2022-2023学年高二数学人教A版（2019）选择性必修第一册第二章直线中的对称问题与最值问题-重难点挑战（有解析））

直线中的对称问题与最值问题
著名数学家华罗庚曾说过，“数无形时少直觉，形少数时难入微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点与点的距离．结合上述观点，可得的最小值为( )
A. B. C. D.
已知直线：和直线：，点，分别是直线和上的点，点，则周长的最小值是( )
A. B. C. D.
已知点与关于直线对称，则，的值分别为( )
A. ， B. C. ， D. ，
已知，，若的平分线方程为，则所在的直线方程为( )
A. B. C. D.
已知直线，，，以下结论正确的是( )
A. 不论为何值时，与都互相垂直
B. 当变化时，与分别经过定点和
C. 不论为何值时，与都关于直线对称
D. 如果与交于点，则的最大值是
直线与关于点对称，则实数可能为( )
A. B. C. D.
已知点，，若从点射出的光线经直线反射后过点，则反射光线所在直线的方程为 若从点，射出的光线经直线反射，再经直线反射后回到点，则光线所经过的路程是 结果用表示．
过点作直线，使它被直线：和：截得的线段被点平分，则直线的一般方程为________．
若直线：与直线关于直线对称，则直线恒过定点
已知直线经过直线：与：的交点．
若点到的距离为，求直线的方程；
求直线的方程，使点到直线的距离最大；
求直线的方程，使直线和直线关于直线对称．
已知直线：和两点，．
在直线上求一点，使最小；
在直线上求一点，使最大．
已知的顶点，边所在直线的方程为，边上的高所在直线的方程为．
求顶点与的坐标；
为坐标原点，若边上存在点使得最小，求所在直线的方程．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点关于直线对称的问题，考查两点间的距离问题，属于较难题。
的几何意义为点到两定点与的距离之和，进而可得结果．
【解答】
解：，
的几何意义为点到两定点与的距离之和．
设点关于轴的对称点为，则的坐标为．
要求的最小值，可转化为求的最小值，
利用对称思想可知，
即的最小值为．
故选B．

2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查点关于直线对称问题，两点间的距离公式，考查了转化思想，属于较难题．
分别作出点关于直线：和直线：的对称点，，连接分别交直线和直线于点，，再分别连接，，根据两点之间，线段最短，周长的最小值为线段的长，再分别求出，的坐标即可求解．
【解答】
解：分别作出点关于直线：和直线：的对称点，，
连接分别交直线和直线于点，，再分别连接，，
如图所示：
则，，
故A，
根据两点之间，线段最短，周长的最小值为线段的长，
设点，
则，解得，则，
设点，
则，解得，则，
故，
即周长的最小值为．
故选B．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了点和点关于直线对称的应用，涉及两点间斜率公式的应用、中点坐标公式的应用，属于中档题．
利用点关于直线对称的点之间的关系，得到直线与直线垂直且线段的中点在直线上，列式求解即可．
【解答】
解：因为点与关于直线对称，
所以直线与直线垂直且线段的中点在直线上，
直线的斜率为，线段的中点为，
则有，解得．
故选：．

4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线方程的求法，两条直线的交点坐标，属于中档题．
设点关于直线对称点为，可求出，可得直线的方程为，由此知，从而得到直线的方程．
【解答】
解：由题意，设点关于直线的对称点为，
则
解得
即，
可得直线的方程为．
由
解得
所以，
直线的方程为，即．
故选C．

5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了直线与直线的位置关系，动直线恒过定点问题，直线与直线垂直的充要条件的应用，直线关于直线的对称性问题，属于较难题．
对于，利用两条直线垂直的充要条件，即可求解，对于，求出两条直线恒过的定点坐标，即可求解，对于，利用点关于直线的对称点，即可求解，对于，先求出两条直线的交点的坐标，再结合两点之间的距离公式，即可求解．
【解答】
解：对于，直线，，
又，
无论为何值，与都互相垂直，故正确，
对于，直线，
当时，，
则直线恒过定点，
直线，
当时，，
则直线恒过定点，故正确，
对于，设直线上任意一点，
则点关于直线的对称性点为，
将点代入直线，可得，与点在直线上矛盾，
对于，联立方程组，解得
故，
则，
所以的最大值是，故正确．
故选：．

6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查关于点的对称问题，利用中点坐标公式求对称点的方法求解．
设为直线上任意一点，求得关于点对称的点为，由在直线上，坐标满足方程求得的值．
【解答】
解：设为直线上任意一点，关于点对称的点为，
直线与关于点对称，
点一定在直线上，故有，
化简得，
又，，解得或．
故选BD．

7.【答案】

【解析】
【分析】
本题考查直线方程的求法，考查两点式方程的应用，考查两点间的距离公式，点关于直线的对称点的求法，考查计算能力，属于中档题．
根据光线从点射向直线，根据点关于直线的对称点的求法求出关于直线对称的点的坐标，然后根据反射光线过点，列两点式，化简即可得到反射光线所在直线的方程．作图，作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，则光线所经过的路程为，根据点关于直线的对称点的求法求出的坐标即可得解．
【解答】
解：因为，，所以直线的方程为，
根据题意设关于直线的对称点为，
则，解方程组可得对称点为，
而反射光线又过，
所以直线为，即，
即反射光线所在直线的方程为，
根据题意作图，如图：
作出点关于的对称点，作出点关于的对称点，
连接交于点，交于点，
则，，三点共线，，，三点共线，即，，，四点共线，
则光线所经过的路程为，
易得，直线的方程是，
设，
则得
即，
，
即光线所经过的路程为，
故答案为；．

8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查两点式求直线的方程，属于中档题．
设与的交点为，则由题意知，点关于点的对称点在上，求得的值，再根据点、点的坐标，求得直线的方程．
【解答】
解：设与的交点为，
则由题意知，点关于点的对称点在上，
代入的方程得，解得，
即点在直线上，
又点在直线上，
所以直线的方程为，
即．
故答案为．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查求一条直线关于另一条直线的对称直线的方程经过定点的问题，属于基础题．
首先求出经过的定点，利用经过的定点关于对称直线的对称点，即为过的定点．
【解答】
直线：与直线关于直线对称，
变形直线：，过定点，
关于直线对称的点即为经过的定点，
设关于直线对称的点为，
则
所以经过定点，
故答案为：．

10.【答案】解：易知不可能为，故可设经过两已知直线交点的直线系方程为，
即，
点到的距离为，
，
化简得，
解得或，
直线的方程为或．
由解得直线与的交点为，
显然当时，点到直线的距离最大，
又，
，
所求直线的方程是，即．
在直线上取点，
设点关于直线的对称点是，
则且，
解得，，
由直线经过两点，，
可得直线的方程是，即．
【解析】本题考查直线系方程的应用，考查直线的点斜式、两点式、一般式方程，考查直线关于直线的对称问题，题目常规．
由题意设出直线系方程为，由点到直线的距离求得或，问题得解；
首先求得直线与的交点为，由题意可知时，点到直线的距离最大是解题的关键；
在直线上取点，可求得点关于直线的对称点是，由题意直线经过两点，，故可得直线的方程．
11.【答案】解：可判断，在直线的同侧，设点关于直线的对称点为，
则，解得
．
又为直线上的一点，
，当且仅当，，三点共线时，
取得最小值，易求得直线的方程为，
联立得，即点的坐标为
，当且仅当，，三点共线时，取得最大值，
点即是直线与直线的交点，又直线的方程为，联立
得
即点的坐标为．

【解析】本题考查的是距离最值问题，解答此类题目的关键是根据轴对称的性质画出图形，再由两点之间线段最短的知识求解，属于拔高题．
可判断，在直线的同侧，设点关于直线的对称点为，，当且仅当，，三点共线时，取得最小值
，当且仅当，，三点共线时，取得最大值，点即是直线与直线的交点．
12.【答案】解：由题意可得，为直线与的交点，
解方程组，解得，即，
设，
，
所在直线的斜率为，即，解得，即．
由可得边所在直线的方程为，
设关于直线的对称点为，
则，解得，即，
，
当，，三点共线时，最小，
此时点在边上，且直线的斜率为，方程为，
直线即为直线，
所以所在直线的方程为．
【解析】本题主要考查直线的一般式方程与直线的性质，属于中档题．
根据已知条件，联立方程组，解得得顶点的坐标；设，再结合斜率公式，即可求解顶点的坐标．
由可得边所在直线的方程为，设关于直线的对称点为，再结合对称的性质，以及，，三点共线时，最小，即可求解．
第1页，共1页