立体几何中的最值问题-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册(含解析)

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名称 立体几何中的最值问题-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版(2019)选择性必修第一册(含解析)
格式 docx
文件大小 784.7KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2022-10-26 17:07:34

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文档简介

立体几何中的最值问题
长方体中,,,,点在线段上,并满足,其中为实数,点在线段上,并满足,当异面直线与所成角最小时,实数的值为( )
A. B. C. D.
如图,直角梯形,,,,,是边中点,沿翻折成四棱锥,则点到平面距离的最大值为( )
A. B. C. D.
在直三棱柱中,,,是的中点,点在上,且满足,则直线与平面所成角取最大值时,实数的值为( )
A. B. C. D.
已知三棱锥中,,且、、两两垂直,是三棱锥外接球球面上一动点,则到平面的距离的最大值是( )
A. B. C. D.
如图,在棱长为的正方体中,为的中点,点在底面上移动,且满足,下列结论正确的是( )
A. 的长度的最大值为
B. 的长度的最小值为
C. 的长度的最大值为
D. 的长度的最小值为
在三棱锥中,,平面平面,当三棱锥的体积取最大值时,则与所成角的余弦值为 .
如图,在直四棱柱中,底面是菱形,分别是的中点,为的中点且,则面积的最大值为 .
如图,正三棱柱中,各棱长均等于,为线段上的动点,则平面与平面所成的锐二面角余弦值的最大值为 .
已知梯形中,,,,、分别是、上的点,,,是的中点。沿将梯形翻折,使平面平面.
当时,求证:;
若以、、、为顶点的三棱锥的体积记为,求的最大值;
当取得最大值时,求二面角的余弦值。
如图,在四边形中,,,,,,是上的点,将沿折起到的位置,且,如图.
Ⅰ求证:平面平面;
Ⅱ若为线段上任一点,求直线与平面所成角的正弦值的最大值.
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查异面直线所成角,利用空间向量求线线的夹角,涉及基本不等式求最值及余弦函数的性质,属于中档题.
由题意,如图建立空间直角坐标系,求出,,设直线与直线所成角为,由知,可得,令,利用基本不等式求最值可得结论.
【解答】
解:如图建立空间直角坐标系,
则,,,,
所以,,
设直线与直线所成角为,由知,,
令,则,
当且仅当即时等号成立,
所以因为,所以最小时,最大,故.
故选A.

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点到平面的距离的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,属于中档题.
当时,点到平面距离取最大值,以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出点到平面距离的最大值.
【解答】
解:直角梯形,,,,,
是边中点,沿翻折成四棱锥,
当时,点到平面距离取最大值,
,,,平面,
平面,
以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,
,,,
设平面的法向量,
则,取,得,
点到平面距离的最大值为.
故选C.

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题给出特殊三棱柱,探索了直线与平面所成角的最大值,着重考查了用空间向量求直线与平面的夹角等知识,属于中档题.
以、、分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,可得向量的坐标关于的表示式,而平面的法向量,可建立关于的式子,最后结合二次函数的性质可得当时,角达到最大值.
【解答】
解:以、、分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则,
易得平面的一个法向量为
则直线与平面所成的角满足:,,于是问题转化为二次函数求最值,
而,当最大时,最大,
所以当时,最大为,同时直线与平面所成的角得到最大值.
故选:.

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间中的距离,考查学生直观想象和数学运算能力,属于中档题.
是棱长为的正方体上具有公共顶点的三条棱,以为原点,分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,三棱锥外接球就是正方体的外接球,由正方体及球的几何性质可得点与重合时,点到平面的距离最大,求出平面的法向量,由点到平面的距离公式即可得结果.
【解答】
解:三棱锥,满足两两垂直,
且,
如图是棱长为的正方体上具有公共顶点的三条棱,
以为原点,分别为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系如图所示,
则,
,,,
设平面的法向量,
则,取,得,
三棱锥外接球就是棱长为的正方体的外接球,
是三棱锥外接球球面上一动点,
由正方体与球的几何性质可得,点点与重合时,
点到平面的距离最大,
点到平面的距离的最大值为
故选C

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查利用空间向量长度的坐标表示,涉及轨迹问题和二次函数的最值,属于中档题.
建立空间直角坐标系,设,将转化为,点的轨迹为一条线段,即,将的长度转化为关于的二次函数,利用二次函数的性质,即可求解.
【解答】
解:以为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
则,设,
则,
由,可得,
即,
即,
点的轨迹是一条线段,
当时,当时,,
设中点为,
故点的轨迹为线段,即,
二次函数的对称轴为,且,
故当时,取得最小值,且为,即的长度的最小值为,
当时,即为的中点时,取得最大值,且为,即的长度的最大值为,
故选AD.

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了空间异面直线成角余弦值的求法.
根据题意和圆的一条弦对的圆周角相等,当两边相等时顶点到底边距离最大,可知当 时,三棱锥的体积最大,此时,与是等边三角形,然后再建立空间直角坐标系,利用空间向量法,即可求出结果.
【解答】
解:设到平面的距离为,到平面的距离为,
又在三棱锥中,平面平面,
所以,
又因为,
考虑圆的一条弦对的圆周角相等,当两边相等时顶点到底边距离最大.
由题意可知,当 时,三棱锥的体积最大,此时,与是等边三角形,如下图所示:
取的中点为,连接,,则,;
又平面平面,则,,两两互相垂直,
设为坐标原点,,,所在直线分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系;
设,则,,,
则,;
所以,;
即与所成角的余弦值为.
故答案为:.

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体中最值的求解,考查转化思想以及计算能力,是中档题.
建立空间直角坐标系,设出相关数值,结合三角形的面积求解最值即可.
【解答】
解:连接交于,底面是菱形,,
以,,为坐标轴建立空间直角坐标系,
设,,棱柱的高为,
则, , ,
.,,

到直线的距离,

当且仅当即时取等号.
故答案为:.

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查二面角的平面角及其求法,训练了利用二次函数求最值,是较难题.
以中点为坐标原点,建立空间直角坐标系,设,平面与平面所成的锐二面角为,利用空间向量求得,再由二次函数求最值.
【解答】
解:以中点为坐标原点,建立如图所示空间直角坐标系,
则,,
设,
则,,
设平面 的一个法向量为,
由,
取,得,
平面的一个法向量为,
设平面与平面所成的锐二面角为,

当,即为的中点时,平面与平面所成的锐二面角余弦值最大为.
故答案为:.

9.【答案】证明:平面平面,,

又平面平面,平面,
平面,
又,平面,
,,
又,故可如图建立空间坐标系.
,,
又为的中点,,.
则,,,,,
,,
则,

面,
所以

即时有最大值为.
设平面的法向量为,
,,,,
,,
则,
即,,
取,,,
面,
面的一个法向量为,
则,
由于所求二面角的平面角为钝角,所以此二面角的余弦值为.
【解析】本题考查的知识点是二面角的平面角及求法,棱锥的体积,直线与平面垂直的性质,其中的关键是建立坐标系,将线线垂直转化为向量数量积为,的关键是利用等体积法将三棱锥的体积,转化为四棱锥的体积,的关键是求出平面和平面的法向量,将二面角问题转化为向量的夹角.属较难题.
由平面,,可得,进而由面面垂直的性质定理得到平面,进而建立空间坐标系,求出,的方向向量,根据两个向量的数量积为,即可证得;
根据等体积法,我们可得的解析式,根据二次函数的性质,易求出有最大值;
根据的结论,我们求出平面和平面的法向量,代入向量夹角公式即可得到二面角的余弦值.
10.【答案】Ⅰ证明:取中点,连结,,.
在四边形中,,,
,,,,
所以,,所以,
所以四边形为菱形,且为等边三角形.
又,所以,
又,,,
所以,即,
又,,所以平面,
又平面,所以平面平面.
Ⅱ解:以为原点,向量的方向分别为轴、轴的正方向,
建立空间直角坐标系如图,
则,,,另设,
所以,,,
设是平面的法向量,
则,即,
令,得.
设直线与平面所成角为,
所以,
当且仅当时,即点的坐标为时等号成立,
所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为.
【解析】本题考查平面与平面垂直,直线与平面所成角的求法,考查空间想象能力以及计算能力.
Ⅰ取中点,连结,,证明,,推出平面,然后证明平面平面.
Ⅱ以为原点,向量的方向分别为轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,求出平面的法向量,设直线与平面所成角为,利用向量的数量积求解即可.
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