第13章 轴对称 章节复习 精品课件（73张ppt）

八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
13.5 轴对称章节复习
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1.总结本章所学的轴对称、轴对称变换、等腰三角形的性质和判定等知识；2.培养学生用轴对称的观点认识线段的垂直平分线、角的平分线、等腰三角形等几何图形；
3.归纳总结本章学习过程中用到的数学思想方法，培养分析问题的能力.
如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴.这时，我们也说这个图形关于这条直线(成轴)对称.
一、轴对称相关定义和性质
像这样，把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这条直线(成轴)对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.
A
A’
一、轴对称相关定义和性质
图形轴对称的性质:
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.
类似地，轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 如下图中，l垂直平分AA′，l垂直平分BB′.
一、轴对称相关定义和性质
垂直平分线的定义
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线.
l⊥AB，垂足为O，且AO=BO，则l是线段AB的垂直平分线.
二、垂直平分线的定义、性质、判定
线段的垂直平分线的性质：
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
几何符号语言：
∵ PC⊥AB，PC平分AB
∴ PA=PB
二、垂直平分线的定义、性质、判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.
线段的垂直平分线的判定：
几何符号语言：
∵ PA=PB
∴ 点P在AB的垂直平分线上
二、垂直平分线的定义、性质、判定
在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标_____，纵坐标___________；关于 y 轴对称的点横坐标___________，纵坐标_____.
点( x ，y )关于 x 轴对称的点的坐标为(___，___)
点( x ，y )关于 y 轴对称的点的坐标为(___，___)
相等
互为相反数
互为相反数
相等
x -y
-x y
三、用坐标表示轴对称
性质1:等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”)
性质2:等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(简写成“三线合一”)
四、等腰三角形的性质及判定
等腰三角形判定定理：
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等
(简写成“等角对等边”).
四、等腰三角形的性质及判定
等边三角形的性质：
1.等边三角形的三边相等.
2.等边三角形的三个内角都相等，并每一个角都等于60°.
3.等边三角形的三条高线，三条中线，三条角平分线，分别互相重合.
4.等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴.
五、等边三角形的性质及判定
等边三角形的判定方法：
1.三边相等的三角形是等边三角形.
2.三个角都相等的三角形是等边三角形.
3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
五、等边三角形的性质及判定
含30°角的直角三角形的性质：
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.
六、含30°角的直角三角形的性质
在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决的问题，从而作出最短路径的选择.
七、最短路径问题
轴对称及轴对称图形
1
例1.在下列各电视台的台标图案中(不考虑颜色)，是轴对称图形的是( )
B
例2.将一张正方形纸片按如图①，图②所示的方向对折，然后沿图③中的虚线剪裁得到图④，将图④的纸片展开铺平，再得到的图案是(　　)
图①
图②
图③
图④
A
B
C
D
B
例3.如图，把一张长方形纸片????????????????（????????//????????）沿????????折叠后，点????，????分别落在点????′，????′的位置上，????????′交????????于点????，若∠????????????=60°，求∠1与∠2的度数
?
解：∵????????//????????，
∴∠????????????=∠????????????=60°，
又∠????????????=∠????′????????，
∴∠1=180°?2∠????????????=180°?2×60°=60°．
∵????????//????????，
∴∠2=180°?∠1=180°?60°=120°．
?
【1-1】“羊”字象征着美好和吉祥，下图都与“羊”字有关，其中是轴对称图形的个数是( )

A.1 B.2 C.3 D.4
B
【1-2】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，将其折叠，使点A落在边CB上A'处,折痕为CD，则∠A'DB的度数为______.
10°
【1-3】将长方形ABCD沿AE折叠，得如图所示的图形，已知∠????????????′=72°，则∠????????????为（? ???）
A．36° B．54° C．62° D．72°
?
B
关于坐标轴对称的点的坐标
2
例4.已知点A(2a－b，5＋a)，B(2b－1，－a＋b)．
(1)若点A、B关于x轴对称，求a、b的值；
(2)若A、B关于y轴对称，求(4a＋b)2016的值．
解：(1)∵点A、B关于x轴对称，
∴2a－b＝2b－1，5＋a－a＋b＝0，
解得a＝－8，b＝－5；
(2)∵A、B关于y轴对称，
∴2a－b＋2b－1＝0，5＋a＝－a＋b，
解得a＝－1，b＝3，
∴(4a＋b)2016＝1.
解决此类题可根据关于x轴、y轴对称的点的特征列方程(组)求解．
例5.如图，在直角坐标系中，A(0， 5)，B(-2,0)，C(-3，3).
(1)在直角坐标系中作出△ABC关于x轴对称的△A'B'C',并相应写出△A'B'C'三个顶点的坐标;
(2)将△A'B'C'沿x轴方向向右平移3个单位后得
到△A"B"C",并相应写出△A"B"C"三个顶点的
坐标.
解:(1)如图，△A'B'C'为所求，
A'(O,-5), B'(-2,0)，C'(-3，-3);
(2)如图，△A"B"C"为所求,
A"(3,-5)，B"(1,0)，C"(0,-3).
【2-1】已知点P (3, -1)关于y轴的对称点Q的坐标是(a+b, 1-b)，则ab的值为_____.
25
【2-2】如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环反复的轴对称变换，若原来点A坐标是(a, b)，则经过第2022次变换后所得的A点坐标是
__________.
(-a,-b)
【2-3】平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0,4），B（2,4），C（3，－1）.
（1）试在平面直角坐标系中，标出A、B、C三点；
（2）若△ABC与△A'B'C'关于x轴对称，画出△A'B'C'，并写出A'、B'、C'的坐标.
x
y
O
x
y
O
A (0,4)
B (2,4)
C (3,-1)
A' (0,-4)
B' (2,-4)
C' (3,1)
解：如图所示：
例6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
证明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ECF.
∵E是CD的中点，
∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE≌△FCE，
∴FC＝AD.
线段垂直平分线的性质和判定
3
例6.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.
求证：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，
∴BE是线段AF的垂直平分线，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
例7.如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．
(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；
(2)探究AB，AC，AE之间的数量关系并给出证明
?
证明：连接CD，BD，如图所示：
∵????????为????????的垂直平分线，
∴????????=????????，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
?
∴DE=DF，
在Rt△AFD和Rt△AED中，
∴Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，
∴∠FAD=∠EAD，
∴AD为∠CAB的角平分线；
?
例7.如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．
(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；
(2)探究AB，AC，AE之间的数量关系并给出证明
?
解：AB+AC=2AE，理由如下：
∵Rt△AFD≌Rt△AED(HL)，
∴AE=AF，
又∵BE=CF，
∴AB?AE=AF?AC，
即AB+AC=AE+AF=2AE，
∴AB+AC=2AE．
?
例7.如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．
(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；
(2)探究AB，AC，AE之间的数量关系并给出证明
?
【3-1】如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（? ???）
A．5 B．10 C．12 D．13
C
【3-2】如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠C＝7∠BAE，则∠C的度数为（　 ）
A．41° B．42° C．43° D．44°
B
【3-3】如图，∠????????????的角平分线????????与线段????????的垂直平分线????????交于点????，过点????作????????⊥????????，????????⊥????????，垂足交????????的延长线于点????，交????????于点????，若????????=10????????，????????=12????????，则△????????????的周长为（?? ??）????????．
A．32 B．34 C．22 D．16
?
A
例8.如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE,求∠A的度数.
解:设∠A=x,
∵AD=DE=BE
∴∠DEA=∠A=x，∠EBD=∠EDB
∵∠DEA=∠EBD+∠EDB ∴∠EBD=∠EDB=0.5x
∴∠BDC=∠A+∠ABD=x+0.5x=1.5x
∵BC=BD，AB=AC ∴∠BDC=∠BCD=∠ABC=1.5x
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°
即x+1.5x+1.5x=180°解得x=45°，即∠A=45°
等腰三角形的性质和判定
4
例9.如图，在△????????????中，????????=????????，点????、????在????????上，延长????????至????使????????=????????，连接????????；延长????????至????使????????=????????，连接????????，当∠????=∠????时，猜想线段????????与线段????????的数量关系？并说明理由．
?
解：????????=????????．
理由：∵????????=????????，????????=????????，????????=????????，
∴????????=????????，
∴????????+????????=????????+????????，
∴????????=????????，
∵????????=????????，
∴∠????=∠????，
又∵∠????=∠????，
∴△????????????≌△????????????（????????????），
∴????????=????????，
∴?????????????????=?????????????????，
∴????????=????????．
?
例10.如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F,DF=EF，BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.
证明:如图，过点D作DG//AE交BC于点G.
∴∠GDF=∠CEF
在△GDF和△CEF中，
∴△GDF≌△CEF(ASA)
∴GD=CE
又∵BD=CE
例10.如图，点E在△ABC的AC边的延长线上，点D在AB边上，DE交BC于点F,DF=EF，BD=CE.求证:△ABC是等腰三角形.
∴BD=DG
∴∠DBG=∠DGB
∵DG//AC
∴∠DGB=∠ACB
∴∠ABC=∠ACB
∴AB=AC，即△ABC是等腰三角形
【4-1】等腰三角形的一个角等于20°,则另外两个内角分别为( )
A.20°、140° B.20°、140°或80°、80°
C.80°、80° D.20°、80°
B
【4-2】如图(4)，是一钢架，∠AOB=10°,为使钢架更加坚固，需在内部添加一些钢管EF、FM、MH……添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_____根.
8
【4-3】如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且D是BC的中点，DE⊥AB,
DF⊥AC，垂足分别是E、F.求证:△ABC是等腰三角形.
证明:AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴DE=DF
∵D是BC的中点
∴BD=CD
在Rt△BDE和Rt△CDF中
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
∴∠B=∠C
∴AB=AC 即△ABC是等腰三角形.
【4-4】如图，在△????????????中，∠????????????=90°，????????=????????，点????为????????边的中点，过点????作????????⊥????????交????????的延长线于点????，????????平分∠????????????交????????于点????，交????????于点????，点????为边????????上一点，连接????????，∠????????????=∠????????????．
(1)若∠????????????=18°，则∠????????????的度数为______；
(2)若点????是????????的中点，判断????????与????????的数量关系，并说明理由．
?
（1）解：∵∠ACB=90°，AC= BC，CG平分∠ACB，
∴∠CAF=∠CBA=45°，∠BCG=∠ACG=45°，
∴∠BCG =∠CAF=45°，
∵∠????????????=18°，
∴∠ACF=∠ACM-∠FCM=45°-18°=27°，
∴∠CBG=∠ACF=27°，
∴∠BGC=180°-∠BCG-∠CBG=180°- 45°- 27°= 108°，
?
（2）解：CF=2DE，
理由：连接AG，
∵∠CBG=∠ACF，AC=BC，∠BCG =∠CAF，
∴△BCG≌△CAF(ASA)，
∴BG=CF，
∵CG平分∠ACB，AC=BC，
∴CM⊥AB，
∵AD⊥AB，
∴AD∥CG，
∴∠D=∠EGC，
∵∠AED=∠CEG，∠D=∠EGC，AE=CE，
?
∴△ADE≌△CGE(AAS)，
∴DE=GE，即DG=2DE，
又∵点G是BD的中点，
∴DG=BG，
∴CF=2DE．
【4-4】如图，在△????????????中，∠????????????=90°，????????=????????，点????为????????边的中点，过点????作????????⊥????????交????????的延长线于点????，????????平分∠????????????交????????于点????，交????????于点????，点????为边????????上一点，连接????????，∠????????????=∠????????????．
(2)若点????是????????的中点，判断????????与????????的数量关系，并说明理由．
?
例11.△ABC为正三角形，点M是BC边上任意一点，点N是CA边上任意一点，且BM＝CN，BN与AM相交于Q点，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC为正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
等边三角形的性质和判定
5
例12.等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试证明你的结论．
解：△APQ为等边三角形．
证明如下：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°
∴△APQ是等边三角形．
例13.图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形 (1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF. ∴△CEF是等边三角形．
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
【5-1】如图，等边三角形ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，把△BDE沿直线DE翻折，使点B落在点B′处，DB′ ，EB′分别交AC于点F，G，若∠ADF=80°，则∠EGC的度数为______.
80°
【5-2】如图，等边△ABC中，D、E、F分别是各边上的一点，且AD=BE=CF．
求证：△DEF是等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等边三角形．
【5-3】如图，△ABC是等边三角形，∠ABC、∠ACB的平分线交于点O，OM∥AB，ON∥AC.求证:BM=MN=CN.
证明:∵△ABC是等边三角形
∴∠ABC=60°
又∵OB平分∠ABC
∴∠1=∠2=30°
又∵OM//AB
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3=30°
∴BM=OM,∠OMN=60°
同理CN=ON,∠ONM=60°
∴∠OMN=∠ONM=∠MON=60°
∴OM=ON=MN ∴BM=MN=CN
例14.如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分线EF交AC于点E，交BC于点F．求证:BF=2CF.
证明:连接AF.
∵EF是AC的垂直平分线
∴AF=CF
∴∠C=∠FAC
∵AB=AC，∠BAC=120°
∴∠B=∠C=∠FAC=30°
∴∠BAF=120°-30°=90°
∴BF=2AF ∴BF=2CF
含30°角的直角三角形的性质
6
例15.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2，求AF的长;(2)当AD取何值时，DE=EF?
解:(1)△ABC为等边三角形
∴AB=AC=BC=8，∠B=∠C=60°
∵AD=2 ∴BD=AB-AD=6
在Rt△BDE中，∠BDE=90°-∠B=30°
∴BE=12BD=3
∴CE=BC-BE=5
在Rt△CFE中，∠CEF=90°-∠C=30°
∴CF=12CE=52
∴AF=AC-FC=112
?
解:(2)在△BDE和△CEF中，
∴△BDE≌△CEF(AAS)
∴BE=CF
∵∠CEF=30°∴BE=CF=12EC
∴BE=13BC=83 ∴BD=2BE=163
?
例15.如图，等边△ABC的边长为8，D为AB边上一动点，过点D作DE⊥BC于点E，过点E作EF⊥AC于点F.(1)若AD=2，求AF的长;(2)当AD取何值时，DE=EF?
∴AD=AB-BD=8-163=83
∴当AD=83时，DE=EF
?
例16.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(1)求证：BE＝AD；
(2)求∠BMN的度数；
(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝　 　cm．
例16.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(1)求证：BE＝AD；
(1)证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝BC＝AC，∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE＝AD；
?
例16.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(2)求∠BMN的度数；
（2）解：由（1）得：△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD．
∵∠BAD+∠CAD＝60°，
∴∠BAD+∠ABE＝60°．
∴∠BMN＝∠ABE+∠BAD＝60°；
?
例16.已知，如图，△ABC为等边三角形，点E在AC边上，点D在BC边上，并且AE＝CD，AD和BE相交于点M，BN⊥AD于N．
(3)若MN＝3cm，ME＝1cm，则AD＝　 　cm．
（3）解：∵△ABE≌△CAD，
∴BE＝AD，
∵BN⊥AD，
∴∠BNM＝90°，
∴∠MBN＝90°﹣∠BMN＝30°，
∵MN＝3cm，ME＝1cm，
∴BM＝2MN＝6（cm），
∴AD＝BE＝BM+ME＝6+1＝7（cm）．
?
【6-1】如图(3)，∠BAC=30°，AM是∠BAC的平分线，过点M作ME∥BA交AC于点E，作MD⊥BA，垂足为D，ME=10cm，则MD=_____cm.
【6-2】将一副三角尺按如图(4)所示方式叠放在一起,若AB=16cm，则阴影部分的面积是_____cm2.
5
32
【6-3】如图，点D在线段BC上，连接AD，BD=CD，CA⊥AD，∠1=30°，AB=4，求AC的长．
解：过B作BM⊥AD，交AD的延长线于点M，如图，
∵BM⊥AD，CA⊥AD，
∴∠DAC=∠DMB=90°，
∵BD=DC，∠BDM=∠CDA，
∴△BDM≌△CDA，
∴AC=BM，
∵在Rt△ABM中，∠1=30°，AB=4，
∴BM=12AB=2，
∴AC=2，
?
【6-4】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠BAC=60°，∠BAC的平分线AM长为15cm，求BC的长.
解:在Rt△ABC中，∠C=90°， ∠BAC=60°
∴∠B=30°
∵AM平分∠BAC
∴∠CAM=∠BAM=30°
∴∠B=∠BAM
∴AM=BM=15cm
在Rt△ACM中，∠C=90°，∠CAM=30°
∴CM=12AM=7.5cm
∴BC=CM+BM=7.5+15=22.5(cm)
?
例17.如图，已知点D、点E分别是等边三角形ABC中BC、AB边的中点，AD=5,点F是AD边上的动点，则BF+EF的最小值为（　　）
A．7.5 B．5
C．4 D．不能确定
解析：△ABC为等边三角形，点D是BC边的中点，即点B与点C关于直线AD对称.∵点F在AD上，故BF=CF.即BF+EF的最小值可转化为求CF+EF的最小值，故连接CE即可，线段CE的长即为BF+EF的最小值.
B
最短路径问题
7
例18.如图，在直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A，B，C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时点C的坐标是（　　）
A．（0，3） B．（0，2）
C．（0，1） D．（0，0）
解析：作B点关于y轴对称点B′，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，然后依据点A与点B′的坐标可得到BE、AE的长，然后证明△B′C′O为等腰直角三角形即可．
B′
C′
E
A
例19.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
A
D
D ′
C
C′
E
E′
B
例19.如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
解：作AF⊥CD，且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF，与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由平移的性质可知，AD//FD′，AD=FD′.
同理，BE=GE′.
由两点之间线段最短可知，GF最小.
【7-1】如图，直线l是一条河，P、Q是两个村庄．欲在l上的某处修建一个水泵站,向P、Q两地供水，现有如下四种铺设方案,图中实线表示铺设的管道，则所需管道最短的是( )
D
【7-2】如图，在△ABC中，AB=AC，AD、CE是△ABC的两条中线，P是AD上一个动点,则下列线段的长度等于BP+EP最小值的是( )
A.BC B.CE C.AD D.AC
B
【7-3】如图，如果A，B两地之间有两条平行的河流，现要在河上分别建一座桥，且建的桥都是与河岸垂直的．桥建在何处才能使从A到B的路径最短?(保留作图痕迹,不写作法)
解:如图所示，点M、N、P、Q为所求,AMNPQB路径最短.
【7-4】如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.
解:如图，依题意,分别作点P关于ON、OM的对称点P1、P2,连接P1P2交ON于点B，交OM于点A，依次连接A、B、P，此时△PAB的周长为最小值.
【7-4】如图，已知∠MON=40°，P为∠MON内一定点，OM上有一点A，ON上有一点B，当△PAB的周长取最小值时，求∠APB的度数.
由四边形内角和360°可得:
∠P1PP2=360°-90°-90°-40°=140°
∵BP=BP1，AP=AP2.
∴∠P1=∠BPP1，∠P2=∠APP2
∵∠P1+∠P2=180°-140°=40°
∴∠BPP1+ ∠APP2=40°
∴∠APB=∠P1PP2-∠BPP1-∠APP2=100°
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