13.3.3 等边三角形的性质与判定 精品课件(共34张PPT)

(共34张PPT)
八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
13.3.3等边三角形的性质与判定
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1.知道等边三角形的定义，等边三角形与等腰三角形的关系.
2.掌握等边三角形的性质和判定方法. （重点）
3.熟练地运用等边三角形的性质和判定方法解决问题. （难点）
有两边相等的三角形是等腰三角形
1.两腰相等
2.等边对等角
3.三线合一
4.轴对称图形
1.两边相等
2.等角对等边
小明想制作一个三角形的相框，他有四根木条长度分别为10cm，10cm，10cm，6cm，你能帮他设计出几种形状的三角形？
等边三角形
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底边与腰相等，这时，三角形三边相等. 我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形(正三角形).
把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
1.等边三角形的三个内角都相等吗？为什么？
已知：如图，AB=AC=BC.
∵ AB=AC
∴ ∠B=∠C
同理 ∠A=∠C
∴ ∠A=∠B=∠C
∵ ∠A+∠B+∠C=180°
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
2.等边三角形是轴对称图形吗？若是，它有几条对称轴？
性质：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
3.等边三角形每边上的中线，高和所对角的平分线都三线合一吗？为什么？
性质：等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.
等边三角形的性质：
1.等边三角形的三边相等.
2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°.
3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
1.三个角都相等的三角形是等边三角形吗？为什么？
已知：如图，∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A=∠B
∴ AC=BC
同理 AB=AC
∴ AB=AC=BC
即△ABC是等边三角形
判定方法：三个角都相等的三角形是等边三角形.
2.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形. 你能证明这个结论吗？
假若AB=AC，则∠B=∠C
当顶角∠A=60°时，
∠B=∠C=(180°-60°)÷2=60°
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
∴ △ABC是等边三角形.
当底角∠B=60°时，∠C=60°
∠A=180°-∠B-∠C=60°
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
∴ △ABC是等边三角形.
判定方法：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
等边三角形的判定方法：
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
例1.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.
求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠A=∠B=∠C
∵ DE∥BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴ ∠A=∠ADE=∠AED
∴ △ADE是等边三角形
例1.如图，△ABC是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.
求证：△ADE是等边三角形.
证明：∵ △ABC是等边三角形
∴ ∠A=∠B=∠C=60°
∵ DE∥BC
∴ ∠ADE=∠B，∠AED=∠C
∴ ∠ADE=∠AED
∴ AD=AE，且∠A=60°
∴ △ADE是等边三角形
例2.如图，△ABC是等边三角形，E是AC上一点，D是BC延长线上一点，连接BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
【点睛】等边三角形是特殊的三角形，它的三个内角都是60°，这个性质常应用在求三角形角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质.
如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，延长BC到E，使得CE=CD．
求证：BD=DE．
证明：∵△ABC是等边三角形，BD是角平分线，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角对等边）．
例3.△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
【点睛】此题属于等边三角形与全等三角形的综合运用，一般是利用等边三角形的性质判定三角形全等，而后利用全等及等边三角形的性质，求角度或证明边相等.
例4.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°
∴△APQ是等边三角形．
【点睛】判定一个三角形是等边三角形有以下方法：一是证明三角形三条边相等；二是证明三角形三个内角相等；三是先证明三角形是等腰三角形，再证明有一个内角等于60°.
如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
例5.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF. ∴△CEF是等边三角形．
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
1.如图，△ABC是等边三角形，点D在AC边上，∠DBC=35°，则∠ADB的度数为( )
A.25° B.60° C.85° D.95°
2.如图，△ABC为等边三角形，AD⊥BC，AE=AD则∠ADE的度数为( )
A.30° B.60° C.45 D.75°
D
D
3.下列推理中，错误的是( )
A.因为∠A=∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形
B.因为AB=AC且∠B=∠C，所以△ABC是等边三角形
C.因为∠A=60°，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形
D.因为AB=AC，∠B=60°，所以△ABC是等边三角形
B
4.已知AD是等边△ABC的高，且BD=1cm,那么BC的长是_____cm.
5.若等边△ABC的两条角平分线BD与CE交于点O，则∠BOC的度数为_____.
6.如图，△ABC是周长为6的等边三角形,BD为中线，且BD=a,E为BC延长线上一点，CE=CD，则△BDE的周长为________.
2
120°
2a+3
7.如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′ ，EB′分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为______.
80°
8.如图，△ABC和△BDE都是等边三角形，且点E在BC上.求证:AE=CD.
证明:△ABC和△BDE都是等边三角形.
∴AB=BC，BE=BD
∠ABC=∠EBD=60°
在△ABE与△CBD中,
∴△ABE≌△CBD(SAS)
∴AE=CD
9.如图，△ABC是等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OM∥AB，ON∥AC.求证:BM=MN=CN.
证明:∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°
又∵OB平分∠ABC
∴∠1=∠2=30°
又∵OM//AB
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3=30°
∴BM=OM,∠OMN=60°
同理CN=ON,∠ONM=60°
∴∠OMN=∠ONM=∠MON=60°
∴OM=ON=MN ∴BM=MN=CN
谢谢
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