3.1椭圆常考题型归纳讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案）
文档属性
| 名称 | 3.1椭圆常考题型归纳讲义-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 240.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-27 07:58:32 | ||
图片预览
文档简介
椭圆常考题型归纳
【典例精析】
题型一：椭圆定义的应用
【例1】已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
【例2】(1)椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是( )
A．2(＋) B．4＋2
C．＋ D．＋2
(2)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
[例3]设点P是椭圆C：＋＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．
[方法技巧]
椭圆定义应用的类型及方法
(1)求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程．
(2)焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧．
(3)求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．
【变式训练】
1．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＋＝1(x≠0) B．＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(x≠0)
2．如图，Q是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别为左、右焦点，过F1作∠F1QF2外角平分线的垂线交F2Q的延长线于P点，交角平分线于R点，当Q点在椭圆上运动时，R点的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
3．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( )
A． B．
C． D．
4．(多选)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则( )
A．△PF1F2的周长为12
B．S△PF1F2＝2
C．点P到x轴的距离为
D．·＝2
5．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________．
6．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
7．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．
题型二：椭圆的标准方程
【例4】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[方法技巧]
求椭圆标准方程的2种常用方法
定义法 根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
【变式训练】
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不正确
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
4．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题型三：椭圆的几何性质
【例5】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
[方法技巧]
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e．通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e．由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．
【变式训练】
1．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－ B．2－ C． D．－1
2．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
3．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A．－1 B． C． D．＋1
4．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过F1与椭圆交于A，B两点，当△F2AB为正三角形时，该椭圆的离心率为___________．
【例6】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若＋＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[方法技巧]
求椭圆离心率范围的2种方法
方法 解读 适合题型
几何法 利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系 题设条件有明显的几何关系
直接法 根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式 题设条件直接有不等关系
【变式训练】
1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为
【例7】已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A． B．
C．5 D．2
[方法技巧]
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
提醒：求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．
【变式训练】
1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围是________．
【课后练习】
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
2．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3 C．2 D．5
3．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋x2＝1 D．＋＝1
4．若椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为( )
A．3 B．2
C． D．
6．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
7．设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
9．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
10．已知椭圆＋＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是________．
11．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞1)的左、右焦点，P(1,1)为C内一点，Q为C上任意一点．现有四个结论：
①C的焦距为2；
②C的长轴长可能为；
③|QF2|的最大值为a＋1；
④若|PQ|＋|QF1|的最小值为3，则a＝2．
其中所有正确结论的编号是________．
12．如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
椭圆常考题型归纳
【典例精析】
题型一：椭圆定义的应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
【例1】已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
[解析] 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1．[答案] D
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
【例2】(1)椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是( )
A．2(＋) B．4＋2
C．＋ D．＋2
(2)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
[解析] (1)如图，由于O，M，N分别为F1F2，PF1，PF2的中点，所以OM∥PF2，ON∥PF1，且|OM|＝|PF2|，|ON|＝|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形，所以 OMPN的周长为2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以a＝，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，所以c2＝a2－1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2，所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝2＋2＝2(＋)，故选A．
(2)因为|PQ|＝|F1F2|，所以PF1⊥PF2．因为|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝48，所以|PF1||PF2|＝[(|PF1|＋|PF2|)2－|F1F2|2]＝×(64－48)＝8，故S四边形PF1QF2＝|PF1||PF2|×2＝8．
考法(三) 利用定义求最值
[例3]设点P是椭圆C：＋＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．
[解析] 如图所示，设F′是椭圆的左焦点，连接AF′，PF′，则F′(－2,0)，∴|AF′|＝＝．∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|＝4＋，|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|＝4－．∴|PA|＋|PF|的取值范围是[4－，4＋ ]．
[答案] [4－，4＋ ]
[方法技巧]
椭圆定义应用的类型及方法
(1)求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程．
(2)焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧．
(3)求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．
【变式训练】
1．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＋＝1(x≠0) B．＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(x≠0)
解析：选B ∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是＋＝1(x≠0)．
2．如图，Q是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别为左、右焦点，过F1作∠F1QF2外角平分线的垂线交F2Q的延长线于P点，交角平分线于R点，当Q点在椭圆上运动时，R点的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
解析：选B 由题意得，|QP|＝|QF1|，所以|PF2|＝|QP|＋|QF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a，而R点为PF1的中点，且O为F1F2的中点．所以|OR|＝|PF2|＝a．即R点的轨迹是以原点O为圆心，a为半径的圆x2＋y2＝a2．故选B．
3．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D．
4．(多选)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则( )
A．△PF1F2的周长为12
B．S△PF1F2＝2
C．点P到x轴的距离为
D．·＝2
解析：选BCD 由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故A选项错误；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝×6×＝2，故B选项正确；
设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝|F1F2|·d＝×2d＝2，解得d＝，故C选项正确；·＝||·||cos∠F1PF2＝6×＝2，故D选项正确．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________．
解析：由椭圆方程＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的焦点．
又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8．
于是，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝．答案：
6．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
解析：椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋．
答案：6＋ 6－
7．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．
[答案] －5 [解析] 由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|．
∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时，等号成立，又|MF2|＝＝5,2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，
即|PM|－|PF1|的最小值为－5．
题型二：椭圆的标准方程
【例4】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 由题意可得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1．
[方法技巧]
求椭圆标准方程的2种常用方法
定义法 根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
【变式训练】
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不正确
解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选A 由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，
又＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1．故选A．
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝．又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1．
4．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选A 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b．∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AB|＝4|BF2|．又|BF1|＝5|BF2|，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a．∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．如图所示，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝．在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝＝，根据cos∠AF2O＋cos∠BF2F1＝0，可得＋＝0，解得a2＝2，∴b2＝a2－c2＝2－1＝1．∴椭圆C的方程为＋y2＝1．故选A．
题型三：椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆的离心率
【例5】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
[解析] 如图，作PB⊥x轴于点B．由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝．
[方法技巧]
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e．通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e．由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．
【变式训练】
1．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－ B．2－ C． D．－1
解析：选D 由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c．由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1．故选D．
2．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意知＝×2b，解得＝，即e＝．故选B．
3．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A．－1 B．
C． D．＋1
解析：A 不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝＝－1．故选A．
4．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过F1与椭圆交于A，B两点，当△F2AB为正三角形时，该椭圆的离心率为___________．
[解析] 不妨设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，根据椭圆定义，|AF1|＝2a－|AF2|，|BF1|＝2a－|BF2|，△F2AB为正三角形，|AF2|＝|BF2|，所以|AF1|＝|BF1|，即F1为线段AB的中点，根据椭圆的对称性知AB垂直于x轴．设|F1F2|＝2c，则|AF1|＝2ctan 30°＝，|AF2|＝＝．因为|AF1|＋|AF2|＝2a，即2c＝2a，所以e＝＝．
考法(二) 求椭圆的离心率的范围
【例6】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若＋＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[解析]如图所示，设F′为椭圆的左焦点，
连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3．取P(0，b)，
∵点P到直线l：4x－3y＝0的距离不小于，∴≥，解得b≥2．∴c≤＝，∴0<≤．∴椭圆C的离心率范围是．故选C．
[方法技巧]
求椭圆离心率范围的2种方法
方法 解读 适合题型
几何法 利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系 题设条件有明显的几何关系
直接法 根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式 题设条件直接有不等关系
【变式训练】
1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：A 由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝．又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤．又0已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为
解析：取AP的中点Q，则＝(＋)，所以(＋)·＝2·＝0，所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a．因为点P在直线x＝上，所以|FP|≥－c，即a≥－c，所以≥－1，所以e2＋e－1≥0，解得e≥或e≤．又0考法(三) 与椭圆性质有关的最值或范围问题
【例7】已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A． B．
C．5 D．2
解析：选C 设P(x0，y0)，则由题意得＋y＝1，故x＝4(1－y)，所以|PA|2＝x＋(y0－4)2＝4(1－y)＋y－8y0＋16＝－3y－8y0＋20＝－3＋，又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5．故选C．
[方法技巧]
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
提醒：求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．
【变式训练】
1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
解析：选C 由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝6，所以由基本不等式，得|MF1|·|MF2|≤＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
解析：由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为＋＝1．设点P的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，因为F(－1,0)，A(2,0)，所以＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2，则当x0＝－2时，·取得最大值4．
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围是________．
解析：由已知得2b＝2，故b＝1，∴a2－c2＝b2＝1 ①．∵△F1AB的面积为，∴(a－c)b＝，∴a－c＝2－ ②．由①②联立解得，a＝2，c＝．由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴＋＝＝＝，又2－≤|PF1|≤2＋，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，
∴1≤＋≤4，即＋的取值范围是[1,4]．
答案：[1,4]
【课后练习】
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B 因为椭圆的离心率e＝＝，
所以a2＝4c2．
又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2．
2．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3 C．2 D．5
解析：选A 连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4．故选A．
3．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋x2＝1 D．＋＝1
解析：选D 由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1．故选D．
4．若椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选C 由条件可知b＝c＝，a＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1．故选C．
5．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为( )
A．3 B．2
C． D．
解析：D 因为椭圆为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝＝4．当△MF1F2的面积最大时，点M为椭圆C短轴的顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则|MF1|＝|MF2|＝a＝5，|F1F2|＝2c＝8，|OM|＝b＝3，＝(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·r＝|F1F2|·|OM|，所以r＝．
6．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
解析：选AD 由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以A正确；依题意知a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B错误；|F1F2|＝2c＝2，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，为·2c·b＝1，所以C错误；以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距离为＝1，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以D正确．故选A、D．
7．设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3, )．
答案：(3，)
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：若存在点P满足条件，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，即b≤c＜a，即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，∴≤e＜1．答案：
9．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
解析：∵e＝＝，∴＝＝，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2．
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1．解得a2＝45．∴椭圆方程为＋＝1．
答案：＋＝1
10．已知椭圆＋＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是________．
解析：由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，所以S△PF1F2＝|F1F2|·|PF2|＝×2×1＝
11．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞1)的左、右焦点，P(1,1)为C内一点，Q为C上任意一点．现有四个结论：
①C的焦距为2；
②C的长轴长可能为；
③|QF2|的最大值为a＋1；
④若|PQ|＋|QF1|的最小值为3，则a＝2．
其中所有正确结论的编号是________．
解析：对于①：因为c2＝a2－(a2－1)＝1，所以椭圆C的焦距为2c＝2，故①正确；对于②：若椭圆C的长轴长为，则a2＝，所以椭圆C的方程为＋＝1，则＋＞1，从而点P在C的外部，这与P在C内矛盾，所以②不正确；对于③：因为c＝1，Q为C上任意一点，由椭圆的几何性质可知，|QF2|的最大值为a＋c＝a＋1，故③正确；对于④：由椭圆定义可知，|PQ|＋|QF1|＝|PQ|－|QF2|＋2a，因为||PQ|－|QF2||≤|PF2|＝1，所以|PQ|－|QF2|≥－1，所以|PQ|－|QF2|＋2a≥2a－1＝3，此时a＝2，故④正确．
答案：①③④
12．如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．所以a＝c，e＝＝．
(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由＝2，得解得x＝，y＝－．代入＋＝1，得＋＝1．即＋＝1，解得a2＝3．所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆方程为＋＝1．
【典例精析】
题型一：椭圆定义的应用
【例1】已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
【例2】(1)椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是( )
A．2(＋) B．4＋2
C．＋ D．＋2
(2)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
[例3]设点P是椭圆C：＋＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．
[方法技巧]
椭圆定义应用的类型及方法
(1)求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程．
(2)焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧．
(3)求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．
【变式训练】
1．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＋＝1(x≠0) B．＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(x≠0)
2．如图，Q是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别为左、右焦点，过F1作∠F1QF2外角平分线的垂线交F2Q的延长线于P点，交角平分线于R点，当Q点在椭圆上运动时，R点的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
3．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( )
A． B．
C． D．
4．(多选)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则( )
A．△PF1F2的周长为12
B．S△PF1F2＝2
C．点P到x轴的距离为
D．·＝2
5．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________．
6．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
7．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．
题型二：椭圆的标准方程
【例4】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[方法技巧]
求椭圆标准方程的2种常用方法
定义法 根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
【变式训练】
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不正确
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
4．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
题型三：椭圆的几何性质
【例5】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
[方法技巧]
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e．通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e．由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．
【变式训练】
1．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－ B．2－ C． D．－1
2．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
3．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A．－1 B． C． D．＋1
4．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过F1与椭圆交于A，B两点，当△F2AB为正三角形时，该椭圆的离心率为___________．
【例6】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若＋＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[方法技巧]
求椭圆离心率范围的2种方法
方法 解读 适合题型
几何法 利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系 题设条件有明显的几何关系
直接法 根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式 题设条件直接有不等关系
【变式训练】
1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(c,0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝上存在一点P满足(＋)·＝0，则椭圆的离心率的取值范围为
【例7】已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A． B．
C．5 D．2
[方法技巧]
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
提醒：求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．
【变式训练】
1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围是________．
【课后练习】
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
2．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3 C．2 D．5
3．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋x2＝1 D．＋＝1
4．若椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
5．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为( )
A．3 B．2
C． D．
6．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
7．设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
9．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
10．已知椭圆＋＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是________．
11．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞1)的左、右焦点，P(1,1)为C内一点，Q为C上任意一点．现有四个结论：
①C的焦距为2；
②C的长轴长可能为；
③|QF2|的最大值为a＋1；
④若|PQ|＋|QF1|的最小值为3，则a＝2．
其中所有正确结论的编号是________．
12．如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
椭圆常考题型归纳
【典例精析】
题型一：椭圆定义的应用
考法(一) 利用定义求轨迹方程
【例1】已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A．－＝1 B．＋＝1
C．－＝1 D．＋＝1
[解析] 设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16＞8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16,2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1．[答案] D
考法(二) 求解“焦点三角形”问题
【例2】(1)椭圆C：＋y2＝1(a>1)的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上异于端点的任意一点，PF1，PF2的中点分别为M，N，O为坐标原点，四边形OMPN的周长为2，则△PF1F2的周长是( )
A．2(＋) B．4＋2
C．＋ D．＋2
(2)已知F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．
[解析] (1)如图，由于O，M，N分别为F1F2，PF1，PF2的中点，所以OM∥PF2，ON∥PF1，且|OM|＝|PF2|，|ON|＝|PF1|，所以四边形OMPN为平行四边形，所以 OMPN的周长为2(|OM|＋|ON|)＝|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以a＝，又知a2＝b2＋c2，b2＝1，所以c2＝a2－1＝2，所以|F1F2|＝2c＝2，所以△PF1F2的周长为2a＋2c＝2＋2＝2(＋)，故选A．
(2)因为|PQ|＝|F1F2|，所以PF1⊥PF2．因为|PF1|＋|PF2|＝8，|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝48，所以|PF1||PF2|＝[(|PF1|＋|PF2|)2－|F1F2|2]＝×(64－48)＝8，故S四边形PF1QF2＝|PF1||PF2|×2＝8．
考法(三) 利用定义求最值
[例3]设点P是椭圆C：＋＝1上的动点，F为椭圆C的右焦点，定点A(2,1)，则|PA|＋|PF|的取值范围是______________．
[解析] 如图所示，设F′是椭圆的左焦点，连接AF′，PF′，则F′(－2,0)，∴|AF′|＝＝．∵|PF|＋|PF′|＝2a＝4，∴|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|≤2a＋|AF′|＝4＋，|PA|＋|PF|＝|PA|＋2a－|PF′|＝2a－(|PF′|－|PA|)≥2a－|AF′|＝4－．∴|PA|＋|PF|的取值范围是[4－，4＋ ]．
[答案] [4－，4＋ ]
[方法技巧]
椭圆定义应用的类型及方法
(1)求方程：通过对题设条件分析、转化后，能够明确动点满足椭圆的定义，便可直接求解其轨迹方程．
(2)焦点三角形问题：利用定义求焦点三角形的周长和面积．解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义、正弦定理或余弦定理，其中|PF1|＋|PF2|＝2a两边平方是常用技巧．
(3)求最值：抓住|PF1|与|PF2|之和为定值，可联系到利用基本不等式求|PF1|·|PF2|的最值；利用定义|PF1|＋|PF2|＝2a转化或变形，借助三角形性质求最值．
【变式训练】
1．已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是( )
A．＋＝1(x≠0) B．＋＝1(x≠0)
C．＋＝1(x≠0) D．＋＝1(x≠0)
解析：选B ∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8，|AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值，∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20，∴椭圆的方程是＋＝1(x≠0)．
2．如图，Q是椭圆＋＝1(a＞b＞0)上一点，F1，F2分别为左、右焦点，过F1作∠F1QF2外角平分线的垂线交F2Q的延长线于P点，交角平分线于R点，当Q点在椭圆上运动时，R点的轨迹是( )
A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
解析：选B 由题意得，|QP|＝|QF1|，所以|PF2|＝|QP|＋|QF2|＝|QF1|＋|QF2|＝2a，而R点为PF1的中点，且O为F1F2的中点．所以|OR|＝|PF2|＝a．即R点的轨迹是以原点O为圆心，a为半径的圆x2＋y2＝a2．故选B．
3．设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为( )
A． B．
C． D．
解析：选D 如图，设线段PF1的中点为M，因为O是F1F2的中点，所以OM∥PF2，可得PF2⊥x轴，|PF2|＝＝，|PF1|＝2a－|PF2|＝，＝，故选D．
4．(多选)已知P是椭圆＋＝1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，且cos∠F1PF2＝，则( )
A．△PF1F2的周长为12
B．S△PF1F2＝2
C．点P到x轴的距离为
D．·＝2
解析：选BCD 由椭圆方程知a＝3，b＝2，所以c＝，所以|PF1|＋|PF2|＝6，于是△PF1F2的周长为2a＋2c＝6＋2，故A选项错误；
在△PF1F2中，由余弦定理可得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos∠F1PF2＝(|PF1|＋|PF2|)2－2|PF1||PF2|－2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2，所以20＝36－2|PF1||PF2|－|PF1||PF2|，解得|PF1|·|PF2|＝6，故S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin∠F1PF2＝×6×＝2，故B选项正确；
设点P到x轴的距离为d，则S△PF1F2＝|F1F2|·d＝×2d＝2，解得d＝，故C选项正确；·＝||·||cos∠F1PF2＝6×＝2，故D选项正确．
5．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－4,0)和C(4,0)，顶点B在椭圆＋＝1上．则＝________．
解析：由椭圆方程＋＝1知，a＝5，b＝3，∴c＝4，即点A(－4,0)和C(4,0)是椭圆的焦点．
又点B在椭圆上，∴|BA|＋|BC|＝2a＝10，且|AC|＝8．
于是，在△ABC中，由正弦定理，得＝＝．答案：
6．已知F是椭圆5x2＋9y2＝45的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1,1)是一定点，则|PA|＋|PF|的最大值为________，最小值为________．
解析：椭圆方程化为＋＝1，设F1是椭圆的右焦点，则F1(2,0)，∴|AF1|＝，∴|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF1|＋6，又－|AF1|≤|PA|－|PF1|≤|AF1|(当P，A，F1三点共线时等号成立)，∴6－≤|PA|＋|PF|≤6＋．
答案：6＋ 6－
7．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上任意一点，点M的坐标为(6,4)，则|PM|－|PF1|的最小值为________．
[答案] －5 [解析] 由椭圆的方程可知F2(3,0)，由椭圆的定义可得|PF1|＝2a－|PF2|．
∴|PM|－|PF1|＝|PM|－(2a－|PF2|)＝|PM|＋|PF2|－2a≥|MF2|－2a，当且仅当M，P，F2三点共线时，等号成立，又|MF2|＝＝5,2a＝10，
∴|PM|－|PF1|≥5－10＝－5，
即|PM|－|PF1|的最小值为－5．
题型二：椭圆的标准方程
【例4】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的长轴长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
[解析] 由题意可得＝，2a＝6，解得a＝3，c＝1，则b＝＝，所以椭圆C的方程为＋＝1．
[方法技巧]
求椭圆标准方程的2种常用方法
定义法 根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程
待定系数法 若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)
【变式训练】
1．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋y2＝1
C．＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不正确
解析：选C 直线与坐标轴的交点为(0,1)，(－2,0)，由题意知当焦点在x轴上时，c＝2，b＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋y2＝1；当焦点在y轴上时，b＝2，c＝1，所以a2＝5，所求椭圆的标准方程为＋＝1．
2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则椭圆C的方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选A 由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，
又＝＝，所以c＝1，所以b2＝2，所以椭圆C的方程为＋＝1．故选A．
3．与椭圆9x2＋4y2＝36有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．x2＋＝1
C．＋y2＝1 D．＋＝1
解析：选B 椭圆9x2＋4y2＝36可化为＋＝1，可知焦点在y轴上，焦点坐标为(0，±)，故可设所求椭圆方程为＋＝1(a>b>0)，则c＝．又2b＝2，即b＝1，所以a2＝b2＋c2＝6，则所求椭圆的标准方程为x2＋＝1．
4．已知椭圆C的焦点为F1(－1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点，若|AF2|＝3|BF2|，|BF1|＝5|BF2|，则C的方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选A 设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b．∵|AF2|＝3|BF2|，∴|AB|＝4|BF2|．又|BF1|＝5|BF2|，|BF1|＋|BF2|＝2a，∴|BF2|＝，∴|AF2|＝a，|BF1|＝a．∵|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF1|＝a，∴|AF1|＝|AF2|，∴A在y轴上．如图所示，在Rt△AF2O中，cos∠AF2O＝．在△BF1F2中，由余弦定理可得cos∠BF2F1＝＝，根据cos∠AF2O＋cos∠BF2F1＝0，可得＋＝0，解得a2＝2，∴b2＝a2－c2＝2－1＝1．∴椭圆C的方程为＋y2＝1．故选A．
题型三：椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆的离心率
【例5】已知F1，F2是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为的直线上，△PF1F2为等腰三角形，∠F1F2P＝120°，则C的离心率为( )
A． B． C． D．
[解析] 如图，作PB⊥x轴于点B．由题意可设|F1F2|＝|PF2|＝2，则c＝1，由∠F1F2P＝120°，可得|PB|＝，|BF2|＝1，故|AB|＝a＋1＋1＝a＋2，tan∠PAB＝＝＝，解得a＝4，所以e＝＝．
[方法技巧]
求椭圆离心率的3种方法
(1)直接求出a，c来求解e．通过已知条件列方程组，解出a，c的值．
(2)构造a，c的齐次式，解出e．由已知条件得出关于a，c的二元齐次方程，然后转化为关于离心率e的一元二次方程求解．
(3)通过取特殊值或特殊位置，求出离心率．
提醒：在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根．
【变式训练】
1．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点．若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为( )
A．1－ B．2－ C． D．－1
解析：选D 由题设知∠F1PF2＝90°，∠PF2F1＝60°，|F1F2|＝2c，所以|PF2|＝c，|PF1|＝c．由椭圆的定义得|PF1|＋|PF2|＝2a，即c＋c＝2a，所以(＋1)c＝2a，故椭圆C的离心率e＝＝＝－1．故选D．
2．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A． B． C． D．
解析：选B 不妨设直线l经过椭圆的一个顶点B(0，b)和一个焦点F(c,0)，则直线l的方程为＋＝1，即bx＋cy－bc＝0．由题意知＝×2b，解得＝，即e＝．故选B．
3．设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为( )
A．－1 B．
C． D．＋1
解析：A 不妨设椭圆E的方程为＋＝1(a＞b＞0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝＝－1．故选A．
4．已知椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，直线AB过F1与椭圆交于A，B两点，当△F2AB为正三角形时，该椭圆的离心率为___________．
[解析] 不妨设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，根据椭圆定义，|AF1|＝2a－|AF2|，|BF1|＝2a－|BF2|，△F2AB为正三角形，|AF2|＝|BF2|，所以|AF1|＝|BF1|，即F1为线段AB的中点，根据椭圆的对称性知AB垂直于x轴．设|F1F2|＝2c，则|AF1|＝2ctan 30°＝，|AF2|＝＝．因为|AF1|＋|AF2|＝2a，即2c＝2a，所以e＝＝．
考法(二) 求椭圆的离心率的范围
【例6】已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为P，直线l：4x－3y＝0与椭圆C相交于A，B两点．若＋＝6，点P到直线l的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
[解析]如图所示，设F′为椭圆的左焦点，
连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，
∴6＝|AF|＋|BF|＝|AF′|＋|AF|＝2a，∴a＝3．取P(0，b)，
∵点P到直线l：4x－3y＝0的距离不小于，∴≥，解得b≥2．∴c≤＝，∴0<≤．∴椭圆C的离心率范围是．故选C．
[方法技巧]
求椭圆离心率范围的2种方法
方法 解读 适合题型
几何法 利用椭圆的几何性质，设P(x0，y0)为椭圆＋＝1(a>b>0)上一点，则|x0|≤a，a－c≤|PF1|≤a＋c等，建立不等关系，或者根据几何图形的临界情况建立不等关系 题设条件有明显的几何关系
直接法 根据题目中给出的条件或根据已知条件得出不等关系，直接转化为含有a，b，c的不等关系式 题设条件直接有不等关系
【变式训练】
1．过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点作x轴的垂线，交C于A，B两点，直线l过C的左焦点和上顶点．若以AB为直径的圆与l存在公共点，则C的离心率的取值范围是( )
A． B．
C． D．
解析：A 由题设知，直线l：＋＝1，即bx－cy＋bc＝0，以AB为直径的圆的圆心为(c,0)，根据题意，将x＝c代入椭圆C的方程，得y＝±，即圆的半径r＝．又圆与直线l有公共点，所以≤，化简得2c≤b，平方整理得a2≥5c2，所以e＝≤．又0
解析：取AP的中点Q，则＝(＋)，所以(＋)·＝2·＝0，所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，即|FA|＝|FP|，且|FA|＝＝a．因为点P在直线x＝上，所以|FP|≥－c，即a≥－c，所以≥－1，所以e2＋e－1≥0，解得e≥或e≤．又0
【例7】已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为( )
A． B．
C．5 D．2
解析：选C 设P(x0，y0)，则由题意得＋y＝1，故x＝4(1－y)，所以|PA|2＝x＋(y0－4)2＝4(1－y)＋y－8y0＋16＝－3y－8y0＋20＝－3＋，又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5．故选C．
[方法技巧]
与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法
(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围．
(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围．
(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围．
(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围．
提醒：求解与椭圆几何性质有关的参数问题时，要结合图形进行分析，当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系．
【变式训练】
1．(2021·新高考Ⅰ卷)已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为( )
A．13 B．12 C．9 D．6
解析：选C 由椭圆的定义可知|MF1|＋|MF2|＝6，所以由基本不等式，得|MF1|·|MF2|≤＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时等号成立．故选C．
2．若焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为________．
解析：由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3，故椭圆的方程为＋＝1．设点P的坐标为(x0，y0)，所以－2≤x0≤2，因为F(－1,0)，A(2,0)，所以＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2，则当x0＝－2时，·取得最大值4．
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别是F1，F2，且△F1AB的面积为，点P为椭圆上的任意一点，则＋的取值范围是________．
解析：由已知得2b＝2，故b＝1，∴a2－c2＝b2＝1 ①．∵△F1AB的面积为，∴(a－c)b＝，∴a－c＝2－ ②．由①②联立解得，a＝2，c＝．由椭圆的定义知|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，∴＋＝＝＝，又2－≤|PF1|≤2＋，∴1≤－|PF1|2＋4|PF1|≤4，
∴1≤＋≤4，即＋的取值范围是[1,4]．
答案：[1,4]
【课后练习】
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
解析：选B 因为椭圆的离心率e＝＝，
所以a2＝4c2．
又a2＝b2＋c2，所以3a2＝4b2．
2．设F1，F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为( )
A．4 B．3 C．2 D．5
解析：选A 连接PF2，由题意知，a＝5，在△PF1F2中，|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝10－6＝4．故选A．
3．已知动点M到两个定点A(－2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为( )
A．＋y2＝1 B．＋＝1
C．＋x2＝1 D．＋＝1
解析：选D 由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2－c2＝5，故椭圆的方程为＋＝1．故选D．
4．若椭圆的焦点在x轴上，中心在原点，其上、下顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点，则椭圆的标准方程为( )
A．＋＝1 B．＋y2＝1
C．＋＝1 D．＋＝1
解析：选C 由条件可知b＝c＝，a＝2，所以椭圆的标准方程为＋＝1．故选C．
5．已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在椭圆C上，当△MF1F2的面积最大时，△MF1F2内切圆半径为( )
A．3 B．2
C． D．
解析：D 因为椭圆为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝＝4．当△MF1F2的面积最大时，点M为椭圆C短轴的顶点，不妨设点M为椭圆C的上顶点，点O为坐标原点，△MF1F2内切圆半径为r，则|MF1|＝|MF2|＝a＝5，|F1F2|＝2c＝8，|OM|＝b＝3，＝(|MF1|＋|MF2|＋|F1F2|)·r＝|F1F2|·|OM|，所以r＝．
6．(多选)设椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的动点，则下列结论正确的是( )
A．|PF1|＋|PF2|＝2
B．离心率e＝
C．△PF1F2面积的最大值为
D．以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切
解析：选AD 由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝2，所以A正确；依题意知a＝，b＝1，c＝1，所以e＝＝＝，所以B错误；|F1F2|＝2c＝2，当P为椭圆短轴顶点时，△PF1F2的面积取得最大值，为·2c·b＝1，所以C错误；以线段F1F2为直径的圆的圆心为(0,0)，半径为c＝1，圆心到直线x＋y－＝0的距离为＝1，所以以线段F1F2为直径的圆与直线x＋y－＝0相切，所以D正确．故选A、D．
7．设F1，F2为椭圆C：＋＝1的两个焦点，M为C上一点且在第一象限．若△MF1F2为等腰三角形，则M的坐标为________．
解析：设F1为椭圆的左焦点，分析可知点M在以F1为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆(x＋4)2＋y2＝64上．因为点M在椭圆＋＝1上，所以联立方程可得解得又因为点M在第一象限，所以点M的坐标为(3, )．
答案：(3，)
8．已知F1，F2是椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是________．
解析：若存在点P满足条件，则圆x2＋y2＝c2与椭圆有公共点，则∠F1BF2≥90°(B为短轴端点)，即b≤c＜a，即b2≤c2，∴a2－c2≤c2，∴a2≤2c2，∴≤e＜1．答案：
9．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为， 且过P(－5,4)，则椭圆的方程为________________．
解析：∵e＝＝，∴＝＝，∴5a2－5b2＝a2即4a2＝5b2．
设椭圆的标准方程为＋＝1(a>0)，
∵椭圆过点P(－5,4)，∴＋＝1．解得a2＝45．∴椭圆方程为＋＝1．
答案：＋＝1
10．已知椭圆＋＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P在该椭圆上，若|PF1|－|PF2|＝2，则△PF1F2的面积是________．
解析：由椭圆的方程可知a＝2，c＝，且|PF1|＋|PF2|＝2a＝4，又|PF1|－|PF2|＝2，所以|PF1|＝3，|PF2|＝1.又|F1F2|＝2c＝2，所以有|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，即△PF1F2为直角三角形，所以S△PF1F2＝|F1F2|·|PF2|＝×2×1＝
11．设F1，F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞1)的左、右焦点，P(1,1)为C内一点，Q为C上任意一点．现有四个结论：
①C的焦距为2；
②C的长轴长可能为；
③|QF2|的最大值为a＋1；
④若|PQ|＋|QF1|的最小值为3，则a＝2．
其中所有正确结论的编号是________．
解析：对于①：因为c2＝a2－(a2－1)＝1，所以椭圆C的焦距为2c＝2，故①正确；对于②：若椭圆C的长轴长为，则a2＝，所以椭圆C的方程为＋＝1，则＋＞1，从而点P在C的外部，这与P在C内矛盾，所以②不正确；对于③：因为c＝1，Q为C上任意一点，由椭圆的几何性质可知，|QF2|的最大值为a＋c＝a＋1，故③正确；对于④：由椭圆定义可知，|PQ|＋|QF1|＝|PQ|－|QF2|＋2a，因为||PQ|－|QF2||≤|PF2|＝1，所以|PQ|－|QF2|≥－1，所以|PQ|－|QF2|＋2a≥2a－1＝3，此时a＝2，故④正确．
答案：①③④
12．如图所示，已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，A为椭圆的上顶点，直线AF2交椭圆于另一点B．
(1)若∠F1AB＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且＝2，求椭圆的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，则△AOF2为等腰直角三角形，所以有|OA|＝|OF2|，即b＝c．所以a＝c，e＝＝．
(2)由题意知A(0，b)，F2(1,0)，设B(x，y)，由＝2，得解得x＝，y＝－．代入＋＝1，得＋＝1．即＋＝1，解得a2＝3．所以b2＝a2－c2＝3－1＝2，所以椭圆方程为＋＝1．