圆的方程的求解及应用-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章（含解析）

圆的方程的求解及应用
若三角形的三边所在直线的方程分别为，，，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为( )
A. B.
C. D.
圆关于直线对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
若的三个顶点坐标分别为，，，则外接圆的圆心坐标为．( )
A. B. C. D.
多选题古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名他发现：“平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆”后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆在平面直角坐标系中，，，点满足，设点的轨迹为，下列结论正确的是( )
A. 的方程为
B. 在轴上存在异于，的两定点，，使得
C. 当，，三点不共线时，射线是的平分线
D. 在上存在点，使得
已知圆：，则下列说法正确的是( )
A. 点在圆外 B. 圆的半径为
C. 圆关于对称 D. 直线截圆的弦长为
如图，已知圆：，，是圆上两个动点，点，则矩形的顶点的轨迹方程是 ．
平面直角坐标系中，已知，，在中，边上的高所在的直线斜率为，边上的中线所在直线的方程为，则直线的一般式方程为 ，以为直径的圆的标准方程为 ．
由曲线围成的图形的面积为 ．
矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上．
求边所在直线的方程；
求矩形外接圆的方程；
已知点是中圆上一动点，点，求线段的中点的轨迹方程．
已知点，，求：
过点，且周长最小的圆的方程
过点，且圆心在直线上的圆的方程．
分别根据下列条件，求圆的方程：
过两点，，且圆心在直线上；
半径为，且与直线切于点．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程的求法．
分别联立方程组得到该三角形的三个顶点分别是，，，可以判断该三角形为钝角三角形，故所求圆的方程是以最长边为直径的圆的方程，求出圆心和半径即可得到圆的方程．
【解答】
解：由得；
由得；
由得
故该三角形的三个顶点分别是，，，
，
易得此三角形为钝角三角形，
故所求圆的方程是以最长边为直径的圆的方程，
又最长边的两个端点坐标分别为，，故圆心为，
所求圆的半径为，
故所求圆的方程为．
故选C．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的标准方程，利用基本不等式求最值等知识属于中档题．
先求出圆的圆心代入直线方程，然后利用基本不等式求最值即可．
【解答】
解：由圆知，
其标准方程为，
圆关于直线对称，
该直线经过圆心，即，
，
，
当且仅当，即时取等号，
故选C．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的一般方程和标准方程，考查待定系数法，考查学生的计算能力，属于基础题．
设的外接圆的方程为：，把，，三点代入能求出圆的方程．
【解答】
解：设三角形的外接圆的方程为：，
把，，三点代入，
得 ，
解得，，，
三角形外接圆的方程为 ，
即为．
圆心坐标为．
故选C．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查阿氏圆的相关应用，轨迹方程的求解，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大．
通过设出点坐标，利用即可得到轨迹方程，找出两点即可判断的正误，设出点坐标，利用与圆的方程表达式解出就存在，解不出就不存在．
【解答】
解：设点，则，
化简整理得，即，故A错误；
当时，，故B正确；
对于选项，，，
要证为角平分线，只需证明，
即证，
化简整理即证，
设，则，，
则证，故C正确；
对于选项，设，由可得，
整理得，而点在圆上，故满足，
联立解得，无实数解，于是D错误．
故答案为．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查圆的方程，点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系，是基础题．
化圆方程为标准方程，再利用点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系逐个判断即可．
【解答】
解：由题意，得圆标准方程是，圆心为，半径为，
对于、因为，故点在圆内，故错误；
对于、正确；
对于、因为圆心在直线上，故圆关于直线对称，故正确；
对于、点到的距离为，
弦长为，故D错误，
故选BC．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查求圆的标准方程的方法，圆的弦的性质，属于拔高题．
设点，则和的交点为，再根据，化简可得结果．
【解答】
解：设点，点，
则和的交点为为矩形的的中心，且，
，
即，
即，
即．
故答案为：．

7.【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查了直线方程及圆的方程的求解，还考查了方程思想的应用，考查了运算求解的能力，属于中档题．
根据边上高的斜率可求直线的斜率，再利用点斜式方程即可求解；
先求出的坐标，再求的中点坐标，即为圆心坐标，利用两点间距离公式求出半径，进而可求圆的标准方程．
【解答】
解：边上的高所在的直线斜率为，
所以直线的斜率为，
直线的方程为即，
设，
因为边上的中线所在直线的方程为，
所以，即，
因为的方程为，
所以，
则，，的中点即以为直径的圆的圆心为，
设该圆半径为，
则，
所以圆的方程．
故答案为；．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了圆的方程与应用问题，也考查了数形结合的应用问题，属于中档题．
由题曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可求得面积．
【解答】
解：由题意，知曲线可化为，
当，时，方程化为，
曲线围成的图形关于轴，轴对称，
故只需要求出第一象限的面积即可．
曲线在第一象限为弓形，
其面积为，
故，
故答案为：；

9.【答案】解：因为边所在直线的方程为，且与垂直，
所以直线的斜率为．
又因为点在直线上，
所以边所在直线的方程为．
即
由解得点的坐标为，
因为矩形两条对角线的交点为
所以为矩形外接圆的圆心．
又
从而矩形外接圆的方程为
设点，点，
则由中点坐标公式得，，
即，
因为点在圆上，
所以，
故有，
即，
即点的轨迹方程为圆．
【解析】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，两条直线的交点坐标，圆的标准方程及轨迹方程，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于拔高题．
由已知中边所在直线的方程为，且与垂直，我们可以求出直线的斜率，结合点在直线上，可得到边所在直线的点斜式方程，进而再化为一般式方程；
根据矩形的性质可得矩形外接圆圆心即为两条对角线交点，根据中直线，的直线方程求出点坐标，进而根据长即为圆的半径，得到矩形外接圆的方程；
设点，点，可得，，则， 进而即可得到结果．
10.【答案】解：当弦为圆的直径时，圆的周长最小．
弦的中点为，，
所以，则圆的方程为．
由题意可得，弦的中点为，
所以的中垂线方程为，即．
由解得
所以圆心为，所以圆的半径，
所以圆的方程为．
【解析】本题考查圆的标准方程的求解，属于基础题．
由题意和圆的知识易得，当弦为圆的直径时，圆的周长最小，由距离公式可得，可得圆的方程；
由题意易得所以的中垂线方程，和已知直线联立可得圆心，进而可得圆的半径，可得圆的方程．
11.【答案】解：由于圆心在直线上，可设圆心坐标为，
再根据圆过两点，，
可得，
解得，可得圆心为，
半径为，
故所求的圆的方程为；
设圆心坐标为，
则
，或，，
圆的方程为或．
【解析】本题主要考查圆的标准方程的求法，求出圆心的坐标，是解题的关键，属于中档题．
由圆心在直线上，可设圆心坐标为，再根据圆心到两点，的距离相等，求出的值，可得圆心坐标和半径，从而求得圆的标准方程；
设圆心坐标为，利用半径为，且与直线切于点，建立方程组，求出圆心坐标，即可求得圆的方程．
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