14.3.1 提公因式法 精品课件(共32张PPT)
文档属性
| 名称 | 14.3.1 提公因式法 精品课件(共32张PPT) |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 2.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-10-27 18:43:24 | ||
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文档简介
(共32张PPT)
八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
14.3.1提公因式法
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.（重点）
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.（难点）
(1)已知：a=46，b=54，x=6，求ax2+bx2的值；
(2)已知：a=101，b=99，求a2-b2的值.
=3600
=400
你能说说算得快的原因吗？
解：(1)ax2+bx2=x2(a+b)=36×(46+54)=3600
(2)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=200×2=400
我们知道，利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式. 反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1) x2+x=__________；(2) x2-1=__________.
x(x+1)
(x+1) (x-1)
我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
因式分解
整式乘法
例1.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】解：A．由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B．，原式等式两边不相等，即从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
A
【点睛】因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
观察下列多项式有何共同特点？
ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b.
ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b.
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
如：pa+pb+pc的公因式是p.
说出下列各多项式的公因式：
(1) ma+mb；_____ (2) 4kx-8ky；_____
(3) 5y3+20y2；_____ (4) a2b-2ab2+ab. _____
m
4k
5y2
ab
正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数 相同字母 最低指数
例2.(1)多项式中各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
(2)式子，，中的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】解：因为5a2b(b a)＝ 5a2b(a b)， 120a3b3(a2 b2)＝ 120a3b3(a＋b)(a b)，
所以式子15a3b3(a b)，5a2b(b a)， 120a3b3(a2 b2)中的公因式是5a2b(b a)．
故选：A．
【分析】解：在多项式中，各系数的最大公因式为5，相同字母的最低次幂为，则各项的公因式是．故选：C．
C
A
1．与的公因式为（ ）
A． B． C． D．
3．多项式2xmyn-1﹣4xm-1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（ ）
A．4xm-1yn-1 B．2xm-1yn-1 C．2xmyn D．4xmyn
2．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
C
C
B
ma+mb+mc=
m(a+b+c)
公因式
提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例3.把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
分析：8与12的最大公约数是___；相同字母有___和___；a的最低指数___，b的最低指数___；公因式是_____.
解：8a3b2+12ab3c
=4ab2·2a2+4ab2·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
4
a
b
1
2
4ab2
可用整式乘法来检验因式分解是否正确.
例4.把下列各式分解因式：
(1) 2a(b+c) - 3(b+c)； (2) 3x2-6xy+x.
解：(1) 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3)
(2) 3x2-6xy+x
=x(3x-6y+1)
【点睛】提公因式法步骤（分两步）
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，将多项式化为两个因式的乘积.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.可用整式乘法来检验因式分解是否正确.
把下列各式分解因式：
(1) ax+ay (2) 3mx-6my (3) 8m2n+2mn (4) 12xyz-9x2y2
(5) 2a(y-z)-3b(z-y) (6) p(a2+b2)-q(a2+b2)
解：(1) ax+ay=a(x+y)
(2) 3mx-6my=3m(x-2y)
(3) 8m2n+2mn=2mn(4m+1)
(4) 12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy)
(5) 2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)
(6) p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q)
例5.计算：
(1)39×37－13×91； (2)29×20.21＋72×20.21＋13×20.21－20.21×14.
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
＝13×20
＝260；
(2)原式＝20.21×(29＋72＋13－14)
＝2021.
【点睛】在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
例6.已知，那么代数式的值是（ ）
A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001
【分析】解：∵，
∴，
∴
，
故选：B．
B
1．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是（ ）
A．4ab2c B．ab2 C．4ab2 D．4a3b2c
3.已知多项式3x2+mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，则m,n的值分别为（ ）
A. m=1, n=-2 B. m=-1, n=-2 C. m=2,n=-2 D. m=-2，n=-2
B
C
B
4.把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（ ）
A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5
5．计算的结果为（ ）
A．2021 B．20210 C．202100 D．2021000
6．相邻边长为a，b的矩形，若它的周长为20，面积为24，则的值为（ ）
A．480 B．240 C．120 D．100
A
C
B
7．一个两位数，将它的十位数字与个位数字对换，这两个两位数的和一定被_____整除．
8．已知方程，则代数式的值是_______．
9．已知，则多项式的值为________．
10．若，则等于______.
11
-10
2017
2018
11．因式分解：
(1) ; (2); (3) (4)
（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
12．因式分解：
(1); (2) (2x+1)(3x-2)－.
解：
．
解：（2x+1）（3x-2）－
=（2x+1）（3x-2-2x-1）
=（2x+1）（x-3）
13．先因式分解，再计算求值：
，其中．
解：
当时，
原式．
14．已知，求的值．
解：∵6x 3y 1＝0，xy＝2，
∴2x y＝，
∴当2x y＝，xy＝2时，
原式＝（xy）3 （2x y）
＝23×
＝．
15．阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：＋4x＋3
解：原式＝＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，
＝（＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组
＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：＋5x＋6
解：原式=＋2x＋3x＋6
．
16．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了______次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)2004，则需应用上述方法______次，结果是_______.
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)n(n为正整数).
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2···+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．
提公因式法
2
2004
(x+1)2005
我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
因式分解
整式乘法
正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数 相同字母 最低指数
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
如：pa+pb+pc的公因式是p.
ma+mb+mc=
m(a+b+c)
公因式
提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
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14.3.1提公因式法
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1.理解因式分解的意义和概念及其与整式乘法的区别和联系.（重点）
2.理解并掌握提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式.（难点）
(1)已知：a=46，b=54，x=6，求ax2+bx2的值；
(2)已知：a=101，b=99，求a2-b2的值.
=3600
=400
你能说说算得快的原因吗？
解：(1)ax2+bx2=x2(a+b)=36×(46+54)=3600
(2)a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=200×2=400
我们知道，利用整式的乘法运算，有时可以将几个整式的乘积化为一个多项式的形式. 反过来，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.
请把下列多项式写成整式的乘积的形式：
(1) x2+x=__________；(2) x2-1=__________.
x(x+1)
(x+1) (x-1)
我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
因式分解
整式乘法
例1.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】解：A．由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B．，原式等式两边不相等，即从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
A
【点睛】因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
下列各式从左边到右边的变形是因式分解的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
观察下列多项式有何共同特点？
ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b.
ab+ac； 3x2+x； mb2+nb+b.
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
如：pa+pb+pc的公因式是p.
说出下列各多项式的公因式：
(1) ma+mb；_____ (2) 4kx-8ky；_____
(3) 5y3+20y2；_____ (4) a2b-2ab2+ab. _____
m
4k
5y2
ab
正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数 相同字母 最低指数
例2.(1)多项式中各项的公因式是（ ）
A． B． C． D．
(2)式子，，中的公因式是（ ）
A． B． C． D．
【分析】解：因为5a2b(b a)＝ 5a2b(a b)， 120a3b3(a2 b2)＝ 120a3b3(a＋b)(a b)，
所以式子15a3b3(a b)，5a2b(b a)， 120a3b3(a2 b2)中的公因式是5a2b(b a)．
故选：A．
【分析】解：在多项式中，各系数的最大公因式为5，相同字母的最低次幂为，则各项的公因式是．故选：C．
C
A
1．与的公因式为（ ）
A． B． C． D．
3．多项式2xmyn-1﹣4xm-1yn（m，n均为大于1的整数）各项的公因式是（ ）
A．4xm-1yn-1 B．2xm-1yn-1 C．2xmyn D．4xmyn
2．多项式的公因式是（ ）
A． B． C． D．
C
C
B
ma+mb+mc=
m(a+b+c)
公因式
提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
例3.把8a3b2 + 12ab3c分解因式.
分析：8与12的最大公约数是___；相同字母有___和___；a的最低指数___，b的最低指数___；公因式是_____.
解：8a3b2+12ab3c
=4ab2·2a2+4ab2·3bc
=4ab2(2a2+3bc)
4
a
b
1
2
4ab2
可用整式乘法来检验因式分解是否正确.
例4.把下列各式分解因式：
(1) 2a(b+c) - 3(b+c)； (2) 3x2-6xy+x.
解：(1) 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3)
(2) 3x2-6xy+x
=x(3x-6y+1)
【点睛】提公因式法步骤（分两步）
第一步：找出公因式；
第二步：提取公因式，将多项式化为两个因式的乘积.公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.可用整式乘法来检验因式分解是否正确.
把下列各式分解因式：
(1) ax+ay (2) 3mx-6my (3) 8m2n+2mn (4) 12xyz-9x2y2
(5) 2a(y-z)-3b(z-y) (6) p(a2+b2)-q(a2+b2)
解：(1) ax+ay=a(x+y)
(2) 3mx-6my=3m(x-2y)
(3) 8m2n+2mn=2mn(4m+1)
(4) 12xyz-9x2y2=3xy(4z-3xy)
(5) 2a(y-z)-3b(z-y)=2a(y-z)+3b(y-z)=(y-z)(2a+3b)
(6) p(a2+b2)-q(a2+b2)=(a2+b2)(p-q)
例5.计算：
(1)39×37－13×91； (2)29×20.21＋72×20.21＋13×20.21－20.21×14.
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
＝13×20
＝260；
(2)原式＝20.21×(29＋72＋13－14)
＝2021.
【点睛】在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．
例6.已知，那么代数式的值是（ ）
A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001
【分析】解：∵，
∴，
∴
，
故选：B．
B
1．下列因式分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是（ ）
A．4ab2c B．ab2 C．4ab2 D．4a3b2c
3.已知多项式3x2+mx+n分解因式的结果为(3x+2)(x-1)，则m,n的值分别为（ ）
A. m=1, n=-2 B. m=-1, n=-2 C. m=2,n=-2 D. m=-2，n=-2
B
C
B
4.把5（a－b）＋m（b－a）提公因式后一个因式是（a－b），则另一个因式是（ ）
A．5－m B．5＋m C．m－5 D．－m－5
5．计算的结果为（ ）
A．2021 B．20210 C．202100 D．2021000
6．相邻边长为a，b的矩形，若它的周长为20，面积为24，则的值为（ ）
A．480 B．240 C．120 D．100
A
C
B
7．一个两位数，将它的十位数字与个位数字对换，这两个两位数的和一定被_____整除．
8．已知方程，则代数式的值是_______．
9．已知，则多项式的值为________．
10．若，则等于______.
11
-10
2017
2018
11．因式分解：
(1) ; (2); (3) (4)
（1）解：原式=
（2）解：原式=
（3）解：原式=
（4）解：原式=
12．因式分解：
(1); (2) (2x+1)(3x-2)－.
解：
．
解：（2x+1）（3x-2）－
=（2x+1）（3x-2-2x-1）
=（2x+1）（x-3）
13．先因式分解，再计算求值：
，其中．
解：
当时，
原式．
14．已知，求的值．
解：∵6x 3y 1＝0，xy＝2，
∴2x y＝，
∴当2x y＝，xy＝2时，
原式＝（xy）3 （2x y）
＝23×
＝．
15．阅读理解，并解答下面的问题：
拆项法原理：在多项式乘法运算中，常经过整理、化简，通常将几个同类项合并为一项，或相互抵消为零．反过来，在对某些多项式分解因式时，需要恢复那些被合并或相互抵消的项，即把多项式中的某一项拆成两项或多项（拆项）．
例：分解因式：＋4x＋3
解：原式＝＋x＋3x＋3把4x分成x和3x，
＝（＋x）＋（3x＋3）将原式分成两组
＝x（x＋1）＋3（x＋1）对每一组分别提取公因式
＝（x＋3）（x＋1）继续提公因式
请类比上面的示例，分解因式：＋5x＋6
解：原式=＋2x＋3x＋6
．
16．阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是____________，共应用了______次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)2004，则需应用上述方法______次，结果是_______.
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+···+ x(x+1)n(n为正整数).
（3）分解因式：1+x+x（x+1）+x（x+1）2···+x（x+1）n（n为正整数）的结果是：（x+1）n+1．
提公因式法
2
2004
(x+1)2005
我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
因式分解
整式乘法
正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
一看系数 二看字母 三看指数
最大公约数 相同字母 最低指数
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
如：pa+pb+pc的公因式是p.
ma+mb+mc=
m(a+b+c)
公因式
提公因式法
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
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