两直线位置关系的应用-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章（含解析）

两直线位置关系的应用
过点引直线，使，两点到该直线的距离相等，则这条直线的方程是( )
A. B.
C. 或 D. 或
“”是“直线 与直线 互相垂直”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
直线经过原点，且经过另两条直线，的交点，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
已知直线：，：，则下列结论正确的有( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，在轴上的截距相等，则
D. 的倾斜角不可能是倾斜角的倍
，动直线过定点，动直线过定点，若直线与相交于点异于点，则周长的最大值是 ．
已知直线：，：，：，若这三条直线交于一点，则交点坐标为 ，点到原点的距离最小值为 ．
设直线：与直线：的交点为，，分别为，上任意两点，为线段的中点，若，则的值为________．
已知集合，若，则实数__________．
已知中，边上的高所在的直线方程为，的角平分线所在的直线方程为，点的坐标为．
Ⅰ求点和点的坐标；
Ⅱ又过点作直线与轴、轴的正半轴分别交于点，，求的面积最小值及此时直线的方程．
已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
Ⅰ求顶点的坐标；
Ⅱ求的面积．
已知直线过点，且其倾斜角是直线的倾斜角的
求直线的方程；
若直线与直线平行，且点到直线的距离是，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的求法，考查直线斜率求法和中点坐标公式，考查分类讨论思想，属于中档题．
分两种情况讨论：过且与直线平行的直线；过点与线段的中点的直线，分别求解即可．
【解答】
解：由题意得，线段的中点为．
分两种情况讨论：
过且与直线平行的直线满足题意，
其方程为，
整理得
过点与线段的中点的直线满足题意，
其方程为，
整理得．
故满足条件的直线方程是或．
故选D．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，属于基础题．
判断两直线垂直的方法：设两直线为，，，代入求解参数，根据充分必要性的判断法则即可得答案．
【解答】
解：由题意得：
的充要条件是，
即，故解得或，
于是“”是“直线与互相垂直”的充分不必要条件．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查过两点的直线的方程，涉及直线的交点问题，属基础题．
联立两直线方程可解得交点坐标，进而可得直线的斜率，可得直线方程，化为一般式即可．
【解答】
解：联立方程，解得：
所以两条直线，的交点坐标为，
所以直线的斜率为，
则直线的方程为：，即．
故选B．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查两直线平行、垂直的性质，以及斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
对于，结合两直线平行的性质，即可求解；对于，结合两直线垂直的性质，即可求解；对于，分别求出两直线的截距，即可求解；对于，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
【解答】
解：对于，，，解得，故A正确；
对于，，，解得，故B正确；
对于，直线：在轴上的截距为，
直线：在轴上的截距为，
若，在轴上的截距相等，则，故C错误；
对于，当时，直线的斜率不存在，即倾斜角为，
直线：的倾斜角为，故D错误．
故选AB．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线过定点及直线垂直，基本不等式求最值，属于较难题．
求出直线：过定点的坐标和直线：过定点的坐标，与交于点，根据两条直线的斜率得，则利用基本不等式可得的最大值，即可得到所求周长的最大值．
【解答】
解：直线：过定点，
直线：，即，
可得过定点，
由于，
则与始终垂直，又是两条直线的交点，
则有，
．
由可得，
则，
即有，
当且仅当时，上式取得等号，
则周长的最大值为．
故答案为．

6.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查了两直线的交点坐标以及两点距离的计算，属于中档题．
联立即可求得交点坐标，将所求坐标代入，得到，的关系，再利用两点距离公式结合二次函数性质求最值即可．
【解答】
解：联立解得，．
即交点坐标为；
把代入可得，．
．
点到原点的距离，
当，时取等号．
点到原点的距离的最小值为．
故答案为：；．

7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与直线的位置关系，属于中档题．
由 可得 再由两直线垂直的条件列出关于的方程，即可得出．
【解答】
解：根据题意画出图形，如图所示：
直线 与直线 的交点为 ，
为的中点，
若，则
即 ， 则
解得 ．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查交集运算，利用两直线位置关系求解．
由条件得到两直线平行，由直线平行的条件得到，解得．
【解答】
解：，若，
所以两直线，平行，所以，
解得或，
当时，两直线重合，舍去，当时，两直线平行，
故答案为．

9.【答案】解：Ⅰ因为点在边上的高上，又在的角平分线上，
所以解方程组得．
边上的高所在的直线方程为，
，
点的坐标为，所以直线的方程为，
，，所以直线的方程为，
解方程组得，
故点和点的坐标分别为，
Ⅱ依题意直线的斜率存在，设直线的方程为：，
则，
所以，
当且仅当时取等号，所以，此时直线的方程是．
【解析】列方程组求出点坐标，根据两直线垂直的条件求出、所在的直线方程，然后解方程组得的坐标；
若直线分别与轴、轴的负半轴交于，两点，说明直线的斜率小于，设出斜率根据直线过的点，写出直线方程，求出面积的表达式，利用基本不等式求出面积的最小值，即可得到面积最小值的直线的方程．
本题是中档题，考查三角形面积的最小值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想的应用．
10.【答案】解：Ⅰ设点，则点，
由已知有
，故点，
同理设则，则点，
Ⅱ由Ⅰ知、，
所以，
且，
所以直线的方程为，即，
点到直线的距离为，
．

【解析】本题考查了直线方程的应用问题，也考查了三角形面积计算问题，属于中档题．
Ⅰ设点，即可表示出点的坐标，由在上及在直线上得到方程组，解得即可；同理可求的坐标；
Ⅱ求出边长，以及点到直线的距离，从而计算的面积．
11.【答案】解：直线的倾斜角为，
直线的倾斜角为，斜率为，
又直线过点，
直线的方程为，即．
设直线的方程为，则点到直线的距离
，
解得或
直线的方程为或

【解析】本题主要考查直线的斜率和倾斜角，考查两直线平行，考查点到直线的距离公式．
先求得直线的倾斜角为，由此求得直线的倾斜角为，斜率为，而且直线过点，所以直线的方程为，化简求得直线的方程为；
设直线的方程为，根据点到直线的距离列出方程，求出或，由此求解出直线的方程或．
第1页，共1页