圆与圆的位置关系的应用-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章（含解析）（含解析）
文档属性
| 名称 | 圆与圆的位置关系的应用-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章（含解析）（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 190.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-26 00:00:00 | ||
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文档简介
圆与圆的位置关系的应用
一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数且的点的轨迹为圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆：上有且只有一个点满足则的取值可以是( )
A. B. C. D.
已知圆与圆交于、两点，且平分圆的周长，则的值为( )
A. B. C. D.
已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系是( )
A. 内切 B. 相离 C. 外切 D. 相交
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，，当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
已知圆：和圆：，则( )
A. 两圆相交 B. 公共弦长为 C. 两圆相离 D. 公切线长
三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
若两个圆与圆恰有三条公切线，，，则的最小值是 ．
圆和圆相交于，两点，则公共弦弦长为___________．
四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知圆：与圆：．
求证两圆相交；
求两圆公共弦所在直线的方程；
求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程．
本小题分
已知圆，直线的斜率为，且过点．
Ⅰ判断与的位置关系；
Ⅱ若圆，求圆与圆的公共弦长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查阿波罗尼斯圆，这是有着深厚数学背景的问题，也是高考以及模拟考经常命题的素材，本题把圆的位置融入其中，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题．
设出动点的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点的轨迹方程，又圆：上有且仅有一点满足，可得两圆相切，进而可求得的值．
【解答】
解：设，由，得，
整理得，
又圆：上有且仅有一点满足，
所以两圆相切，
圆的圆心坐标为，半径为，圆：的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为，
当两圆外切时，，得，
当两圆内切时，，得．
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系的应用，两点间的距离公式，属于中档题．
由题意，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，从而根据，列式计算即可．
【解答】
解：由题意得圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，
即为直角三角形，
由勾股定理得，
即，
整理后得．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两圆的位置关系以及公切线条数，属于中档题．
利用已知条件判断圆与圆的关系，进而可以求解．
【解答】
解：由，得圆，半径为，
由，得，半径为
所以，
，，
所以，所以圆与圆相交，
所以圆与圆有两条公共的切线．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆相交求弦长的方法及两个圆的位置关系，属于中档题．
由由题意可得参数的值，进而可得两个圆的圆心坐标及两个半径之和及之差，进而可得两个圆的位置关系．
【解答】
解：由圆：的方程可得圆心坐标，半径，
圆心到直线的距离，
所以由题意可得弦长，
解得：，
所以圆的方程为：，即圆心坐标，半径，
圆的圆心，半径，
，，
所以圆心距
所以两个圆相交，
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与圆有关的轨迹问题，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于难题．
由题意可得在以原点为圆心，以为半径的圆上，因为，所以的中点在以为圆心，以为半径的圆上，由始终为锐角，可得以原点为圆心，以为半径的圆与以为圆心，以为半径的圆相离，再由圆心距的公式可得的取值范围．
【解答】
解：圆的圆心为，半径为．
为的中点，，所以，
设，则，所以点的轨迹方程为．
即在圆心为，半径为的圆上．
，都在直线上，且，
设线段的中点为，则，
以为圆心，半径为的圆与圆外离时，始终有为锐角，
所以，
即，，所以或，
即或．
所以选项正确．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，属于中档题．
先根据两圆心的距离判断两圆的位置关系，再求公共弦长与公切线的长度．
【解答】
解：圆：的圆心为：，半径，
圆：的圆心为：，半径，
，
又，，
，
圆与相交．故A正确，C错误；
两圆相减即为，是两圆的公共弦所在的直线，
圆心到该直线的距离为，
公共弦长为，故B正确；
因为两圆相交且半径相等，
所以公切线长等于两圆心的距离，即为，故D错误．
故选AB．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，圆的公切线，以及利用基本不等式求最值，属于较难题．
由题意得，两圆相外切，可得，使用基本不等式，即可得解．
【解答】
解：，即，
，即，
由题知，两圆外切，
则两圆的圆心距等于两圆的半径之和，
，即，
又，且，
，
当且仅当，即，时等号成立，
的最小值为．
故答案为．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两圆的公共弦所在的直线方程应用问题，也考查了运算求解能力．是基础题．
由两圆的方程求出两圆的公共弦所在直线方程，利用圆心到直线的距离和勾股定理求出公共弦长．
【解答】
解：由圆和圆，得两圆的公共弦所在直线方程为，即
圆的方程可化为，圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以公共弦的弦长为．
故答案为：．
9.【答案】证明：圆：与圆：化为标准方程分别为圆：与圆：
与圆，半径都为
圆心距为
两圆相交；
解：将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即
即
解：由得代入圆：，化简可得
当时，；当时，
设所求圆的圆心坐标为，则
过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为
【解析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，即可得两圆相交；
对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程；
先求两圆的交点，进而可求圆的圆心与半径，从而可求圆的方程．
本题重点考查两圆的位置关系，考查两圆的公共弦，考查圆的方程，解题的关键是确定圆的圆心与半径，综合性强，是较难题．
10.【答案】解：由圆可得，
所以圆心为，半径，
直线方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以与相切；
联立方程可得，作差可得，
即，即公共弦所在直线方程为，
已知圆的半径，圆心到直线的距离，
则公共弦长．
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，两圆相交弦有关的综合问题，属于中档题。
求出圆心的圆心与半径，进而求出圆心到直线的距离，即可判断结果；
先求出公共弦所在直线方程，进而求出到公共弦所在直线方程的距离，从而求出圆与圆的公共弦长．
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一、单选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
古希腊数学家阿波罗尼奥斯的著作圆锥曲线论中有这样一个命题：平面内与两定点的距离的比为常数且的点的轨迹为圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，圆：上有且只有一个点满足则的取值可以是( )
A. B. C. D.
已知圆与圆交于、两点，且平分圆的周长，则的值为( )
A. B. C. D.
已知圆，圆，则同时与圆和圆相切的直线有( )
A. 条 B. 条 C. 条 D. 条
已知圆：截直线所得线段的长度是，则圆与圆：的位置关系是( )
A. 内切 B. 相离 C. 外切 D. 相交
二、多选题（本大题共2小题，共10.0分。在每小题有多项符合题目要求）
已知圆为圆上的两个动点，且为弦的中点，，当在圆上运动时，始终有为锐角，则实数的可能取值为( )
A. B. C. D.
已知圆：和圆：，则( )
A. 两圆相交 B. 公共弦长为 C. 两圆相离 D. 公切线长
三、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
若两个圆与圆恰有三条公切线，，，则的最小值是 ．
圆和圆相交于，两点，则公共弦弦长为___________．
四、解答题（本大题共2小题，共24.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知圆：与圆：．
求证两圆相交；
求两圆公共弦所在直线的方程；
求过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程．
本小题分
已知圆，直线的斜率为，且过点．
Ⅰ判断与的位置关系；
Ⅱ若圆，求圆与圆的公共弦长．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查阿波罗尼斯圆，这是有着深厚数学背景的问题，也是高考以及模拟考经常命题的素材，本题把圆的位置融入其中，考查学生的数形结合思想和逻辑推理能力，属于中档题．
设出动点的坐标，利用已知条件列出方程，化简可得点的轨迹方程，又圆：上有且仅有一点满足，可得两圆相切，进而可求得的值．
【解答】
解：设，由，得，
整理得，
又圆：上有且仅有一点满足，
所以两圆相切，
圆的圆心坐标为，半径为，圆：的圆心坐标为，半径为，两圆的圆心距为，
当两圆外切时，，得，
当两圆内切时，，得．
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系的应用，两点间的距离公式，属于中档题．
由题意，圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半径为，两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，从而根据，列式计算即可．
【解答】
解：由题意得圆的圆心为，半径为，
圆的圆心为，半径为，
两圆的相交弦的垂直平分线即为直线，
即为直角三角形，
由勾股定理得，
即，
整理后得．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两圆的位置关系以及公切线条数，属于中档题．
利用已知条件判断圆与圆的关系，进而可以求解．
【解答】
解：由，得圆，半径为，
由，得，半径为
所以，
，，
所以，所以圆与圆相交，
所以圆与圆有两条公共的切线．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆相交求弦长的方法及两个圆的位置关系，属于中档题．
由由题意可得参数的值，进而可得两个圆的圆心坐标及两个半径之和及之差，进而可得两个圆的位置关系．
【解答】
解：由圆：的方程可得圆心坐标，半径，
圆心到直线的距离，
所以由题意可得弦长，
解得：，
所以圆的方程为：，即圆心坐标，半径，
圆的圆心，半径，
，，
所以圆心距
所以两个圆相交，
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查与圆有关的轨迹问题，直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系，属于难题．
由题意可得在以原点为圆心，以为半径的圆上，因为，所以的中点在以为圆心，以为半径的圆上，由始终为锐角，可得以原点为圆心，以为半径的圆与以为圆心，以为半径的圆相离，再由圆心距的公式可得的取值范围．
【解答】
解：圆的圆心为，半径为．
为的中点，，所以，
设，则，所以点的轨迹方程为．
即在圆心为，半径为的圆上．
，都在直线上，且，
设线段的中点为，则，
以为圆心，半径为的圆与圆外离时，始终有为锐角，
所以，
即，，所以或，
即或．
所以选项正确．
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，属于中档题．
先根据两圆心的距离判断两圆的位置关系，再求公共弦长与公切线的长度．
【解答】
解：圆：的圆心为：，半径，
圆：的圆心为：，半径，
，
又，，
，
圆与相交．故A正确，C错误；
两圆相减即为，是两圆的公共弦所在的直线，
圆心到该直线的距离为，
公共弦长为，故B正确；
因为两圆相交且半径相等，
所以公切线长等于两圆心的距离，即为，故D错误．
故选AB．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，圆的公切线，以及利用基本不等式求最值，属于较难题．
由题意得，两圆相外切，可得，使用基本不等式，即可得解．
【解答】
解：，即，
，即，
由题知，两圆外切，
则两圆的圆心距等于两圆的半径之和，
，即，
又，且，
，
当且仅当，即，时等号成立，
的最小值为．
故答案为．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了两圆的公共弦所在的直线方程应用问题，也考查了运算求解能力．是基础题．
由两圆的方程求出两圆的公共弦所在直线方程，利用圆心到直线的距离和勾股定理求出公共弦长．
【解答】
解：由圆和圆，得两圆的公共弦所在直线方程为，即
圆的方程可化为，圆心为，半径为，
所以圆心到直线的距离为，
所以公共弦的弦长为．
故答案为：．
9.【答案】证明：圆：与圆：化为标准方程分别为圆：与圆：
与圆，半径都为
圆心距为
两圆相交；
解：将两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程，即
即
解：由得代入圆：，化简可得
当时，；当时，
设所求圆的圆心坐标为，则
过两圆的交点且圆心在直线上的圆的方程为
【解析】将圆的方程化为标准方程，求出圆心距及半径，即可得两圆相交；
对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程；
先求两圆的交点，进而可求圆的圆心与半径，从而可求圆的方程．
本题重点考查两圆的位置关系，考查两圆的公共弦，考查圆的方程，解题的关键是确定圆的圆心与半径，综合性强，是较难题．
10.【答案】解：由圆可得，
所以圆心为，半径，
直线方程为，即，
所以圆心到直线的距离为，
所以与相切；
联立方程可得，作差可得，
即，即公共弦所在直线方程为，
已知圆的半径，圆心到直线的距离，
则公共弦长．
【解析】本题考查了直线与圆的位置关系，两圆相交弦有关的综合问题，属于中档题。
求出圆心的圆心与半径，进而求出圆心到直线的距离，即可判断结果；
先求出公共弦所在直线方程，进而求出到公共弦所在直线方程的距离，从而求出圆与圆的公共弦长．
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