14.3.2 运用平方差公式因式分解 精品课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
14.3.2 运用平方差公式因式分解
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．（重点）
2.能综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．（难点）
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
填一填：
(1) (x+5)(x-5)=__________
(2) (3x+y)(-y+3x)=__________
(3) (-3a+1)(-1-3a)=__________
x2-25
9x2-y2
9a2-1
(1) 982-22=_______.
(2) 已知a+b=4，a-b=2，则a2-b2=____.
你能说说算得快的原因吗？
9600
8
解:(1) 982-22=(98+2)(98-2)=100×96=9600
(2) a2-b2=(a+b)(a-b)=4×2=8
把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到
a2-b2=(a+b)(a-b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
例1.下列多项式不能用平方差公式分解因式的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】解：A. ，故该选项不符合题意；
B. ，不能用平方差公式分解因式，故该选项符合题意；
C. ，故该选项不符合题意；
D. ，故该选项不符合题意．
故选B．
B
下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？
(1) x2+y2 ( )____________________；
(2) x2-y2 ( )____________________；
(3) -x2+y2 ( )____________________；
(4) -x2-y2 ( )____________________.
不能
能
能
不能
这是平方和
x2-y2=(x+y)(x-y)
-x2+y2=(y+x)(y-x)
这是平方和的相反数
【点睛】符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成: ( )2-( )2的形式. 简单说成“两数是平方，减号在中央.”
例2.分解因式：
(1) 4x2-9 (2) (x+p)2-(x+q)2
分析：在(1)中，4x2=(2x)2，9=32，4x2-9=(2x)2-32；
在(2)中，把(x+p)和(x+q)各看成一个整体，设x+p=m，x+q=n，则原式化为m2-n2.
解：(1) 4x2-9
=(2x)2-32
=(2x+3)(2x-3)
(2) (x+p)2-(x+q)2
=[(x+p)+(x+q)][(x+p)-(x+q)]
=(2x+p+q)(p-q)
【点睛】公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.
例3.分解因式：
(1) x4-y4 (2) a3b-ab
分析：对于(1)，x4-y4可以写成(x2)2-(y2)2的形式，这样就可以用平方差公式进行因式分解了；
对于(2)，a3b-ab有公因式ab，应先提出公因式，再进一步分解.
解：(1) x4-y4
=(x2+y2)(x2-y2)
=(x2+y2)(x+y)(x-y)
(2) a3b-ab
=ab(a2-1)
=ab(a+1)(a-1)
【点睛】分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止．
分解因式：
(1) a2- b2 (2) 9a2-4b2 (3) x2y-4y (4) -a4+16
解：(1) a2- b2 =(a+b)(a-b)
(2) 9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b)
(3) x2y-4y=y(x2-4) =y(x+2)(x-2)
(4) -a4+16=16-a4=(4+a2)(4-a2) =(4+a2)(2+a)(2-a)
例4.计算下列各题：
(1)1012－992； (2)53.52×4－46.52×4.
解：(1)原式＝(101＋99)×(101－99)＝400；
(2)原式＝4×(53.52－46.52)
=4×(53.5＋46.5)×(53.5－46.5)
＝4×100×7=2800.
【点睛】较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.
利用因式分解简便运算:
(1) 9982-22 (2) 1.992-2.992 (3)1.222×9-1.332×4.
解:(1)原式=(998+2)(998-2)=1000×996=996000
(2)原式=(1.99+2.99)(1.99-2.99)=4.98×(-1)=-4.98
(3)原式=1.222×32-1.332×22
=(1.22×3+1.33×2)×(1.22×3-1.33×2)
=(3.66+2.66)×(3.66-2.66)
=6.32×1
=6.32
例5.求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n 2=8n.
∵n为整数，
∴8n被8整除，
即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．
【点睛】解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．
1．下列多项式中，能用平方差公式进行因式分解的是（ ）
A．a2﹣b B．a2+2b2 C．9a2﹣b2 D．﹣a2﹣b2
2．分解因式的结果为（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，那么的值为（ ）
A．5 B．4 C．9 D．20
4．当为自然数时，一定能被下列哪个数整除（ ）
A． B． C． D．
C
D
D
D
5．因式分解：__________________．
6．分解因式：_______________．
7．若_____.
8．若，则______．
9．若a、b、c分别是三角形的3条边的长，请判断代数式的值_______0（填“大于”、“小于”或“等于”）
(7x+3y)(3x+7y)
－10
-2
小于
10．因式分解．
(1)； (2)；
(3) (4)．
（1）解：=；
（2）解：；
（3）解：
；
（4）解：.
11．计算：
解：原式＝
．
12．（1）观察下列式子的因式分解做法：
① ；
②
③
......
（2）模仿以上做法，尝试对进行因式分解；
（3）观察以上结果，猜想 ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（4）根据以上结论，试求的值．
解：（1）(x+1)(x-1)；
故答案为：(x+1)(x-1)；
（2）模仿以上做法，尝试对进行因式分解；
（2）解
；
（3）观察以上结果，猜想 ；（n为正整数，直接写结果，不用验证）
（4）根据以上结论，试求的值．
解：（3）；
（4）
．
a2-b2=(a+b)(a-b)
两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.
谢谢
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