤2)的图像上，求矩形面积S的最大值。（答案：矩形面积S的最大值为。）
【考题演练】
【典例5】解答下列问题：
1、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③函数奇偶性定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；④函数图像及运用。
【解题思路】根据指数函数，余弦三角函数和函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，得到函数y=（-）cosx是奇函数，从而排除B，D；当x（0，]时，->0，cosx>0，从而得到y=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出选项。
【详细解答】设f(x)= （-）cosx，区间[-，]关于原点对称，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函数f(x)在[-，]上是奇函数，图像关于原点对称，B，D错误；当x（0，]时，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C错误，A正确，选A。
2、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③正弦三角函数定义与性质；④幂函数定义与性质；⑤判断函数奇偶性的基本方法；⑥函数图像及运用。
【解题思路】根据函数奇偶性，幂函数，余弦三角函数和正弦三角函数的性质，运用函数图像和判断函数奇偶性的基本方法，对各选项的函数进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对A，设f(x)= ， f(-x)= = =-
=- f(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； f(1)
= =1，f(3)= =-<0，与已知图像符合，A正确；对B，设g(x)= ， g(-x) ===-=- g(x)，函数g(x)奇函数，函数g(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； g(1)= =0，，g(3)= =>0，与已知图像不符合，B错误；对C，h(x)= ， h(-x)= =
=-=- h(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；
0< h(1)= =cos1<1，与已知图像不符合，C错误；对D，u(x)= ， u(-x)= = =-=- u(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；0< u(1)= =sin1<1，与已知图像不符合，D错误，综上所述，A正确，选A。
3、已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关
于直线x=2对称，g(2)=4，则=（ ）（2022全国高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数对称性定义与性质；③函数周期性定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；⑤判断函数周期性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性，对称性和周期性的性质，运用判断函数奇偶性和周期性的基本方法，得到函数f(x)是以4为周期的偶函数，结合问题条件求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，从而求出=的值，就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)，g(x)的定义域均为R，y=g(x)的图像关于直线x=2对称， g(2-x)= g(2+x)， f(x)+g(2-x)=5，f(-x)+g(2+x)=5， f(x)= f(-x)，函数f(x)是R上的偶函数， g(2)=4，f(x)+g(2-x)=5， f(0)+g(2)= f(0)+4=5， f(0)=1， g(x)- f(x-4)=7，g（2-x)=f(-x
-2)+7，5- f(x)= f(-x-2)+7， f(x)+ f(-x-2)=-2， f(x)+ f(x+2)=-2， f(x+2)+ f(x+4)=-2，
f(x)= f(x+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函数， f(0)+ f(2)=-2，f(0)=1， f(2)=-3，
f(3)= f(4-1)= f(-1)= f(1)=-1，f(4)= f(4+0)= f(0)=1， f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)=-3-1-1+1=-4，
=-45+ f(21)+ f(22)=-20+ f(1)+ f(2)=-20-1-3=-24，=-24，D正确，选D。
4、若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a= ，b= （2022全国高考乙卷文）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a，b的方程组，求解方程组就可求出a，b的值。
【详细解答】函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数， a+= 0，x=
=-1，a=-，函数f(x)=ln|a+|+b的定义域为（- ，-1）（-1，1）（1，+），
f(0)=ln|-+1|+b=-ln2+b=0，b=ln2，若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a=-，
b=ln2。
5、已知函数f(x)及其到函数（x）的定义域均为R，记g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均为偶函数，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法；③轴对称图形定义与性质；④周期函数定义与性质；⑤判断函数周期性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)关于直线x=对称，函数g(x)=（x）关于直线x=2对称，从而得到函数f(x)关于点（2，t）对称，函数g(x)=（x）关于点（，0）对称，运用周期函数的性质和判断函数周期性的基本方法，得到函数f(x)，函数g(x)=（x）均为以2为周期的周期函数，从而得到 f(0) = f(2) =t， f(-1)= f(4) ，可以判断A错误，C正确；g(-)=g()=0，g(-1)= g(1)，可以判断B正确，D错误，就可得出选项。
【详细解答】 f(-2x)，g（2+x)均为偶函数，函数f(x)关于直线x=对称，函数g(x)=（x）关于直线x=2对称，函数f(x)关于点（2，t）对称，函数g(x)=（x）关于点（，0）对称，函数f(x)，函数g(x)=（x）均为以2为周期的周期函数， f(0) = f(2) =t，f(-1)= f(1) ，f(-1)= f(1) ，f(1)= f(2) ，f(2)= f(4) ，f(-1)= f(4) ，A错误，C正确； g(-)
= g(2-)= g()=0，g(-1)= g(1)=0，g(1)+ g(2)=0， g(-1)+ g(2)=0，B正确，D错误，综上所述，BC正确，选BC。
6、若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+ f(x-y)= f(x). f(y)，f(1)=1，则=（ ）（2022全国高考新高考II卷）
A - 3 B -2 C 0 D 1
【解析】
【考点】①抽象函数定义与性质；②求抽象函数值的基本方法；③周期函数定义与性质；④判断函数是周期函数的基本方法。
【解题思路】根据抽象函数和周期函数的性质，运用判断函数是周期函数的基本方法，得到函数f(x)是以6为周期的周期函数，利用求抽象函数值的基本方法，结合问题条件求出f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，f(6)的值，从而求出的值就可得出选项。
【详细解答】当x=x，y=1时， f(1)=1，f(x+1)+ f(x-1)= f(x). f(1)， f(x+1)+ f(x-1)= f(x)， f(x+2) = f(x+1)- f(x)，f(x+3) = f(x+2)- f(x+1)， f(x+3) = -f(x)， f(x)= f(x+6)，函数f(x)是以6为周期的周期函数，当x=x，y=1时，f(1)+ f(1)= f(1). f(0)， f(0)=2， f(2) = f(1) -f(0)=1-2=-1，f(3) = f(2)- f(1)=-1-1=-2，------， f(6) = f(5)-f(4)=1-（-1）=2， f(1)+ f(2)+----+ f(6)= 1-1-2-1+1+2=0，=40- f(23)- f(24)=0- f(5)- f(6)=0-1-2=-3，=-3，A正确，选A。
（理）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)=
f(x)- 的所有零点之和为 （成都市2019级高三二诊）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②周期函数定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④函数图像及运用；⑤求函数零点的基本方法。
【解题思路】（理）根据奇函数和周期函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，由g(x)= f(x)- 的零点，函数f(x)与函数y=的交点，在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像，运用函数图像确定出函数g(x)= f(x)- 的所有零点，就可求出所有零点之和。（文）根据奇函数和周期函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，由g(x)= f(x)- 的零点，函数f(x)与函数y=的交点，在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像，运用函数图像确定出函数g(x)= f(x)- 的所有零点，就可求出所有零点之和。
【详细解答】（理）定义在R上的奇函数f(x)满足 y
f(x)= f(2-x)， f(-x)= f(2+x)， f(x) 1
= -f(2+x)=f(x+4)，函数f(x)是以4为周期 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 x
的周期函数，当x[0，1]时，f(x)=，
在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像如图所示，由图知函数f(x)
与函数y=的图像在[-2，2]上有三个交点，<<，且+=-2，=2，+ +=-2+2=0，在（2，6]上有两点交点<，且+=52=10，在[6，10]上有两个交点<，且+=92=18，在[-6，-2]上有两个交点<，且+=-52=-10，函数g(x)共有9个零点<<<<<<<<，+++++++
+=-10+0+10+18=18。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足 y
f(x)= f(2-x)， f(-x)= f(2+x)， f(x) 1
= -f(2+x)=f(x+4)，函数f(x)是以4为周期 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
的周期函数，当x[0，1]时，f(x)=，
在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像如图所示，由图知函数f(x)
与函数y=的图像在[-2，2]上有三个交点，<<，且+=-2，=2，+ +=-2+2=0，在（2，6]上有两点交点<，且+=52=10，在[6，10]上有一个交点=10，在[-6，-2]上有,一个交点=-5，, 函数g(x)共有7个零点<<<<
<<，且++++++=-5+0+10+9=14。
8、设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A f(x-1)-1 B f(x-1)+1 C f(x+1)-1 D f(x+1)+1
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，对各选项的函数奇偶性进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数g(x)= f(x-1)-1= -1 =的定义域为（- ，0）（0，+）关于原点对称，g(-x)= =- -- g(x)，函数g(x)= f(x-1)-1不是奇函数，A错误；对B，函数g(x)= f(x-1)+1=+1=的定义域为（- ，
0）（0，+）关于原点对称，g(-x)= =-=- g(x)，函数g(x)= f(x-1)+1是奇函数，B
正确，选B。
9、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数，偶函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】函数f(x)= （a. - ）是偶函数，函数y=是R上的奇函数，函数y= a. - 是R上奇函数， a. -=-（a. - ）=（a-1）+(a-1) =（a-1）（+）=0，+>0，a-1=0，即a=1。
10、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②奇函数定义与性质。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用奇函数的性质，结合问题条件，就可求出函数f(x)。
【详细解答】设函数f(x)= ，f()==.，f(). f()=.， f()= f(). f()满足①；（x）=2x，当x,（0，+）时，（x）>0满足②；函数（x）=2x的定义域为R关于原点对称，（-x）=2（-x）=-2x=-（x），函数（x）是奇函数满足③，同时具有下列性质①②③的函数f(x)= 。
11、函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2-17，则f(f())= （2021成都市高三一诊）
【解析】
【考点】①奇函数的定义与性质；②求函数值的基本方法。
【解题思路】根据奇函数的性质，结合问题条件求出当x＜0时，函数f(x)的解析式，运用求函数值的基本方法就可求出f(f())的值。
【详细解答】 设x（-，0），则-x（0，+），函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2-17， f(x)=- f(-x)=-（2-17）=-2+17， f()=27-17=-3， f(f())=f(-3)=-29+17=-1。
12、关于函数f(x)=sinx+ 有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像关
于原点对称；③f(x)的图像关于直线x=对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是 （2020全国高考新课标III）
【解析】
【考点】①正弦三角函数的图像与性质；②函数奇偶性的定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性的性质和判断函数奇偶性的基本方法判断函数f(x)是奇函数，从而得到①错误，②正确，③正确；设t= sinx，t［-1，1］，由f(t) =t+知函数f(t)无最值，从而得到④错误就可得出结果。
【详细解答】 函数f(x)=sinx+ 的定义域为{x|x k, kZ}, f(-x)=-sinx-
= -sinx-=- f(x), 函数f(x)是奇函数，①错误，②正确，③正确；设t= sinx，t［-1，1］，由f(t)=t+ 知函数f(t)无最值，④错误,即：其中所有真命题的序号是②③。
13、已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对区间（- ，0]上的任意，，当
时，都有<0，若实数t满足f（2t+1） f（t-3），则t的取值范围是 （成都市2020—2021高一上期期末调研考试）
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③判断函数单调性的基本方法；④运用函数单调性求解不等式的基本方法。
【解题思路】根据偶函数和函数单调性的性质，运用判断函数单调性的基本方法，分别得到函数f(x)在区间（- ，0]，[0，+ ）上的单调性，利用运用函数单调性求解不等式的基本方法得到关于t的不等式，求解不等式就可求出实数t的取值范围。
【详细解答】函数f(x) 对区间（- ，0]上的任意，，当时，都有<0，函数f(x)在区间（- ，0]上单调递减，函数f(x)是定义在R上的偶函数，函数f(x) 在区间[0，+ ）上的单调递增， f（2t+1） f（t-3） |2t+1||t-3|，-4t，若实数t满足f（2t+1） f（t-3），则t的取值范围是[-4，]。
14、已知函数f(x)= 。
（1）判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；
（2）用函数单调性的定义证明函数f(x)在（0，+∞）上是减函数（2018—2019成都市高一上期调研考试）
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②判断（或证明）函数奇偶性的基本方法；③函数单调性定义与性质；④判断（或证明）函数单调性的基本方法。
【解题思路】（1）根据函数奇偶性的性质，运用判断（或证明）函数奇偶性的基本方法，就可判断函数f(x)是偶函数；（2）根据函数单调性的性质，运用函数单调性的判断（或证明）的基本方法，就可证明函数f(x)在（0，+）上是减函数。
【详细解答】（1）函数f(x)的定义域为（-，0）（0，+）关于原点对称，f(-x)=
= = f(x)，函数f(x)是偶函数；（2）证明：任取，（0，+），且<，
f（）-f()=-==>0， f（）>f()，即函数f(x)是（0，+）上的减函数。
15、已知定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)，且f(x)+g(x)= 。
（1）求函数f(x)，g(x)的解析式；
（2）设函数F（x）= +1，记H（x）=F（）+F（）+F（）+----+F（）（n，n≥2），探究是否存在正整数n（n≥2），使得对任意x（0，1］，不等式g（2x）＞H（n）.g(x)恒成立？若存在，求出所有满足条件的正整数n的值；若不存在，请说明理由（2018—2019成都市高一上期调研考试）
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②求函数解析式的基本方法；③对称中心图形定义与性质；④探索性问题的结构特征；⑤求解探索性问题的基本方法。
【解题思路】（1）根据奇函数，偶函数的性质，结合问题条件构造关于f(x)，g(x)的方程组，求解方程组就可得到f(x)，g(x)的解析式；（2）根据判断（或证明）函数奇偶性的基本方法判断函数的奇偶性，运用函数奇偶性的性质得到函数F(x)的对称中心，从而得到对任意的xR，F(1-x)+ F(x)=2恒成立，注意到H（n）= F()+F()+F()+---------+F()的结构特征，由得到的恒等式就可得出结论。
【详细解答】（1）函数f(x)为偶函数，函数g(x)为奇函数，f(-x)= f(x)，g(-x)= -g(x)，
f(x)+g(x)= ，f(-x)+g(-x)= f(x)-g(x)= ， f(x)= ，g(x) = ；
（2）函数= 的定义域为R关于原点对称，==-
=-，函数是R上的奇函数，函数的图像关于点（0，0）中心对称，函数F(x)= +1的图像关于点（，1）中心对称，对任意的xR，F(1-x)+ F(x)=2恒成立， H（n）= F()+F()+F()+---------+F()， H（n）= F()
+F()+F()+---------+F()，2 H（n）=[ F()+F()]+[ F()+F()]
+[ F()+F()]+-----+[F()+F()]=2（n-1）, H（n）=n-1，g(2x)> H（n）.
g(x)，>（n-1）（），（）[（）-（n-1）]>0,
x(0,1], >0，+1>n对任意的n恒成立，设t=，x(0,1], t(1,e]，y=t++1在(1,e]上单调递增，y=+1在(0,1]上单调递增，
当x(0,1]时, > +1=3，n3，n2，存在n=2或3，使得对任意的
x(0,1],不等式g(2x)> H（n）.g(x)恒成立。
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高一上期期末调研考试）试题中函数奇偶性和函数周期性的问题，归结起来主要包括：①判断（或证明）函数的奇偶性；②函数奇偶性的运用；③判断（或证明）函数的周期性；④函数性质综合运用等几种类型；
判断（或证明）函数的奇偶性（或周期性）主要方法是定义法和图像法，已知函数解析式，一般采用定义法，已知函数图像（或函数图像容易作出）一般采用图像法；
（3）解答函数单调性，奇偶性和周期性的综合运用问题的基本方法是：①弄清楚问题与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关；②将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题；③注意常用结论：f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)和若奇函数在x=0处与意义，则有f(0)=0的灵活运用.
[练习5]解答下列问题：
1、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)= -x，0x1，若对任意的xR，不等式f(x) ＞f(x-a)恒成立，则实数a的取值范围是 -1,1＜x＜2 （2018—2019成都市高一上期调研考试）（答案：实数a的取值范围 x-3，x≥2
是（3，+）。）
2、已知函数f(x)= 是奇函数，则实数a的值为 （2019成都市高三一诊文）
（答案：实数a的值为2）
3、(理)已知定义域为R的奇函数f(x)满足f(+x)=f(-x)，且当0≤x≤1时，f(x)= ，则f()=( )（答案：B）
A - B - C D
（文）已知定义域为R的奇函数f(x)的图像关于直线x=1对称，且当0≤x≤1时，f(x)= ，则f()=( )(2019成都市高三二诊)（答案：B）
A - B - C D
4、设f(x)是定义域为R的偶函数，且在（0，+）单调递减，则（ ）（2019全国高考新课标III）（答案：C）
A f()＞f()＞f() B f()＞f()＞f()
C f()＞f()＞f() D f()＞f()＞f()
5、设f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)= -1，则当x<0时，f(x)=（ ）（2019全国高考新课标II（文））（答案：D）
A -1 B +1 C --1 D - +1
6、设函数f(x)是定义域为R，满足f(x+1)=2f(x)，且当x（0，1]时，f(x)=x(x-1)，若对任意的x（-，m]，都有f(x) - ，则m的取值范围是（ ）（2019全国高考新课标II（理））（答案：B）
A （-，] B （-，] C （-，] D （-，]
7、已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)=- ，若f(ln2)=8，则a= （2019全国高考新课标II（理））（答案：a=-3。）
8、设函数f(x)= +a（a为常数），若f(x)为奇函数，则a= ，若f(x)是R上的增函数，则a的取值范围是 （2019全国高考北京（理））（答案：a=-1，a的取值范围是（-，0] .）