空间向量中的截面问题-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析）

空间向量中的截面问题
(2021·江西省·其他类型)如图，设正方体的棱长为，为的中点，为上的一个动点，设由点，，构成的平面为，则以上结论错误的是( )
A. 平面截正方体的截面可能是三角形
B. 当点与点重合时，平面截正方体的截面面积为
C. 点到平面的距离的最大值为
D. 当为的中点时，平面截正方体的截面为五边形
(2021·全国·单元测试)球与棱长为的正方体的各条棱都相切，点为棱的中点，则平面截球所得的截面圆与球心所构成的圆锥的体积为( )
A. B. C. D.
如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则以下四个结论正确的是( )
A.
B. 若为直线上的动点，则为定值
C. 点到平面的距离为
D. 过作该正方体外接球的截面，所得截面的面积的最小值为
(2021·湖北省襄阳市·月考试卷)在正方体中，，，分别为的中点，是上的动点，则( )
A. 平面
B. 平面截正方体的截面面积为
C. 三棱锥的体积与点的位置有关
D. 过作正方体的外接球的截面，所得截面圆的面积的最小值为
(2020·福建省泉州市·期末考试)如图，在下列三个棱长都为的正方体中，均为所在棱的中点，过作正方体的截面．在各正方体中，关于直线与平面的位置关系描述正确的是( )
A. 在中，平面
B. 在中，平面
C. 在中，与平面相交但不垂直
D. 在三个正方体中，点到面的距离最小的是
(2021·辽宁省·其他类型)已知在长方体中，底面是边长为的正方形，高为，则点到截面的距离是 ，截面与底面的夹角的余弦值为 ．
(2021·全国·单元测试)正方体的棱长为，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为 ，和该截面所成角的正弦值为 ．
(2020·浙江省舟山市·期末考试)正三棱柱的侧棱长和底面边长均为，则与侧面所成角的正弦值为 ；点为中点，则过，，三点的截面面积为 ．
(2021·湖南省长沙市·月考试卷)在长方体中，已知，，分别为，的中点，则平面被三棱锥外接球截得的截面圆面积为 ．
如图，正三棱柱的高为，底面边长为，是的中点，是线段上的动点，过作截面，使得且垂足为，则三棱锥体积的最小值为__________．
如图，在四棱锥中，底面为梯形，，三角形为等边三角形，侧面底面，且，为棱上的动点．
若，交于，证明：平面；
若为棱的中点，且过三点的平面被该四棱锥截得的截面的面积为，求的长，并求直线与该截面所成角的正弦值．
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题以命题的真假判断为载体考查了空间几何体的截面问题，点到直线的距离问题，涉及了等体积法的应用，等体积法是求解点到平面的距离的常用方法，属于较难题．
建立合适的空间直角坐标系，平面扩展为平面，即可判断选项A，，，然后计算点到直线的距离并用等体积法求解，结合函数的单调性，即可判断选项C．
【解答】
解：以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
延长与轴交于点，连接与轴交于点，
则平面由平面扩展为平面，
由此模型可知选项A错误，选项D正确，
对于选项B，当点与点重合时，截面是一个边长为的菱形，
该菱形的两条对角线长度分别为和，
则此时截面的面积为，
故选项B正确；
因为为的中点，易得，所以，，，
设点的坐标为，，
则，
点到直线的距离为，
所以的面积，
又，
设点到平面的距离为，
由等体积法，，
即，
解得，
则在上单调递增，
所以当时，取得最大值为，
故选项C正确．
故选A．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查正方体的棱切球，点到平面的距离的向量求法，圆锥的体积公式，属于拔高题．
先求出正方体棱切球的半径，球心到平面的距离，进而求得截面圆的半径，根据圆锥的体积公式，代入直接计算即可．
【解答】
解：由题意，球与棱长为的正方体的各条棱都相切，则球心在正方体的体对角线交点处，球的半径为，如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，则，得，令，则，，即，球心到平面的距离为，故截面圆的半径为，故圆锥的体积为故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题以正方体为载体考查直线与直线平行，以及建立空间直角坐标系利用向量法求点到平面的距离和该正方体的外接球有关的截面面积问题的求解，属于中档题．
结合题中条件针对各选项运用相关定理逐一展开证明求解即可得到结论．
【解答】
解：对于，连结，，
正方体，
且．
故四边形为平行四边形，
D.
又，分别为棱，的中点，
D.
故C.
选项A正确；
对于，以为原点，分别以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
，，
为直线上的动点，可设，
，
．
选项B正确；
对于，同上建立空间直角坐标系，可得，，，
，，，
设平面的一个法向量为，则满足，，
则有，取，解得，，，
所以点到平面的距离．
选项C错误；
对于，由题知正方体的外接球球心在正方体的几何中心处，求半径．
要使过的平面截该球得到截面面积最小，截面圆的圆心为，如图示，连结，．
易得．
．
故截面圆半径．
截面的面积的最小值为选项D正确．
故选ABD．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线面垂直的判定，棱锥的体积计算，棱柱与球的位置关，立体几何中的界面问题和空间向量法的应用，综合性较强．
建立空间坐标系，利用向量数量积判断和、是否垂直判断，做出截面梯形，计算面积判断，根据平面判断；设外接球的球心为，过作，垂足为，则为圆心，为半径的圆是过面积最小的截面圆，求出其面积判断．
【解答】
解：对于，以为坐标原点建立空间坐标系，如图所示：
，
则，，
，，
，，又，、平面，
平面，故A正确
对于，如图取是我中点为，连接，，则且，
可知 ，，，，，共面，
则等腰梯形即为截面，
由勾股定理可求得，，，
截面梯形的高为，
截面梯形的面积为，故B正确
对于，在正方体中，， 平面， 平面，
平面，是 上的动点，
到平面的距离为定值，
故三棱锥的体积与点位置无关，故C错误
对于，设外接球的球心为，过作，垂足为，
则为圆心，为半径的圆是过面积最小的截面圆，
则，设，，，
，解得，则
故截面圆的最小面积为 ，故D错误．
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了线面平行，面面平行，线面垂直，空间向量等，综合性较强，属于中档题．
利用平面与平面平行，可确定平面；
证得，，从而确定平面；
建立空间坐标系，利用，可得，，得平面进而得出正确选项．
【解答】
解：中利用，，
又与为平面内两相交直线，
与为平面内两相交直线，
可证得平面平面，
又平面，
从而确定平面；
中利用，，
B、为平面内两相交直线，
平面，
又平面，
则；
同理可得，，
、为平面内两相交直线，
可得平面；
设棱长为，以为原点，
以，，所在直线为，，轴建立空间坐标系，
则，，，，，
，，
，
，
，，
，
、平面，
平面，
所以，B正确，C错误．
在中，因为与不垂直，所以与平面不垂直，则在三个正方体中，点到面的距离最小的是
故选ABD．

6.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查点到平面的距离，考查二面角的求法，属于中档题．
建立空间直角坐标系，并确定相关坐标，代入公式即可得解．
【解答】
解：建立空间直角坐标系，如图所示：
可得，，，，
，
，，，
设平面的法向量为，
则，
，
取，则，，
即，
到截面的距离，
平面的一个法向量为，
，，
平面与底面的夹角的余弦值．
故答案为：．

7.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查空间几何体的截面问题，直线与平面所成角，属于拔高题．
根据题意分析出截面的形状，然后即可求出截面面积，建立相应的空间直角坐标系，然后分析计算即可求出直线和截面所成角的正弦值．
【解答】
解：如图，取的中点，的中点，的中点，连接，，，，，，，，，，平面平面，过且与平行的平面截正方体所得截面为四边形，，，四边形是矩形，过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为；以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量为，则取，得，设和平面所成角为，则，和该截面所成角的正弦值为．

8.【答案】

【解析】
【分析】
以为原点，在平面内过作的垂线为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出与侧面所成角的正弦值；取中点，连结，，则过，，三点的截面为梯形，由此能求出过，，三点的截面面积．
本题考查线面角的正弦值、截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
【解答】
解：以为原点，在平面内过作的垂线为轴，为轴，
为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设与侧面所成角为，
则与侧面所成角的正弦值为：
．
取中点，连结，，
点为中点，则过，，三点的截面为梯形，
过，，三点的截面面积为：
．
故答案为：，．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查三棱锥的处接球表面积及截面圆面积问题，属于较难题．
建立空间直角坐标系，利用向量坐标，可以证明，取为中点，有，因此点为三棱锥外接球的球心，则，球心到平面的距离为，勾股定理可得截面圆的半径为，即得解．
【解答】
解：以点为原点建立空间直角坐标系如图所示：
依题意得：，，，
则，，
所以，则；
设为中点，因为则，
所以点为三棱锥外接球的球心，则．
设球心到平面的距离为，又因为为中点，所以点到平面的距离为，
由于，所以，
故截面圆的半径为，
所以截面圆面积为．
故答案为：．

10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查棱锥的体积最值的求法和空间直角坐标系的应用，是中档题．
由，当最大时，最小，建立空间直角坐标系，即可求解．
【解答】
解：设中点为，以为坐标原点，分别以、
、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系；
、
得，设，则， ，
，
得，
则，
当时，，
又，
三棱锥体积的最小值为．
故答案为．

11.【答案】解：由题意得，，
又底面为梯形，，，
，，
又平面，平面，
平面；
如图，
取的中点，连接，，则且，
又由题意得，，所以，，
所以四边形为平行四边形，
即四边形为所截得的截面．
又侧面底面，侧面底面，，底面，
所以平面，又平面，所以，
所以四边形为矩形．
令，则，，则，
所以，，
取的中点，连接．
由题意得底面．
以为坐标原点，所在直线为轴，平行于的直线为轴，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
故，，
设平面的法向量为，则，即，
令，则平面的一个法向量为
设直线与截面所成的角为，则，．
所以直线与截面所成角的正弦值为．
【解析】本题主要考查了线面平行的判定，面面垂直的性质，利用空间向量求直线与平面所成的角，属于中档题．
由题意，得，由线面平行的判定可得结果．
取的中点，连接，，可得四边形为平行四边形，由面面垂直的性质可得四边形为矩形解得的值，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出平面的法向量，，代入夹角公式可得结果．
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