立体几何中的动点问题-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册(含解析)

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名称 立体几何中的动点问题-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册(含解析)
格式 docx
文件大小 723.5KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-10-26 17:06:37

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文档简介

立体几何中的动点问题
如图,等腰直角中,,点为平面外一动点,满足,,则存在点使得( )
A. B. 与平面所成角为
C. D. 二面角的大小为
如图,在正方体中,为线段的中点,为线段上的动点,则直线与直线所成角的正弦值的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
在棱长为的正方体中,点为底面内一动点,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
在长方体中,,,动点在体对角线上含端点,则下列结论正确的有( )
A. 顶点到平面的最大距离为
B. 存在点,使得平面
C. 的最小值为
D. 当为中点时,为钝角
如图,在棱长为的正方体中,点是线段上的动点,则下列判断正确的是( )
A. 直线平面
B. 点到平面的距离是
C. 无论点在线段的什么位置,都有
D. 若异面直线与所成的角为,则的最小值为
如图,在正四棱柱 中,,,是侧面内的动点,且,记与平面所成的角为,则的最大值为
已知正四棱柱中,,若是侧面内的动点,且,则的最小值为 .
如图,在中,,,分别为边,的中点,且,将沿折起到的位置,使,如图,连接,.
求证:平面:
若为的中点,求直线与平面所成角的正弦值;
线段上一动点满足,判断是否存在,使二面角的正弦值为,若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
如图,已知直三棱柱,,,分别为线段,,的中点,为线段上的动点,,.
若,试证;
在的条件下,当时,试确定动点的位置,使线段与平面所成角的正弦值最大.
如图所示的几何体中,和均为以为直角顶点的等腰直角三角形,,,,,为的中点.
求证:;
求平面和平面的夹角的大小;
设为线段上的动点,使得平面平面,求线段的长.
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面所成角,二面角以及空间中的距离,空间向量的运用,属于难题.
利用线面垂直的判定与性质判定;以点为原点,为 轴,建立空间直角坐标系,利用空间向量判断.
【解答】
解:对于:由是等腰直角三角形,,可得,
因为,所以,
若,,,面 ,
则面 ,因为面 ,所以,即,
与矛盾,A错误;
以点为原点,以为轴,如图建立空间直角坐标系,
则,,设点,,
,,
,,,,
,,
,,
设,,则,,
设平面的法向量为,则
,即
取,可得平面的一个法向量为,
又,

若与平面所成角为,则,
则,可得,与矛盾,B错误,


,所以不存在点满足,C错误,
平面的一个法向量为,

令,则,

,解得舍去,
所以存在点使得二面角的大小为,D正确,
故选D.

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线夹角的求解,涉及空间向量的坐标表示及应用,考查转化思想,属于较难题.
以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,利用向量坐标表示出 , 夹角的余弦值,再求出直线与直线所成角正弦值的最小值.
【解答】
解:以为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设正方体棱长为,
则,,, ,,
则 ,,
因为为线段上的动点,不妨设 ,,则得,
所以 ,
设直线与直线所成角为,
又, , ,
,,


因为,所以 ,,
所以 ,所以 ,
则直线与直线所成角正弦值的最小值为 .
故本题选C.

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量运算的坐标表示、二次函数性质的应用,属中档题.
先建立空间直角坐标系,得到、的坐标,转化成二次函数的值域问题即可得解.
【解答】
解:如图,以为原点.以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,以所在的直线为轴,建立空间直角坐标系,可得点,设点的坐标为,则,,,,由二次函数的性质可得,当时,取得最小值,当或,且或时,取得最大值,因此的取值范围是,故选A.

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量研究线线夹角、直线与平面垂直、点到平面距离的求解以及空间距离的求解,属于较难题.
以点为原点建立空间直角坐标系,设,当为中点时,根据向量夹角公式求出即可判断;平面等价于,,结合向量数量积公式求出,即可判断;当, 时,取得最小值,结合选项即可判断;利用向量法求出点到平面的距离,分析即可判断.
【解答】
解:以点为原点,,,所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系,如图所示,
设 ,
则,,, ,
,故,,
则,

对于选项,当为中点时,则, ,, ,
则, , ,,
所以,
所以为锐角,故D选项错误
对于选项,平面等价于, ,即,,

解得,
故存在点,使得平面,故B选项正确
对于选项,当, 时,取得最小值,
由选项得,此时,
则, , , , ,
所以 ,即的最小值为 ,故C选项正确
对于选项, , ,设平面的法向量 ,
则有
可取,
则点到平面的距离为 , ,
当时,点到平面的距离为,
当时, ,
当且仅当时,取等号,
所以点到平面的最大距离为,故A选项正确.
故本题选ABC.

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间立体几何中的综合问题,涉及空间直线位置关系,异面直线夹角、线线垂直等问题,考查学生的空间立体感和推理运算能力,属于中档题.
以点为原点,建立空间直角坐标系,利用向量的坐标表示,判断,结合等体积公式,求点到平面的距离,判断选项B.
【解答】
如图,建立空间直角坐标系,,,,,,,,
A.,,
因为,所以与不垂直,那么与平面不垂直,故A错误;
B.点到平面的距离即点到平面的距离,设点到平面的距离为,
因为,即
得,解得:,故B正确;
C.因为点在线段上,所以
,,,
所以,故C正确;
D.,,

因为,所以求的最小值,即求的最大值,
当时,取得最大值,最大值是,此时,故D正确.
故选:

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面角的正切值的求法,考查运算求解能力,是中档题.
以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,由此能求出的最大值.
【解答】
解:以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,
设,,
则,,,
,,
平面的法向量,
,,解得,

与平面所成的角为,

当时,取最大值为.
易知当最大时,最大,
此时,
的最大值为:.
故答案为.

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间距离求解问题的应用,属于中档题.
以为原点建立空间直角坐标系,由题意可得要使最小,只需最小,即最大,进而求出,从而得出答案.
【解答】
解:如图,以为原点建立空间直角坐标系,
设点,
则,,

又得:即;
又平面,故为与平面所成角,要使最小,只需最小,即最大,
令,

当时,最大,
则,
所以
故答案为:.

8.【答案】解:因为,分别为,的中点,所以.
因为,所以,所以.
又,,所以平面.
因为,,,所以,,两两垂直.
以为坐标原点.建立如图所示的空间直角坐标系,
依题意有,,,,,,
则,,,.
设平的法向量,
则有,即
令,得,,所以是平面的一个法向量.
因为,
所以直线与平面所成角的正弦值为.
假设存在,使二面角的正弦值为,即使二面角的余弦值为.
由得,
所以,,.
易得平面的一个法向量为.
设平面的法向量,
则有,即
令,则是平面的一个法向量.
若二面角的余弦值为,
则有,即,
解得,.
又因为,所以.
故存在,使二面角的正弦值为.

【解析】本题主要考查线面垂直的证明,利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值,二面角,属于拔高题.
利用线面垂直的判定直接证明即可.
建立相应的空间直角坐标系,利用公式法求解即可.
分别求出平面的法向量,代入公式求解即可.
9.【答案】解:证明:在中,为中点且,

平面,平面平面且交线为,
平面,
平面,

,分别为,的中点,


在和中,
,,



,、平面,
平面,平面,

解:平面,由得,,三线两两垂直,
如图,以为原点,以,,为,,轴建立空间直角坐标系,
则,,,,,,
,,
设平面的一个法向量为,

令,得,则,
设,,则,
,,
设直线与平面所成的角为,
则,
若,,此时点与重合,
若,令,则.
所以当,即,为的中点时,取得最大值.

【解析】本题考查线线垂直及利用向量法求线面角,考查学生的运算能力,属于较难题.
先证平面,得,结合已知条件得出,根据及勾股定理的逆定理,得出,进而得出平面,即证;
建立空间直角坐标系,求出相关平面的法向量和直线的方向向量,再由向量的夹角公式可求出线面角,再利用二次函数的性质即可求解该问题.
10.【答案】解:证明:依题意和均为以为直角顶点的等腰直角三角形,
则,,
又,、平面,
平面,
又,
建立以为原点,,,为,,轴的空间直角坐标系,
则,,,,
,,,
,,
,.
解:,,
设是平面的法向量,
则,令,得,
平面的一个法向量,

由图得二面角为锐二面角,
故平面和平面的夹角的大小为.
解:设,,,
则,
,,
由知平面的一个法向量,且平面平面,
令,则,
,解得,
则,为的中点,
,面,面,
平面,
,面,
平面,
又,
当为的中点时,平面平面,
此时,,.
线段的长为.
【解析】本题考查线线垂直的证明,考查二面角的求法,考查线段长的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力以及化归与转化思想,属于中档题.
推导出,,平面,,建立以为原点,,,为,,轴的空间直角坐标系,利用向量法能证明;
求出平面的一个法向量和平面的一个法向量,利用向量法能求出平面和平面的夹角的大小;
设,,求出,令,则,解得为的中点,利用向量法能求出线段的长.
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