14.3.3 运用完全平方公式因式分解 精品课件(共36张PPT)

(共36张PPT)
八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
14.3.3 运用完全平方公式因式分解
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重点）
2.灵活应用各种方法分解因式，并能利用因式分解进行计算．（难点）
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.
可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
(简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”)
计算下列各式：
①(x+2)2=____________； ②(x-2)2=____________；
③(2x+3y)2=______________； ④(2x-3y)2=______________.
x2＋4x＋4
x2 - 4x＋4
4x2+12xy＋9y2
4x2-12xy＋9y2
多项式 a2+2ab+b2 与 a2-2ab+b2 有什么特点？你能将它们分解因式吗？
（1）每个多项式有几项？
（3）中间项和第一项、第三项有什么关系？
（2）每个多项式的第一项和第三项有什么特征？
这两项都是数或式的平方，并且符号相同
中间项是第一项和第三项底数的积的±2倍
三项
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)
2.有两个同号的平方项
3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
判断下列各式是不是完全平方式.
(1) a2-2ab-b2 ( ) (2) a2+b2-2ab ( ) (3) -6xy+9x2+y2 ( )
(4) a2-6ab+b2 ( ) (5) x2+x+ ( ) (6) m2+4mn+2n2 ( )
×
√
√
√
×
×
例1.已知是完全平方式，则m的值为（ ）
A．8 B． C．24 D．
【分析】解：∵是一个完全平方式，
∴mx＝±2 2x 6，
解得：m＝±24，
故选：D．
D
【点睛】本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
1．已知是一个完全平方式，则常数k为（　　）
A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4
2.如果x2-mx+16是一个完全平方式,那么常数m的值为________.
±8
C
把整式乘法的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2
的等号两边互换位置，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
例2.分解因式：
(1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2
分析：在(1)中，16x2=(4x)2，9=32，24x=2·4x·3，所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即
16x2+24 x+9= (4 x)2 + 2·4 x·3 + 32
a2
+
2 · a ·b + b2
解：(1)原式=(4 x)2+2·4 x·3+32
=(4x+3)2
例2.分解因式：
(1) 16x2+24x+9 (2) -x2+4xy-4y2
(2)原式=-(x2-4xy+4y2)
=-[(x2-2·x·2y+(2y)2]
=-(x-2y)2
分析:(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2)，然后再利用公式分解因式.
分解因式：
(1) x2+12x+36 (2) -2xy-x2-y2 (3) a2+2a+1 (4) 4x2-4x+1
解：(1)原式= x2+2·x 6+62=(x+6)2
(2)原式= -(x2+2xy+y2)=-(x+y)2
(3)原式=(a+1)2
(4)原式=(2x)2-2·2x·1+1=(2x-1)2
例3.分解因式：
(1) 3ax2+6axy+3ay2 (2) (a+b)2-12(a+b)+36
分析：(1)中有公因式3a，应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m，则原式化为完全平方式m2-12m+36.
解：(1)原式=3a(x2+2xy+y2)
=3a(x+y)2
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b)·6+62
=(a+b-6)2
分解因式：
(1) ax2+2a2x+a3 (2) -3x2+6xy-3y2 (3) (x+y)2-12x-12y+36
解：(1)原式= a(x2+2ax+a2)
=a(x+a)2
(3)原式=(x+y)2-12(x+y)+36
=(x+y)2-2·(x+y)·6+62
=(a+b-6)2
(2)原式= -3(x2-2xy+y2)
=-3(x-y)2
把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+
2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：
用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
例4.把下列各式分解因式:
(1) (x2+y2)2-4x2y2 (2)4x2(x-1)-16(1-x)2 (3)16x4-72x2+81
解: (1) 原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)
=(x+y)2(x-y)2
(2)原式=4x2(x-1)-16(x-1)2
=4(x-1)[x2-4(x-1)]
=4(x-1)(x2-4x+4)
=4(x-1)(x-2)2
(3)原式=(4x2)2-2 · 4x2 · 9+92
= (4x2-9)2
=[(2x+3)(2x-3)]2
=(2x+3)2(2x-3)2
例5.简便计算：
(1)1002－2×100×99+99 ； (2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=（100－99)
=1；
(2)原式＝(34＋16)2
＝2500.
例6.已知三边长a，b，c满足，试判断的形状．
解：∵
=0，
∴，，，
∴，，，
∴为等腰三角形．
已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等边三角形．理由如下：
由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
1.下列式子为完全平方式的是( )
A. a2+2a+b2 B. a2+2a+2 C. a2-2+b2 D. a2+2a+1.
2.分解因式x2-2x+1的最终结果是( )
A.x(x-2)+1 B. (x+1) (x-2) C. (x-1)2 D. (x+1)2
3.分解因式后结果是-(x-y)2的多项式是( )
A.-x2+2xy-y2 B. x2-2xy-y2 C. x2-2xy+y2 D. -x2-2xy-y2
D
C
A
4.下列分解因式错误的是( )
A. x2-y2= (x+y) (x-y) B. x2+6x+9= (x+3)2
C. x2+xy=x (x+y) D. x2+y2= (x+y)2
5.若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( )
A.1或-3 B. -1或3 C.±1 D.±3
6.已知，则代数式的值为（ ）
A．2020 B．2024 C．2021 D．2034
D
A
D
7．分解因式：___________．
8．因式分解：______________．
9．分解因式__________________________．
10．若x2﹣8x+m2＝(x﹣4)2，那么m＝_____．
11．若可以用完全平方式来分解因式，则m的值为__________．
或9
12．分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4).
（1）解：
；
（2）解：
；
12．分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4).
（3）解：
12．分解因式：
(1)； (2)；
(3)； (4).
（4）解：＝
＝
＝．
13．计算：
（1）（2）.
解：（1）
．
（2）20222-2022×4042+20212
=20222-2×2022×2021+20212
=（2022-2021）2
=12
=1．
14.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
当a－b＝3时，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
当ab＝2，a＋b＝5时，
原式＝2×52＝50.
15．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足：，求的周长．
解：∵，
∴，
∴，
∴a-2=0，b-5=0，
解得a=2，b=5，
∵的三边长a、b、c都是正整数，5-2∴315．已知的三边长a、b、c都是正整数，且满足：，求的周长．
∴c=4或5或6，
当c=4时，的周长为2+4+5=11；
当c=5时，的周长为2+5+5=12；
当c=6时，的周长为2+5+6=13；
综上，的周长为11或12或13．
完全平方式的特点：
1.必须是三项式(或可以看成三项的)
2.有两个同号的平方项
3.有一个乘积项(等于平方项底数的±2倍)
简记口诀：首平方，尾平方，首尾两倍在中央.
我们把a +2ab+b 和a -2ab+b 这样的式子叫做完全平方式.
把整式乘法的完全平方公式
(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2
的等号两边互换位置，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2
两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.
把整式乘法的平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2和完全平方公式：(a+b)2=a2+
2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式：
用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.
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