空间向量中的形状判断与内切问题-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析）

空间向量中的形状判断与内切问题
点为棱长是的正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为( )
A. B. C. D.
已知正方体的棱长为，球是正方体的内切球，是球的直径，点是正方体表面上的一个动点，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
已知正方体的棱长为，为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是( )
A. 若，则的中点的轨迹为圆；
B. 若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线；
C. 若与所成的角为，则的轨迹为双曲线；
D. 若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆．
“阿基米德多面体”也称为半正多面体，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美，如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有( )
A. 该半正多面体的体积为
B. 该半正多面体，过、、三点的截面面积为
C. 该半正多面体有外接球，且它的表面积为
D. 该半正多面体有内切球，且它的表面积为
点是棱长为的正四面体表面上的动点，该四面体的内切球的半径是 ；若是该正四面体外接球的一条直径，则的最小值是 ．
正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦，为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 ．
已知球是棱长为的正八面体八个面都是全等的等边三角形的内切球，为球的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是 ．
已知正方体的外接球体积为，点为正方体的内切球球面上的动点，点为的中点，若满足，则动点的轨迹的长度为 ．
如图，在中，，斜边，半圆的圆心在边上，且与相切，现将绕旋转一周得到一个几何体，点为圆锥底面圆周上一点，且．
求球的半径；
求点到平面的距离；
设是圆锥的侧面与球的交线上一点，求与平面所成角正弦值的范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了正方体的性质、内切球的性质、线面位置关系与距离、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
首先，求解其内切球的半径，然后可得点的轨迹为过， ， 的平面与内切球的交线，结合球面的性质求解点到平面 的距离，然后进一步分析确定其轨迹长度即可．
【解答】
解：根据题意，该正方体的内切球半径为，
由题意，取的中点 ，连接，则，
正方体，
为在平面中的射影，
点 的轨迹为过 ， ， 的平面与内切球的交线，
设 到平面 的距离为 ，
正方体的棱长为，
，
到平面 的距离为 ，
所以，
由，
所以，
由，
所以，
截面圆的半径为：，
点的轨迹周长为：
故选C

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了简单组合体及其结构特征，向量的数量积，向量的加法，减法，数乘运算的应用，属于中档题．
根据已知及简单组合体及其结构特征，可知，根据向量的数量积，向量的加法，减法，数乘运算，得
，则求出的取值范围．
【解答】
解：因为球是正方体的内切球，是球的直径，
所以，
因为，
又点是正方体表面上的一个动点，
所以当为正方体顶点图中点时，有最大值为，
当为内切球与正方体的切点图中点时，有最小值为，
所以．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量数量积的取值范围的求解问题，关键是能够通过向量的线性运算将问题转化为向量模长的取值范围的求解问题，属于拔高题．
利用向量的线性运算和数量积运算律可将所求数量积化为，根据正方体的特点可确定的最大值和最小值，代入即可得到所求范围．
【解答】
解：设正方体内切球的球心为，则，
，
为球的直径，，，
，
又在正方体表面上移动，
当为正方体顶点时，最大，最大值为；当为内切球与正方体的切点时，最小，最小值为，
，即的取值范围为．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查命题真假的判断，立体几何与解析几何的综合，抓住解析几何几种特殊曲线的定义是解题的关键，属于难题．
对于，设为的中点，连接，由直角三角形的性质可得，从而可得结论；对于，由正方体的性质可得是点到直线的距离，然后由抛物线的定义可得结论；对于，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，利用空间向量求解即可；对于，由条件可得，从而可得的轨迹是以为圆心，为半径的圆周
【解答】
解：对于，如图所示，设为的中点，连接，由正方体的性质可知为直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，可得，因为为的中点，为正方形所在平面内一动点，所以点轨迹为圆，所以A正确；
对于，由正方体的性质可知，平面，而平面，所以，即是点到直线的距离，在平面中，点到定点的距离与到定直线的距离相等，所以点的轨迹是以点为焦点，直线为准线的抛物线，所以B正确
对于，如图以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，设，则，，
，
化简整理得，即，
所以的轨迹为双曲线，所以C正确；
对于，由正方体的性质可知，与平面所成的角为，即，在直角中，，即的轨迹是以为圆心，为半径的圆周，所以D错误，
故选：．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了几何体的体积、球的表面积，几何体中的截面问题，属于中档题．
由该半正多面体是由正方体切掉个全等的三棱锥形成，可得其体积；由题意可知，所求截面为正六边形，可得其面积；由半正多面体的外接球刚好是正方体的棱切球，可得该球的表面积；求出平面与平面间的距离，和平面与平面间的距离进行比较，可知该半正多面体没有内切球．
【解答】
解：依题意，可将该多面体补成一个棱长为的正方体，如图：
其中，，，
因为该半正多面体是由正方体切掉个全等的三棱锥形成，
所以其体积，故A正确；
由题意可知，过，，三点的截面为正六边形，
故截面面积，故B错误；
该半正多面体的外接球刚好是正方体的棱切球，故球的半径为，
所以外接球的表面积，故C正确；
设点到平面的距离为，由，
得，解得，
则平面与平面间的距离为，
又平面与平面间的距离为，两者不相等，
所以该半正多面体没有内切球，故D错误．
故选AC．

6.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查空间向量数量积的计算，以及正四面体内切球和外接球半径的计算，属于中档题．
计算正四面体的体积，设内切球的半径为，利用计算出内切球的半径；设外接球的半径为，可知当为该正四面体的内切球与面的切点时取最小值，即可求出．
【解答】
解：如图示：
设正四面体的内切球球心为点，半径为，连接并延长交底面于点，
则为正三角形的中心，且平面，
连接并延长交于点，则为的中点，且，
，
，
平面，平面，
，，
，
正四面体的体积，
设球的半径为，
则，
．
正四面体的内切球与外接球的球心重合，
则外接球的半径，
因为
，
所以当最小时，即为该正四面体的内切球与各面的切点时，
取最小值，
此时，，
即的最小值为．
故答案为；．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的数量积及运算律，属于中档题．
当弦经过球心时，弦最长，此时，，以为原点，建立空间直角坐标系，分类讨论即可得出结果．
【解答】
解：当弦经过球心时，弦最长，此时，，
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，是上下底面的中心，则，，
因为为正方体面上的点，在上下两个面相同，在四个侧面相同，
当在底面时，，
，，
当或时，或时，最小为；
当时，最大为；
当在侧面时，，，
当或时，或时，最小为；
当时，最大为；
所以取值范围为
故答案为：

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量的数量积及运算律的相关知识，属较难题．
设球心与正四棱锥的侧面相切于点，是的中点，可求得正八面体的内切球的半径，再由展开计算即可．
【解答】
解：如图所示，
设已知的正八面体，易知平面于球心，
且点为正方形的中心，设球心与正四棱锥的侧面相切于点，是的中点，
连接，则，，
由，得
即正八面体的内切球的半径为
为正八面体表面上的任意一点
则，
即的取值范围是．

9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了球的体积公式、以及球与正方体的位置关系的应用，考查了分析能力，属于中档题．
由题意，取的中点，动点的轨迹就是过，，的平面与内切球的交线，通过得出到平面的距离和截面圆的半径，进而得出动点的轨迹的长度．
【解答】
解：因为外接球体积为，所以半径，则正方体的棱长为，
则内切球的半径，
设的中点，为在平面中的射影，直线在过点且与垂直的平面内．
又点在内接球的球面上，
故点的轨迹是正方体的内切球与过且与垂直的平面相交得到的小圆，
即点的轨迹为过，，的平面与内切球的交线．
由等面积，
求得点到此平面的距离为，截得小圆的半径为，
所以以点的轨迹的长度为，
故答案为：．

10.【答案】解：由，斜边，，
设切点为，连接，，又，
，，
所以圆锥中球的半径就是半圆的半径，即为．
在三棱锥中，设到平面的距离为
在中，，
在等腰三角形中，，取中点，连，所以
所以
，由知，
由于，所以
即
所以．
如图建立空间直角坐标系，则，，，设在面上的射影与轴的正方向的夹角为，所以，
，，，
设平面的法向量，
由，，
设与平面所成角为，
则

【解析】本题主要考查空间几何体体积的求法、用空间向量解决线面角的问题．
在直角三角形中，由特殊角及边长即可得出答案；
利用等体积转化即可；
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量与向量用向量法．
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