立体几何中的动点问题-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册（含解析）

立体几何中的动点问题
如图，等腰直角中，，点为平面外一动点，满足，，则存在点使得( )
A. B. 与平面所成角为
C. D. 二面角的大小为
如图，在正方体中，为线段的中点，为线段上的动点，则直线与直线所成角的正弦值的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
在棱长为的正方体中，点为底面内一动点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
在长方体中，，，动点在体对角线上含端点，则下列结论正确的有( )
A. 顶点到平面的最大距离为
B. 存在点，使得平面
C. 的最小值为
D. 当为中点时，为钝角
如图，在棱长为的正方体中，点是线段上的动点，则下列判断正确的是( )
A. 直线平面
B. 点到平面的距离是
C. 无论点在线段的什么位置，都有
D. 若异面直线与所成的角为，则的最小值为
如图，在正四棱柱 中，，，是侧面内的动点，且，记与平面所成的角为，则的最大值为
已知正四棱柱中，，若是侧面内的动点，且，则的最小值为 ．
如图，在中，，，分别为边，的中点，且，将沿折起到的位置，使，如图，连接，．
求证：平面：
若为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；
线段上一动点满足，判断是否存在，使二面角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
如图，已知直三棱柱，，，分别为线段，，的中点，为线段上的动点，，．
若，试证；
在的条件下，当时，试确定动点的位置，使线段与平面所成角的正弦值最大．
如图所示的几何体中，和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，，，，，为的中点．
求证：；
求平面和平面的夹角的大小；
设为线段上的动点，使得平面平面，求线段的长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面所成角，二面角以及空间中的距离，空间向量的运用，属于难题．
利用线面垂直的判定与性质判定；以点为原点，为 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量判断．
【解答】
解：对于：由是等腰直角三角形，，可得，
因为，所以，
若，，，面 ，
则面 ，因为面 ，所以，即，
与矛盾，A错误；
以点为原点，以为轴，如图建立空间直角坐标系，
则，，设点，，
，，
，，，，
，，
，，
设，，则，，
设平面的法向量为，则
，即
取，可得平面的一个法向量为，
又，
，
若与平面所成角为，则，
则，可得，与矛盾，B错误，
，
，
，所以不存在点满足，C错误，
平面的一个法向量为，
，
令，则，
，
，解得舍去，
所以存在点使得二面角的大小为，D正确，
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线夹角的求解，涉及空间向量的坐标表示及应用，考查转化思想，属于较难题．
以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，利用向量坐标表示出 ， 夹角的余弦值，再求出直线与直线所成角正弦值的最小值．
【解答】
解：以为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体棱长为，
则，，， ，，
则 ，，
因为为线段上的动点，不妨设 ，，则得，
所以 ，
设直线与直线所成角为，
又， ， ，
，，
则
，
因为，所以 ，，
所以 ，所以 ，
则直线与直线所成角正弦值的最小值为 ．
故本题选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了空间向量运算的坐标表示、二次函数性质的应用，属中档题．
先建立空间直角坐标系，得到、的坐标，转化成二次函数的值域问题即可得解．
【解答】
解：如图，以为原点．以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，可得点，设点的坐标为，则，，，，由二次函数的性质可得，当时，取得最小值，当或，且或时，取得最大值，因此的取值范围是，故选A．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量研究线线夹角、直线与平面垂直、点到平面距离的求解以及空间距离的求解，属于较难题．
以点为原点建立空间直角坐标系，设，当为中点时，根据向量夹角公式求出即可判断；平面等价于，，结合向量数量积公式求出，即可判断；当， 时，取得最小值，结合选项即可判断；利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断．
【解答】
解：以点为原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示，
设 ，
则，，， ，
，故，，
则，
，
对于选项，当为中点时，则， ，， ，
则， ， ，，
所以，
所以为锐角，故D选项错误
对于选项，平面等价于， ，即，，
由
解得，
故存在点，使得平面，故B选项正确
对于选项，当， 时，取得最小值，
由选项得，此时，
则， ， ， ， ，
所以 ，即的最小值为 ，故C选项正确
对于选项， ， ，设平面的法向量 ，
则有
可取，
则点到平面的距离为 ， ，
当时，点到平面的距离为，
当时， ，
当且仅当时，取等号，
所以点到平面的最大距离为，故A选项正确．
故本题选ABC．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间立体几何中的综合问题，涉及空间直线位置关系，异面直线夹角、线线垂直等问题，考查学生的空间立体感和推理运算能力，属于中档题．
以点为原点，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示，判断，结合等体积公式，求点到平面的距离，判断选项B．
【解答】
如图，建立空间直角坐标系，，，，，，，，
A.，，
因为，所以与不垂直，那么与平面不垂直，故A错误；
B.点到平面的距离即点到平面的距离，设点到平面的距离为，
因为，即
得，解得：，故B正确；
C.因为点在线段上，所以
，，，
所以，故C正确；
D.，，
，
因为，所以求的最小值，即求的最大值，
当时，取得最大值，最大值是，此时，故D正确．
故选：

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查线面角的正切值的求法，考查运算求解能力，是中档题．
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，由此能求出的最大值．
【解答】
解：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，，
则，，，
，，
平面的法向量，
，，解得，
，
与平面所成的角为，
，
当时，取最大值为．
易知当最大时，最大，
此时，
的最大值为：．
故答案为．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间距离求解问题的应用，属于中档题．
以为原点建立空间直角坐标系，由题意可得要使最小，只需最小，即最大，进而求出，从而得出答案．
【解答】
解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，
设点，
则，，
，
又得：即；
又平面，故为与平面所成角，要使最小，只需最小，即最大，
令，
，
当时，最大，
则，
所以
故答案为：．

8.【答案】解：因为，分别为，的中点，所以．
因为，所以，所以．
又，，所以平面．
因为，，，所以，，两两垂直．
以为坐标原点．建立如图所示的空间直角坐标系，
依题意有，，，，，，
则，，，．
设平的法向量，
则有，即
令，得，，所以是平面的一个法向量．
因为，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
假设存在，使二面角的正弦值为，即使二面角的余弦值为．
由得，
所以，，．
易得平面的一个法向量为．
设平面的法向量，
则有，即
令，则是平面的一个法向量．
若二面角的余弦值为，
则有，即，
解得，．
又因为，所以．
故存在，使二面角的正弦值为．

【解析】本题主要考查线面垂直的证明，利用空间向量求直线与平面所成角的正弦值，二面角，属于拔高题．
利用线面垂直的判定直接证明即可．
建立相应的空间直角坐标系，利用公式法求解即可．
分别求出平面的法向量，代入公式求解即可．
9.【答案】解：证明：在中，为中点且，
，
平面，平面平面且交线为，
平面，
平面，
，
，分别为，的中点，
，
，
在和中，
，，
，
，
，
，、平面，
平面，平面，
；
解：平面，由得，，三线两两垂直，
如图，以为原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
，，
设平面的一个法向量为，
则
令，得，则，
设，，则，
，，
设直线与平面所成的角为，
则，
若，，此时点与重合，
若，令，则．
所以当，即，为的中点时，取得最大值．

【解析】本题考查线线垂直及利用向量法求线面角，考查学生的运算能力，属于较难题．
先证平面，得，结合已知条件得出，根据及勾股定理的逆定理，得出，进而得出平面，即证；
建立空间直角坐标系，求出相关平面的法向量和直线的方向向量，再由向量的夹角公式可求出线面角，再利用二次函数的性质即可求解该问题．
10.【答案】解：证明：依题意和均为以为直角顶点的等腰直角三角形，
则，，
又，、平面，
平面，
又，
建立以为原点，，，为，，轴的空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
，，
，．
解：，，
设是平面的法向量，
则，令，得，
平面的一个法向量，
，
由图得二面角为锐二面角，
故平面和平面的夹角的大小为．
解：设，，，
则，
，，
由知平面的一个法向量，且平面平面，
令，则，
，解得，
则，为的中点，
，面，面，
平面，
，面，
平面，
又，
当为的中点时，平面平面，
此时，，．
线段的长为．
【解析】本题考查线线垂直的证明，考查二面角的求法，考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于中档题．
推导出，，平面，，建立以为原点，，，为，，轴的空间直角坐标系，利用向量法能证明；
求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法能求出平面和平面的夹角的大小；
设，，求出，令，则，解得为的中点，利用向量法能求出线段的长．
第1页，共1页