直线与圆的位置关系及其应用-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章（含解析）
文档属性
| 名称 | 直线与圆的位置关系及其应用-重难点挑战-2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 270.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-27 08:01:36 | ||
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文档简介
直线与圆的位置关系及其应用
已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围( )
A. B.
C. D.
方程有两个不同的解，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
已知直线：与圆交于，两点，为原点，且，则实数等于( )
A. B. C. D.
直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
若圆：上至少有个点到直线：的距离为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
已知直线：与圆：，则下列结论正确的是( )
A. 存在，使得的倾斜角为
B. 存在，使得的倾斜角为
C. 存在，使直线与圆相离
D. 对任意的直线与圆相交，且时相交弦最短
已知直线，圆，则下列说法正确的是( )
A. 直线与圆一定有公共点
B. 当时直线被圆截得的弦最长
C. 当直线与圆相切时，
D. 圆心到直线的距离的最大值为
若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为 ．
若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
已知圆过点、，且圆心在直线上．
求圆的方程；
设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营．军营所在区域可表示为：．
求“将军饮马”的最短总路程；
因军情紧急，将军来不及饮马，直接从点沿倾斜角为的直线路径火速回营，已知回营路径与军营边界的交点为，，军营中心与，连线的斜率分别为，，试求的值．
在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，记外接圆为圆．
求圆的方程；
在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的方程及圆的几何性质，考查学生分析处理问题的能力，属于较难题，解答时将问题灵活转化是关键．
易证∽，得，再根据，列出关于的关系式，利用求解即可．
【解答】
解：由题意得圆的圆心坐标为，半径，如图所示：
连接，交圆分别点，易证∽，
则，
因为，故，，
所以，
又，
所以，
解得．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，是一道中档题．
将问题转化为两个函数的交点问题，画出函数图象，结合图象，从而求出的范围．
【解答】
解：设，，其图象为圆的上半圆，
，直线恒过点，
方程有两个不同的实数根，为实数，
即和有两个不同的交点，
画出，的图象，如图所示：
当直线与圆相切时，，
当直线过，时，，
或，
即实数的取值范围为．
故本题选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的数量积，平面向量的坐标运算和直线与圆的位置关系及判定，属于中档题．
设，由得，从而得和，再利用向量的数量积的坐标运算，计算得结论．
【解答】
解：因为直线与圆交于两点，
所以设，
因此由得，
所以，，，
因此
．
又因为，所以，即．
又因为，所以，满足，因此实数等于，
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出的取值范围是解决本题的关键．
求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：圆的标准方程为，圆心为，半径，
若直线与圆有两个不同的交点，
则圆心到直线的距离，
即，得，得，
则的一个必要不充分条件是，
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查圆的标准方程，直线与圆位置关系、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
化圆的方程为标准方程求出圆心和半径，要求圆上至少有三个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．
【解答】
解：圆整理为，
圆心坐标为，半径为，
要求圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，
则圆心到直线的距离应小于等于，
，解得，
的取值范围是．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线的斜率与倾斜角、直线与圆的位置关系，属于中档题．
根据直线的斜率与倾斜角判定，根据直线与圆的位置关系判定．
【解答】
解：选项：当时，直线方程为，此时倾斜角为，正确
选项：当倾斜角为时，直线斜率为，即，解得为空集，错误
选项：圆的圆心为，半径，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为，整理得：，不等式无解，错误
选项：经分析直线过定点，此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线与直线垂直时，直线和直线的斜率之积等于，即：解得，此时弦长最短，正确．
故选AD．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题．
由直线过定点，结合与圆的位置关系即可判断；结合直线过圆心即可判断；利用圆心到直线的距离为半径，可得到关于的方程，求解可判断结合与垂直时，圆心到的距离取得最大值，进而求解即可判断．
【解答】
解：直线的方程可化为：，
所以直线过定点．
圆的标准方程为：，其圆心为，半径为，
对于，因为，
所以点在圆外部，
又直线过定点，所以直线与圆不一定有公共点，A错误
对于，当时，的方程为，
此时直线过圆心，截得的弦恰为直径，故B正确
对于，当与圆相切时，，解得，故C正确
对于，当与垂直时，圆心到的距离取得最大值，其最大值为，故D正确．
故选BCD．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．
求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为、，数形结合可知，当圆与直线相交，与直线相离时满足题意，可求得的取值范围．
【解答】
解：如下图所示：
设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，，即．
故答案为：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根据直线与圆的位置关系求参数，属于较难题．
把原不等式转化为半圆弧上任意一点到一条直线的距离大于或等于，也就是圆心 到此直线的距离大于或等于，利用点到直线的距离公式建立不等式，即可解出实数的取值范围．
【解答】
解：原不等式可化为：对恒成立．
记直线，半圆弧 ，
则可看作半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，也就是原点半圆弧所在圆的圆心到直线的距离大于或等于．
而原点到直线的距离：，解得：，即实数的取值范围是．
故答案为：．
10.【答案】解：设圆的方程为：
则有
解得
圆的方程为：；
设符合条件的实数存在，
由于垂直平分弦，故圆心必在上．
所以的斜率，
而，所以．
把直线即代入圆的方程，
消去，整理得．
由于直线交圆于，两点，
故，
即，解得．
则实数的取值范围是．
由于，假设错误，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．
【解析】本题考查了利用待定系数法求圆的一般式方程，垂直平分线的性质及方程与函数的综合．此题第二问利用的方法是反证法，此方法的步骤为：先否定结论，然后利用正确的推理得出与已知，定理及公理矛盾，得到假设错误，故原结论成立．
设出圆的一般式方程，表示出圆心坐标，把圆心坐标代入到直线中得到一个关于，及的方程，然后把与的坐标代入所设的圆的方程，得到两个关于，及的方程，三个方程联立即可求出，及的值，确定出圆的方程；
利用反证法，先假设满足题意得点存在，根据线段垂直平分线的性质得到圆心必然在直线上，由点与点的坐标求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出直线的斜率，进而求出实数的值，然后由已知直线，变形得到，代入圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，根据直线与圆有两个交点，得到根的判别式大于，即可求出的取值范围，发现求出的的值不在此范围中，故假设错误，则不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．
11.【答案】解：军营所在区域为：，
圆：的圆心为原点，半径为，
设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点，
因为，所以线段的中点为，
则，
又，
联立解得：
即．
所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离，
即为．
过点倾斜角为的直线方程为：，
设点，，
联立，消去得．
所以；
则
．
【解析】本题考查的知识要点：直线与圆的实际应用 ，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
直接利用圆的方程和中点坐标的应用和点关于线的对称的应用求出两点间的距离的最小值；
利用直线的方程和圆建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式求出结果．
12.【答案】解：设外接圆的方程为．
将代入，
得，解得．
圆的方程为；
设点，
，，
化简得：．
化圆：为，
圆心，半径为．
圆的圆心到直线的距离．
直线与圆相交，
故满足条件的点有两个．
【解析】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是中档题．
设出外接圆的一般式方程，代入点的坐标，求解，，的最值，可得圆的方程；
设点，由，可得的轨迹为一条直线，再由圆的圆心到直线的距离小于圆的半径，可得在圆上存在两个点，使得．
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已知圆，过轴上的点存在圆的割线，使得，则的取值范围( )
A. B.
C. D.
方程有两个不同的解，则实数的取值范围为( )
A. B.
C. D.
已知直线：与圆交于，两点，为原点，且，则实数等于( )
A. B. C. D.
直线与圆有两个不同交点的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
若圆：上至少有个点到直线：的距离为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
已知直线：与圆：，则下列结论正确的是( )
A. 存在，使得的倾斜角为
B. 存在，使得的倾斜角为
C. 存在，使直线与圆相离
D. 对任意的直线与圆相交，且时相交弦最短
已知直线，圆，则下列说法正确的是( )
A. 直线与圆一定有公共点
B. 当时直线被圆截得的弦最长
C. 当直线与圆相切时，
D. 圆心到直线的距离的最大值为
若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为 ．
若当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 ．
已知圆过点、，且圆心在直线上．
求圆的方程；
设直线与圆交于，两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．
唐代诗人李颀的诗古从军行开头两句说：“白日登上望烽火，黄昏饮马傍交河，”诗中隐含着一个有趣的“将军饮马”问题，这是一个数学问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使得总路程最短？在平面直角坐标系中，将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，并假定将军只要到达军营所在区域即为回到军营．军营所在区域可表示为：．
求“将军饮马”的最短总路程；
因军情紧急，将军来不及饮马，直接从点沿倾斜角为的直线路径火速回营，已知回营路径与军营边界的交点为，，军营中心与，连线的斜率分别为，，试求的值．
在平面直角坐标系中，已知的顶点坐标分别是，，，记外接圆为圆．
求圆的方程；
在圆上是否存在点，使得？若存在，求点的个数；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查圆的方程及圆的几何性质，考查学生分析处理问题的能力，属于较难题，解答时将问题灵活转化是关键．
易证∽，得，再根据，列出关于的关系式，利用求解即可．
【解答】
解：由题意得圆的圆心坐标为，半径，如图所示：
连接，交圆分别点，易证∽，
则，
因为，故，，
所以，
又，
所以，
解得．
故选：．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线与圆的位置关系，考查了转化思想，是一道中档题．
将问题转化为两个函数的交点问题，画出函数图象，结合图象，从而求出的范围．
【解答】
解：设，，其图象为圆的上半圆，
，直线恒过点，
方程有两个不同的实数根，为实数，
即和有两个不同的交点，
画出，的图象，如图所示：
当直线与圆相切时，，
当直线过，时，，
或，
即实数的取值范围为．
故本题选C．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了向量的数量积，平面向量的坐标运算和直线与圆的位置关系及判定，属于中档题．
设，由得，从而得和，再利用向量的数量积的坐标运算，计算得结论．
【解答】
解：因为直线与圆交于两点，
所以设，
因此由得，
所以，，，
因此
．
又因为，所以，即．
又因为，所以，满足，因此实数等于，
故选：．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用直线和圆相交的等价条件求出的取值范围是解决本题的关键．
求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的条件求出的取值范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．
【解答】
解：圆的标准方程为，圆心为，半径，
若直线与圆有两个不同的交点，
则圆心到直线的距离，
即，得，得，
则的一个必要不充分条件是，
故选：．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线的斜率的取值范围的求法，考查圆的标准方程，直线与圆位置关系、点到直线的距离公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
化圆的方程为标准方程求出圆心和半径，要求圆上至少有三个点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于，用圆心到直线的距离公式，可求得结果．
【解答】
解：圆整理为，
圆心坐标为，半径为，
要求圆上至少有三个不同的点到直线：的距离为，
则圆心到直线的距离应小于等于，
，解得，
的取值范围是．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了直线的斜率与倾斜角、直线与圆的位置关系，属于中档题．
根据直线的斜率与倾斜角判定，根据直线与圆的位置关系判定．
【解答】
解：选项：当时，直线方程为，此时倾斜角为，正确
选项：当倾斜角为时，直线斜率为，即，解得为空集，错误
选项：圆的圆心为，半径，若直线与圆相离，则圆心到直线的距离为，整理得：，不等式无解，错误
选项：经分析直线过定点，此点在圆内，所以直线与圆恒相交，当直线与直线垂直时，直线和直线的斜率之积等于，即：解得，此时弦长最短，正确．
故选AD．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离，属于中档题．
由直线过定点，结合与圆的位置关系即可判断；结合直线过圆心即可判断；利用圆心到直线的距离为半径，可得到关于的方程，求解可判断结合与垂直时，圆心到的距离取得最大值，进而求解即可判断．
【解答】
解：直线的方程可化为：，
所以直线过定点．
圆的标准方程为：，其圆心为，半径为，
对于，因为，
所以点在圆外部，
又直线过定点，所以直线与圆不一定有公共点，A错误
对于，当时，的方程为，
此时直线过圆心，截得的弦恰为直径，故B正确
对于，当与圆相切时，，解得，故C正确
对于，当与垂直时，圆心到的距离取得最大值，其最大值为，故D正确．
故选BCD．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．
求出与直线平行且到直线的距离为的直线的方程为、，数形结合可知，当圆与直线相交，与直线相离时满足题意，可求得的取值范围．
【解答】
解：如下图所示：
设与直线平行且与直线之间的距离为的直线方程为，
则，解得或，
圆心到直线的距离为，
圆到直线的距离为，
由图可知，圆与直线相交，与直线相离，
所以，，即．
故答案为：．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查根据直线与圆的位置关系求参数，属于较难题．
把原不等式转化为半圆弧上任意一点到一条直线的距离大于或等于，也就是圆心 到此直线的距离大于或等于，利用点到直线的距离公式建立不等式，即可解出实数的取值范围．
【解答】
解：原不等式可化为：对恒成立．
记直线，半圆弧 ，
则可看作半圆弧上的任意一点到直线的距离大于或等于，也就是原点半圆弧所在圆的圆心到直线的距离大于或等于．
而原点到直线的距离：，解得：，即实数的取值范围是．
故答案为：．
10.【答案】解：设圆的方程为：
则有
解得
圆的方程为：；
设符合条件的实数存在，
由于垂直平分弦，故圆心必在上．
所以的斜率，
而，所以．
把直线即代入圆的方程，
消去，整理得．
由于直线交圆于，两点，
故，
即，解得．
则实数的取值范围是．
由于，假设错误，
故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．
【解析】本题考查了利用待定系数法求圆的一般式方程，垂直平分线的性质及方程与函数的综合．此题第二问利用的方法是反证法，此方法的步骤为：先否定结论，然后利用正确的推理得出与已知，定理及公理矛盾，得到假设错误，故原结论成立．
设出圆的一般式方程，表示出圆心坐标，把圆心坐标代入到直线中得到一个关于，及的方程，然后把与的坐标代入所设的圆的方程，得到两个关于，及的方程，三个方程联立即可求出，及的值，确定出圆的方程；
利用反证法，先假设满足题意得点存在，根据线段垂直平分线的性质得到圆心必然在直线上，由点与点的坐标求出直线的斜率，根据两直线垂直时斜率的乘积为，求出直线的斜率，进而求出实数的值，然后由已知直线，变形得到，代入圆的方程，消去得到关于的一元二次方程，根据直线与圆有两个交点，得到根的判别式大于，即可求出的取值范围，发现求出的的值不在此范围中，故假设错误，则不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．
11.【答案】解：军营所在区域为：，
圆：的圆心为原点，半径为，
设将军饮马点为，到达营区点为，设为关于直线的对称点，
因为，所以线段的中点为，
则，
又，
联立解得：
即．
所以总路程，要使得总路程最短，只需要最短，即点到圆上的点的最短距离，
即为．
过点倾斜角为的直线方程为：，
设点，，
联立，消去得．
所以；
则
．
【解析】本题考查的知识要点：直线与圆的实际应用 ，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
直接利用圆的方程和中点坐标的应用和点关于线的对称的应用求出两点间的距离的最小值；
利用直线的方程和圆建立方程组，进一步利用一元二次方程根和系数的关系式求出结果．
12.【答案】解：设外接圆的方程为．
将代入，
得，解得．
圆的方程为；
设点，
，，
化简得：．
化圆：为，
圆心，半径为．
圆的圆心到直线的距离．
直线与圆相交，
故满足条件的点有两个．
【解析】本题考查圆的方程的求法，考查直线与圆位置关系的应用，考查数学转化思想方法，考查运算求解能力，是中档题．
设出外接圆的一般式方程，代入点的坐标，求解，，的最值，可得圆的方程；
设点，由，可得的轨迹为一条直线，再由圆的圆心到直线的距离小于圆的半径，可得在圆上存在两个点，使得．
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