13.3.4 含30°角的直角三角形的性质 精品课件(共33张PPT)
文档属性
| 名称 | 13.3.4 含30°角的直角三角形的性质 精品课件(共33张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.2MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-27 17:45:28 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
13.3.4 含30°角的直角三角形的性质
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点）
2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）
用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由.
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？
△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD，∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD，可得BC=CD=AB.
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 求证：BC=AB.
证法①倍长法
证明：延长BC到D，使BD=AB，连接AD.
∵ ∠ACB=90°，∠BAC=30°
∴ ∠B=60°
∴ △ABD是等边三角形
∵ AC⊥BD
∴ BC=BD
∴ BC=AB
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 求证：BC=AB.
证法②截半法
证明：在BA上截取BD=BC，连接DC.
∵ ∠B=90°-∠A=60°，BD=BC
∴ △BCD是等边三角形
∴ ∠BDC=60°，BD=DC=BC
∴ ∠DCA=∠BDC-∠A=30°=∠A
∴ AD=DC=BD=BC
∴ AB=AD+BD=2BC
∴ BC=AB
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
例1.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°. 立柱BC、DE要多长.
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
∴ BC=AB，DE=AD
∴ BC=×7.4=3.7(m)
又∵ AD=AB
∴ DE=AD=×3.7=1.85(m)
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，
∴AE＝AC＝×62＝31（cm），
同理可得，BF＝31cm，
又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，
∴31+12+31＝74（cm），
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为74cm．
例2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证:BF=2CF.
证明:连接AF.
∵EF是AC的垂直平分线
∴AF=CF
∴∠C=∠FAC
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=∠FAC=30°
∴∠BAF=120°-30°=90°
∴BF=2AF
∴BF=2CF
如图，点D在线段BC上，连接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的长．
解：过B作BM⊥AD，交AD的延长线于点M，如图，
∵BM⊥AD，CA⊥AD，
∴∠DAC=∠DMB=90°，
∵BD=DC，∠BDM=∠CDA，
∴△BDM≌△CDA，
∴AC=BM，
∵在Rt△ABM中，∠1=30°，AB=4，
∴BM=AB=2，
∴AC=2，
例3.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2，求AF的长;(2)当AD取何值时，DE=EF
解:(1)△ABC为等边三角形
∴AB=AC=BC=8，∠B=∠C=60°
∵AD=2 ∴BD=AB-AD=6
在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=30°
∴BE=BD=3
∴CE=BC-BE=5
在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=30°
∴CF=CE=
∴AF=AC-FC=
解:(2)在△BDE和△CEF中，
∴△BDE≌△CEF(AAS)
∴BE=CF
∵∠CEF=30°∴BE=CF=EC
∴BE=BC= ∴BD=2BE=
例3.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2，求AF的长;(2)当AD取何值时，DE=EF
∴AD=AB-BD=8-=
∴当AD=时，DE=EF
如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD=AC，CD、BE交于点M.(1)求∠DMB的度数;
(1)解:∵∠ACB=90°，∠A=30°
∴∠ABC=60°
∴BE是∠ABC的平分线
∴∠ABE=∠CBE=30°
∵∠A=30°，AC=AD
∴∠ACD=∠ADC=75°
∴∠DMB=∠ADC-∠ABE=45°
(2)证明:∵∠ACB=90°，∠A=30°
∴AB=2BC
∵CH⊥BE，∠CBE=30°
∴BC=2CH ∴AB=4CH
∵∠CMH=∠DMB=45°
∴∠CMH=∠MCH=45°
∴CH=MH
∴AB=4MH
如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD=AC，CD、BE交于点M.
(2)若CH⊥BE于点H，求证:AB=4MH.
例4.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(1)求证：BE＝AD；
(2)求∠BMN的度数；
(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝ cm．
例4.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(1)求证：BE＝AD；
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝．
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
例4.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(2)求∠BMN的度数；
（2）解：由（1）得：△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠BAD+∠CAD＝，
∴∠BAD+∠ABE＝．
∴∠BMN＝∠ABE+∠BAD＝；
例4.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝ cm．
（3）解：∵△ABE≌△CAD，
∴BE＝AD，
∵BN⊥AD，
∴∠BNM＝，
∴∠MBN＝﹣∠BMN＝，
∵MN＝3cm，ME＝1cm，
∴BM＝2MN＝6（cm），
∴AD＝BE＝BM+ME＝6+1＝7（cm）．
1.如图(1)，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
D
2.如图(2)，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A.3m B.4m C.5m D.6m
B
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，垂足为D,交BC于E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是( )
A.∠B=∠CAE B.∠DEA=∠CEA C.AB=2AC D.AC=2EC
D
4.已知一个三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边为5cm,则最长边为
_____cm.
5.如图，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若AD=3cm，则AB=____cm，BE=_____cm.
10
6
4.5
6.如图(3)，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过点M作ME∥BA交AC于点E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=_____cm.
7.将一副三角尺按如图(4)所示方式叠放在一起,若AB=16cm，则阴影部分的面积是_____cm2.
5
32
8.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
解：如图，∵ ∠C=90°
∴ ∠A+∠B=90°
又∵ ∠B=2∠A
∴ 3∠A=90°
∴ ∠A=30°，∠B=60°
∴ BC=AB或AB=2BC
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长.
解:在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=60°
∴∠B=30°
∵AM平分∠BAC
∴∠CAM=∠BAM=30°
∴∠B=∠BAM
∴AM=BM=15cm
在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°
∴CM=AM=7.5cm
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，
∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，
∴△AED≌△BED(ASA)，
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
谢谢
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13.3.4 含30°角的直角三角形的性质
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1．探索含30°角的直角三角形的性质．（重点）
2．会运用含30°角的直角三角形的性质进行有关的证明和计算．（难点）
用两个含30°角的三角尺，你能拼成一个怎样的三角形？能拼成一个等边三角形吗？说说你的理由.
由此你能想到，在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边有怎样的大小关系？能证明你的结论吗？
△ADC是△ABC的轴对称图形，因此AB=AD，∠BAD=2×30°=60°，从而△ABD是一个等边三角形.再由AC⊥BD，可得BC=CD=AB.
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 求证：BC=AB.
证法①倍长法
证明：延长BC到D，使BD=AB，连接AD.
∵ ∠ACB=90°，∠BAC=30°
∴ ∠B=60°
∴ △ABD是等边三角形
∵ AC⊥BD
∴ BC=BD
∴ BC=AB
猜想：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°. 求证：BC=AB.
证法②截半法
证明：在BA上截取BD=BC，连接DC.
∵ ∠B=90°-∠A=60°，BD=BC
∴ △BCD是等边三角形
∴ ∠BDC=60°，BD=DC=BC
∴ ∠DCA=∠BDC-∠A=30°=∠A
∴ AD=DC=BD=BC
∴ AB=AD+BD=2BC
∴ BC=AB
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
例1.如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4m，∠A=30°. 立柱BC、DE要多长.
解：∵ DE⊥AC，BC⊥AC，∠A=30°
∴ BC=AB，DE=AD
∴ BC=×7.4=3.7(m)
又∵ AD=AB
∴ DE=AD=×3.7=1.85(m)
答：立柱BC的长是3.7m，DE的长是1.85m.
如图1所示的是某超市人口的双翼闸门，当它的双翼展开时，如图2，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，双翼的边缘AC＝BD＝62cm，且与闸机侧立面夹角∠ACP＝∠BDQ＝30°．求当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度．
解：如图，过点A作AE⊥CP于点E，过点B作BF⊥DQ于点F，
在Rt△ACE中，∠ACE＝30°，
∴AE＝AC＝×62＝31（cm），
同理可得，BF＝31cm，
又∵双翼边缘的端点A与B之间的距离为12cm，
∴31+12+31＝74（cm），
∴当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为74cm．
例2.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证:BF=2CF.
证明:连接AF.
∵EF是AC的垂直平分线
∴AF=CF
∴∠C=∠FAC
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=∠FAC=30°
∴∠BAF=120°-30°=90°
∴BF=2AF
∴BF=2CF
如图，点D在线段BC上，连接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的长．
解：过B作BM⊥AD，交AD的延长线于点M，如图，
∵BM⊥AD，CA⊥AD，
∴∠DAC=∠DMB=90°，
∵BD=DC，∠BDM=∠CDA，
∴△BDM≌△CDA，
∴AC=BM，
∵在Rt△ABM中，∠1=30°，AB=4，
∴BM=AB=2，
∴AC=2，
例3.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2，求AF的长;(2)当AD取何值时，DE=EF
解:(1)△ABC为等边三角形
∴AB=AC=BC=8，∠B=∠C=60°
∵AD=2 ∴BD=AB-AD=6
在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=30°
∴BE=BD=3
∴CE=BC-BE=5
在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=30°
∴CF=CE=
∴AF=AC-FC=
解:(2)在△BDE和△CEF中，
∴△BDE≌△CEF(AAS)
∴BE=CF
∵∠CEF=30°∴BE=CF=EC
∴BE=BC= ∴BD=2BE=
例3.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2，求AF的长;(2)当AD取何值时，DE=EF
∴AD=AB-BD=8-=
∴当AD=时，DE=EF
如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD=AC，CD、BE交于点M.(1)求∠DMB的度数;
(1)解:∵∠ACB=90°，∠A=30°
∴∠ABC=60°
∴BE是∠ABC的平分线
∴∠ABE=∠CBE=30°
∵∠A=30°，AC=AD
∴∠ACD=∠ADC=75°
∴∠DMB=∠ADC-∠ABE=45°
(2)证明:∵∠ACB=90°，∠A=30°
∴AB=2BC
∵CH⊥BE，∠CBE=30°
∴BC=2CH ∴AB=4CH
∵∠CMH=∠DMB=45°
∴∠CMH=∠MCH=45°
∴CH=MH
∴AB=4MH
如图，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=30°，∠ABC的平分线BE交AC于点E．点D为AB上一点，且AD=AC，CD、BE交于点M.
(2)若CH⊥BE于点H，求证:AB=4MH.
例4.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(1)求证：BE＝AD；
(2)求∠BMN的度数；
(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝ cm．
例4.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(1)求证：BE＝AD；
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝．
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
例4.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(2)求∠BMN的度数；
（2）解：由（1）得：△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠BAD+∠CAD＝，
∴∠BAD+∠ABE＝．
∴∠BMN＝∠ABE+∠BAD＝；
例4.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝ cm．
（3）解：∵△ABE≌△CAD，
∴BE＝AD，
∵BN⊥AD，
∴∠BNM＝，
∴∠MBN＝﹣∠BMN＝，
∵MN＝3cm，ME＝1cm，
∴BM＝2MN＝6（cm），
∴AD＝BE＝BM+ME＝6+1＝7（cm）．
1.如图(1)，△ABC中，∠C=90°，AC=3，∠B=30°，点P是BC边上的动点，则AP长不可能是( )
A.3.5 B.4.2 C.5.8 D.7
D
2.如图(2)，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB，CD分别表示一楼，二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是( )
A.3m B.4m C.5m D.6m
B
3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，DE垂直平分AB，垂足为D,交BC于E，AE平分∠BAC，那么下列关系式中不成立的是( )
A.∠B=∠CAE B.∠DEA=∠CEA C.AB=2AC D.AC=2EC
D
4.已知一个三角形的三个内角的比是1:2:3，最短边为5cm,则最长边为
_____cm.
5.如图，AB=AC，∠BAC=120°，D是BC的中点，DE⊥AB于E，若AD=3cm，则AB=____cm，BE=_____cm.
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4.5
6.如图(3)，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过点M作ME∥BA交AC于点E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=_____cm.
7.将一副三角尺按如图(4)所示方式叠放在一起,若AB=16cm，则阴影部分的面积是_____cm2.
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8.Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=2∠A，∠B和∠A各是多少度？边AB与BC之间有什么关系？
解：如图，∵ ∠C=90°
∴ ∠A+∠B=90°
又∵ ∠B=2∠A
∴ 3∠A=90°
∴ ∠A=30°，∠B=60°
∴ BC=AB或AB=2BC
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长.
解:在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=60°
∴∠B=30°
∵AM平分∠BAC
∴∠CAM=∠BAM=30°
∴∠B=∠BAM
∴AM=BM=15cm
在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°
∴CM=AM=7.5cm
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分线，过点D作DE⊥AB.DE恰好是∠ADB的平分线．CD与DB有怎样的数量关系？请说明理由．
解：
理由如下：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分线，
∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，
∴△AED≌△BED(ASA)，
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
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