直线系方程及其应用-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章（含解析）
文档属性
| 名称 | 直线系方程及其应用-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 308.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-27 08:01:09 | ||
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文档简介
直线系方程及其应用
已知定点和直线：，则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点与点，不重合，则的面积最大值是( )
A. B. C. D.
过原点作直线：的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
下列四个命题中真命题有( )
A. 直线在轴上的截距为
B. 经过定点的直线都可以用方程表示．
C. 直线必过定点
D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
对于直线以下说法正确的有( )
A. 的充要条件是 B. 当时，
C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为
已知，直线：和直线：与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的值为 ．
若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点 ，与间的距离的最大值是 ．
对任意的实数，求点到直线的距离的取值范围为 ．
已知直线．
求证：直线经过定点，并求出定点；
经过点有一条直线，它夹在两条直线：与：之间的线段恰被平分，求直线的方程．
已知直线方程为，．
求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线过定点问题，两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
直线：，化为，可得直线过定点，即可得出点到直线的距离的最大值为．
【解答】
解：由，得，
此方程是过两直线和交点的定点直线系方程．
设交点为，解方程组，可知两直线的交点为，
故直线恒过定点，
如图所示，可知，即，
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
点为，动直线过定点动直线过定点分类讨论：时，两条直线分别为，，交点，可得时，两条直线相互垂直．当时，的面积取得最大值．即可得出．
【解答】
解：设点为
动直线，令，解得，因此此直线过定点．
动直线，即，
令，，解得，，因此此直线过定点．
时，两条直线分别为，，交点，．
时，两条直线的斜率分别为：，，则，因此两条直线相互垂直．
则，
则，
当且仅当时等号成立；
综上可得：的面积最大值是．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线过定点问题及点到直线的距离，属于中档题．
求出直线过定点，分析得出点的轨迹是以为直径的圆，求出圆心到直线的距离，即可求出点到直线的距离的最大值．
【解答】
解：直线，
即，
联立，解得
则直线过定点，
因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，
该圆的圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根据截距的定义，点斜式的应用，直线恒过定点的求解以及由直线平行求参数和两平行线间的距离公式，是中档题．
对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【解答】
解：：对直线方程，令解得，故该直线在轴上的截距为，故A正确；
：经过点的直线若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，则无法用表示，故错误；
：当时，可整理为：，恒过定点；
当时，即为，过点；
故直线必过定点，正确；
：直线与直线平行，则，
此时即，也即，
则两平行线间的距离，故D错误．
综上所述，正确的选项是：．
故本题选．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两条直线平行的判定、两条直线垂直的判定、直线系方程及其应用、点到直线的距离公式，属于中档题
求出的充要条件即可判断验证时，两直线斜率之积是否为，判断求出直线经过的定点即可判断判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断．
【解答】
解：当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，故C错误；
因为直线过定点，
当直线与点和的连线垂直时，
到直线的距离最大，最大值为 ，故D正确，
故选BD．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的应用，涉及过定点问题，二次函数的性质，体现了转化及数形结合的数学思想．属于中档题．
先求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与轴、轴的交点，得到所求的四边形，利用四边形的面积等于三角形的面积和梯形的面积之和，再应用二次函数的性质求出面积最小时的值．
【解答】
解：直线：，
即，过定点，
与轴的交点，
直线：，即，
过定点，与轴的交点，
过作轴于，如图所示：
由题意知，四边形的面积等于三角形的面积和梯形的面积之和，
故所求四边形的面积为，
时，所求四边形的面积最小，
故答案为．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线过定点问题、两点间的距离公式及点、直线间的对称问题，属于中档题．
直线：经过定点，而点关于点对称点为，则点在直线上，由此得到答案，再当与同时与垂直时，与的距离最大，求解即可．
【解答】
解：直线：经过定点，而点关于点对称点为，
又直线：与直线关于点对称，则直线恒过定点，
当与同时与垂直时，与的距离最大，
此时与的距离即为的距离，
所以
故答案为；．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线系方程的应用，考查点到直线的距离公式，直线经过定点问题，属于中档题．
化简直线为，得出直线过定点，根据点的长度，进而求得点到直线的距离的取值范围．
【解答】
解：把直线化为，
联立方程组，解得
即直线过定点，
又由，且，所以直线与不垂直，
所以点到直线的距离的最大值小于，
即点到直线的距离的取值范围为
故答案为：．
9.【答案】解：证明：将直线的方程改写为，
令，且，
两式联立，解得，，
所以直线过定点；
如图，
设直线夹在直线，之间的部分是，且被平分，
设点，的坐标分别是，，
则有，，
又，两点分别在直线，上，
所以，，
由以上四个式子解得，，
即，
所以直线的方程为．
【解析】本题考查根据两点的坐标写出直线的方程，灵活运用中点坐标公式化简求值，属于中档题．
改写直线的方程，令，且，即可求得定点的坐标；
设出与两点的坐标，因为为线段的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把的坐标代入直线，把的坐标代入直线，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出的坐标，然后由和的坐标，利用两点式即可写出直线的方程．
10.【答案】解：直线方程为，，
即，
联立，解得，
可得直线恒过定点．
若直线在轴，轴上的截距相等，
可知且，
令，求得；令，求得，
，求得或，
直线方程为，或，
即直线的方程为或．
【解析】本题主要考查直线经过定点问题，直线的截距，属于中档题．
先分离参数，得到，联立，求得、的值，可得直线恒过定点的坐标．
先求出直线在轴，轴上的截距，再根据直线在轴，轴上的截距相等，求得的值，可得直线的方程．
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已知定点和直线：，则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，点与点，不重合，则的面积最大值是( )
A. B. C. D.
过原点作直线：的垂线，垂足为，则点到直线的距离的最大值为( )
A. B. C. D.
下列四个命题中真命题有( )
A. 直线在轴上的截距为
B. 经过定点的直线都可以用方程表示．
C. 直线必过定点
D. 已知直线与直线平行，则平行线间的距离是
对于直线以下说法正确的有( )
A. 的充要条件是 B. 当时，
C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为
已知，直线：和直线：与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的值为 ．
若直线与直线关于点对称，则直线恒过定点 ，与间的距离的最大值是 ．
对任意的实数，求点到直线的距离的取值范围为 ．
已知直线．
求证：直线经过定点，并求出定点；
经过点有一条直线，它夹在两条直线：与：之间的线段恰被平分，求直线的方程．
已知直线方程为，．
求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线过定点问题，两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
直线：，化为，可得直线过定点，即可得出点到直线的距离的最大值为．
【解答】
解：由，得，
此方程是过两直线和交点的定点直线系方程．
设交点为，解方程组，可知两直线的交点为，
故直线恒过定点，
如图所示，可知，即，
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线方程、三角形面积计算公式、相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
点为，动直线过定点动直线过定点分类讨论：时，两条直线分别为，，交点，可得时，两条直线相互垂直．当时，的面积取得最大值．即可得出．
【解答】
解：设点为
动直线，令，解得，因此此直线过定点．
动直线，即，
令，，解得，，因此此直线过定点．
时，两条直线分别为，，交点，．
时，两条直线的斜率分别为：，，则，因此两条直线相互垂直．
则，
则，
当且仅当时等号成立；
综上可得：的面积最大值是．
故选：．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线过定点问题及点到直线的距离，属于中档题．
求出直线过定点，分析得出点的轨迹是以为直径的圆，求出圆心到直线的距离，即可求出点到直线的距离的最大值．
【解答】
解：直线，
即，
联立，解得
则直线过定点，
因为，所以点的轨迹是以为直径的圆，
该圆的圆心坐标为，半径，
因为圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为．
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了根据截距的定义，点斜式的应用，直线恒过定点的求解以及由直线平行求参数和两平行线间的距离公式，是中档题．
对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择．
【解答】
解：：对直线方程，令解得，故该直线在轴上的截距为，故A正确；
：经过点的直线若斜率存在，可用表示；若斜率不存在，则无法用表示，故错误；
：当时，可整理为：，恒过定点；
当时，即为，过点；
故直线必过定点，正确；
：直线与直线平行，则，
此时即，也即，
则两平行线间的距离，故D错误．
综上所述，正确的选项是：．
故本题选．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两条直线平行的判定、两条直线垂直的判定、直线系方程及其应用、点到直线的距离公式，属于中档题
求出的充要条件即可判断验证时，两直线斜率之积是否为，判断求出直线经过的定点即可判断判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断．
【解答】
解：当时， 解得 或，
当时，两直线为 ，符合题意；
当时，两直线为 ，符合题意，故A错误；
当时，两直线为， ，
所以，故B正确；
直线即直线，故直线过定点，故C错误；
因为直线过定点，
当直线与点和的连线垂直时，
到直线的距离最大，最大值为 ，故D正确，
故选BD．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的应用，涉及过定点问题，二次函数的性质，体现了转化及数形结合的数学思想．属于中档题．
先求出两直线经过的定点坐标，再求出直线与轴、轴的交点，得到所求的四边形，利用四边形的面积等于三角形的面积和梯形的面积之和，再应用二次函数的性质求出面积最小时的值．
【解答】
解：直线：，
即，过定点，
与轴的交点，
直线：，即，
过定点，与轴的交点，
过作轴于，如图所示：
由题意知，四边形的面积等于三角形的面积和梯形的面积之和，
故所求四边形的面积为，
时，所求四边形的面积最小，
故答案为．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线过定点问题、两点间的距离公式及点、直线间的对称问题，属于中档题．
直线：经过定点，而点关于点对称点为，则点在直线上，由此得到答案，再当与同时与垂直时，与的距离最大，求解即可．
【解答】
解：直线：经过定点，而点关于点对称点为，
又直线：与直线关于点对称，则直线恒过定点，
当与同时与垂直时，与的距离最大，
此时与的距离即为的距离，
所以
故答案为；．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查直线系方程的应用，考查点到直线的距离公式，直线经过定点问题，属于中档题．
化简直线为，得出直线过定点，根据点的长度，进而求得点到直线的距离的取值范围．
【解答】
解：把直线化为，
联立方程组，解得
即直线过定点，
又由，且，所以直线与不垂直，
所以点到直线的距离的最大值小于，
即点到直线的距离的取值范围为
故答案为：．
9.【答案】解：证明：将直线的方程改写为，
令，且，
两式联立，解得，，
所以直线过定点；
如图，
设直线夹在直线，之间的部分是，且被平分，
设点，的坐标分别是，，
则有，，
又，两点分别在直线，上，
所以，，
由以上四个式子解得，，
即，
所以直线的方程为．
【解析】本题考查根据两点的坐标写出直线的方程，灵活运用中点坐标公式化简求值，属于中档题．
改写直线的方程，令，且，即可求得定点的坐标；
设出与两点的坐标，因为为线段的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把的坐标代入直线，把的坐标代入直线，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出的坐标，然后由和的坐标，利用两点式即可写出直线的方程．
10.【答案】解：直线方程为，，
即，
联立，解得，
可得直线恒过定点．
若直线在轴，轴上的截距相等，
可知且，
令，求得；令，求得，
，求得或，
直线方程为，或，
即直线的方程为或．
【解析】本题主要考查直线经过定点问题，直线的截距，属于中档题．
先分离参数，得到，联立，求得、的值，可得直线恒过定点的坐标．
先求出直线在轴，轴上的截距，再根据直线在轴，轴上的截距相等，求得的值，可得直线的方程．
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