第14章 整式的乘除与因式分解章节复习 精品课件(共65张PPT)

(共65张PPT)
八上数学同步精品课件
人教版八年级上册
14.4整式的乘除与因式分解章节复习
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
1.梳理本章的知识，并会归纳总结;
2.熟练地运用法则进行整式的乘除运算;
3.熟练地运用平方差公式和完全平方公式;
4.会对一个多项式进行因式分解.
一、幂的乘法运算
同底数幂乘法法则：
am an=______.(m，n都是正整数) 即：同底数幂相乘，底数_____，指数_____.
条件：
结果：
am+n
不变
相加
①底数不变
①乘法
②同底数幂
②指数相加
拓展：当三个或三个以上同底数幂相乘时，
am·an·ap=______.(m，n，p都是正整数)
am+n+p
一、幂的乘法运算
幂的乘方法则：
(am)n=______.(m，n都是正整数) 即：幂的乘方，底数_____，指数_____.
amn
不变
相乘
拓展：[(am)n]p = amnp （m，n，p都是正整数）
n为偶数,
n为奇数.
幂的乘方法则的逆用：
amn = (am)n
= (an)m
一、幂的乘法运算
积的乘方法则：
(ab)n=______.(n为正整数) 即：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.
anbn
拓展：(abc)n=anbncn.
积的乘方公式的逆用：
anbn=(ab)n
二、整式的乘法
单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
【三步走】
（1）系数相乘；
（2）相同字母的幂相乘；
（3）其余字母连同它的指数不变，作为积的因式.
二、整式的乘法
单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
注：积的项数与多项式的项数相同.
单项式与多项式相乘
单项式与单项式相乘
乘法分配律
转化
二、整式的乘法
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
多乘多顺口溜：
多乘多，来计算，多项式各项都见面，
乘后结果要相加，化简、排列才算完.
三、整式的除法
同底数幂的除法法则：
am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m＞n)即 同底数幂相除，底数_____，指数_____.
不变
相减
规定：a0=1(a≠0) 这就是说，任何不等于0的数的0次幂都等于1.
三、整式的除法
单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
四、乘法公式
(a+b)(a-b)=a2-b2
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.
公式变形:
1.(a – b ) ( a + b) = a2 - b2
2.(b + a )( -b + a ) = a2 - b2
四、乘法公式
(a＋b)2=a2＋2ab＋b2，(a－b)2=a2－2ab＋b2.
可以合写成 (a±b)2=a2±2ab＋b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们的积的2倍.
注：公式中的字母a、b可以表示数、单项式和多项式.
(简记为：“首平方，尾平方，积的2倍中间放”)
四、乘法公式
1.添括号与去括号是互逆的，符号的变化是一致的. 添括号是否正确可用去括号检验.
2.不论怎样添括号，原式的值都不能改变，添括号法则在利用乘法公式的计算中应用较多.
五、因式分解
我们把一个多项式化成了几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解与整式乘法是方向相反的变形，即
因式分解
整式乘法
五、因式分解
正确找出多项式的公因式的步骤：
1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
2.定字母：字母取多项式各项中都有的相同的字母.
3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母的最低次数.
多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
如：pa+pb+pc的公因式是p.
五、因式分解
如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
五、因式分解
例1.计算：
(1)(a+b)2·(a+b)3 (2)(m-n)3·(m-n)2·(m-n)6 (3)(x-y)2·(y-x)5
解:(1)(a+b)2·(a+b)3 =(a+b)2+3 =(a+b)5
(2)(m-n)3·(m-n)2·(m-n)6 =(m-n)3+2+6 =(m-n)11
(3)(x-y)2·(y-x)5 =(y-x)2·(y-x)5 =(y-x)2+5 =(y-x)7
【点睛】公式am·an=am+n中的底数a不仅可以代表数、单项式，还可以代表多项式等其他代数式.当底数互为相反数的幂相乘时，先把底数统一，再进行计算．
n为偶数，
n为奇数.
同底数幂的乘法及其逆用
1
例2. (1)若xa＝3，xb＝4，xc＝5，求2xa＋b＋c的值；
(2)已知23x＋2＝32，求x的值.
(2)∵ 23x＋2＝32＝25，
∴3x＋2＝5，
∴x＝1.
解：(1) 2xa＋b＋c＝2xa·xb·xc＝120；
【点睛】(1)关键是逆用同底数幂的乘法公式，将所求代数式转化为几个已知因式的乘积的形式，然后再求值.
(2)关键是将等式两边转化为底数相同的形式，然后根据指数相等列方程解答.
【1-1】计算:(1) x4·x6=____;(2) a·a4=_____;
(3)5×54×53=______;(4) x2n+1·x3n-1=______.
【1-2】若am=3，an=5，则am+n等于( )
A.243 B.125 C.8 D.15
x10
a5
58
x5n
D
【1-3】计算下列各题：
(4)－a3·(－a)2·(－a)3.
(2)(a-b)3·(b-a)4;
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3;
(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3;
解：(1)(2a＋b)2n＋1·(2a＋b)3=(2a＋b)2n＋4；
(2)(a-b)3·(b-a)4=(a-b)7；
(3) (-3)×(-3)2 ×(-3)3=36；
(4)－a3·(－a)2·(－a)3=a8.
幂的乘方及其逆用
2
例3.计算：
(1) (x4)3·x6;
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18；
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10
= －a2·a2·a6＋a10
= －a10＋a10
= 0
【点睛】与幂的乘方有关的混合运算中，一般先算幂的乘方，再算同底数幂的乘法，最后算加减，然后合并同类项．
例4.已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m； (2)102n； (3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27；
(2)102n＝(10n)2＝22＝4；
(3)103m＋2n＝103m×102n＝(10m)3× (10n)2 =27×4＝108.
【点睛】此类题的关键是逆用幂的乘方及同底数幂的乘法公式，将所求代数式正确变形，然后代入已知条件求值即可.
例5.比较3500，4400，5300的大小.
分析：这三个幂的底数不同,指数也不相同,不能直接比较大小,通过观察,发现指数都是100的倍数,故可以考虑逆用幂的乘方法则.
解:3500=(35)100=243100,4400=(44)100=256100,5300=(53)100=125100.
∵256>243>125,
∴4400>3500>5300.
【点睛】比较底数大于1的幂的大小的方法有两种：(1)底数相同，指数越大，幂就越大；(2)指数相同，底数越大，幂就越大.故在此类题中，一般先观察题目所给数据的特点，将其转化为同底数的幂或同指数的幂，然后再进行大小比较.
【2-1】下列计算正确的是（ ）
A．a3·a2=a6 B．（a3）2=a5 C．（a2）3=a6 D．a2+a3=a5
【2-2】若，则等于（ 　）
A． B． C． D．
【2-3】已知，，，，则 a、b、c的大小关系是（ ）
A．b>c>a B．a>b>c C．c>a>b D．aC
D
A
【2-4】计算：
(1)； (2)； (3)； (4).
解：（1）
（2）
（3）
（4）
积的乘方及其逆用
3
例6.计算：
(1)(-4ab)3； (2)(-3ab2c3)3； (3)(-xmy3n)2.
解：
(1)(-4ab)3=(-4)3·a3·b3=-64a3b3
(2)(-3ab2c3)3=(-3)3·a3·(b2)3·(c3)3=-27a3b6c9
(3)(-xmy3n)2=(-1)2·(xm)2·(y3n)2=x2my6n
例7.计算：(1)0.22022×52022； (2)
解：(1)0.22022×52022
=(0.2×5)2022
=12022
=1
解：(2)
【点睛】逆用积的乘方公式an·bn＝(ab)n，要灵活运用，对于不符合公式的形式，要通过恒等变形，转化为公式的形式，再运用此公式可进行简便运算．
【3-1】若(2ambm+n)3=8a9b15成立，则( )
m=3，n=2 B. m=n=3 C.m=6,n=2 D.m=3，n=5
【3-2】现规定一种新的运算“※”:a※b=ba，如3※2=23=8，则2※(-5)
=______，3※(-2x3y4)=__________.
A
25
-8x9y12
【3-3】计算：
（1）（2）
（1）解原式
（2）解原式
整式的乘法
4
例8.计算：
(2x)3(-5xy2); (2) 3x2y2 (-2xy2z)2 ; (3) (x3y)(-3xy2)3(x)2.
解：(1) (2x)3(-5xy2) =8x3(-5xy2)= [8×(-5)](x3·x)·y2=-40x4y2
(2)
(3)
例9.若与的积与是同类项，求m、n．
解：∵ ，
又∵与的积与是同类项，
∴
解得：m＝2，n＝3．
【点睛】单项式乘单项式就是把它们的系数和同底数幂分别相乘，结合同类项的定义，列出二元一次方程组求出参数的值，然后代入求值即可．
例10.计算:
(1); (2) [xy(x2﹣xy)﹣x2y(x﹣y)] 3xy2
解：
．
解：[xy（x2﹣xy）﹣x2y（x﹣y）] 3xy2
＝（x3y﹣x2y2﹣x3y+x2y2） 3xy2
＝0．
例11.先化简，再求值：(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)－a(a－5b)(a＋3b)，其中a＝－1，b＝1.
当a＝－1，b＝1时，
解：原式＝a3－8b3－(a2－5ab)(a＋3b)
＝a3－8b3－a3－3a2b＋5a2b＋15ab2
＝－8b3＋2a2b＋15ab2.
原式＝－8＋2－15＝－21.
例12.已知ax2＋bx＋1(a≠0)与3x－2的积不含x2项，也不含x项，求系数a、b的值．
解：(ax2＋bx＋1)(3x－2)
＝3ax3＋(－2a＋3b)x2＋(－2b＋3)x－2.
∵积不含x2项，也不含x项，
【点睛】解决此类问题首先要利用多项式乘法法则计算出展开式，合并同类项后，再根据不含某一项，可得这一项系数等于零，再列出方程(组)解答．
【4-1】计算2x(3x2+1)，正确的结果是( )
A.5x3+2x B.6x3+1 C.6x3+2x D.6x2+2x
【4-2】在一次数学课.上，学习了单项式乘多项式.小明回家后拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题: -3x(-2x2+3x-1)=6x3+□+3x，“□”的地方被墨水污染了，你认为“□”内应填写( )
A.9x2 B.-9x2 C.9x D.-9x
【4-3】要使6x3(x2+ax+1)的展开式中不含x4项，则a应等于( )
A.-6 B. -1 C. D.0
C
B
D
【4-4】计算:
(2x+3y) (x -2y) (2) (-2a+3) (5+a) (3) (-3m+2)2
(4) (m+2) (2m2-m-3)
解: (1) 原式= 2x2-4xy+3xy-6y2=2x2-xy -6y2
(2)原式=-10a-2a2+15+3a=-2a2-7a+15
(3)原式= (-3m+2) (-3m+2)= 9m2-6m-6m+4= 9m2-12m+4
(4)原式= 2m3-m2-3m+4m2-2m-6= 2m3-m2+4m2-3m-2m-6= 2m3+3m2-5m-6
同底数幂的除法及其逆用
5
例13.计算：
(1)(－xy)13÷(－xy)8；(2)(x－2y)3÷(2y－x)2；(3)(a2＋1)6÷(a2＋1)4÷(a2＋1)2.
(3)原式＝(a2＋1)6－4－2＝(a2＋1)0＝1.
解：(1)原式＝(－xy)13－8＝(－xy)5＝－x5y5；
(2)原式＝(x－2y)3÷(x－2y)2＝x－2y；
例14. 已知am＝12，an＝2，a＝3，求am－n－1的值．
【点睛】解此题的关键是逆用同底数幂的除法即am－n =am÷an，对am－n－1进行变形，再代入数值进行计算．
解：∵am＝12，an＝2，a＝3，
∴am－n－1＝am÷an÷a＝12÷2÷3＝2.
【5-1】a12 ÷ a5=_____,(ab)3 ÷ (ab)2=_____.
(a+b)6÷(a+b)2=______，(a-c)8÷ (c-a)2=______.
【5-2】若2m=15，2n=5，则2m-n的值是_____.
a7
ab
(a-c)6
3
【5-3】计算：
(1) x7÷x5 (2) m8÷m8 (3) (-a)10÷(-a)7 (4) (xy)5÷(xy)3
解：(1) x7÷x5=x7-5=x2
(2) m8÷m8=m8-8=m0=1
(3) (-a)10÷(-a)7=(-a)10-7=(-a)3=-a3
(4) (xy)5÷(xy)3=(xy)5-3=(xy)2=x2y2
(a+b)4
整式的除法
6
例15.计算：
(12a3-6a2+3a)÷3a ； (2) (6x3y4z－4x2y3z＋2xy3)÷2xy3.
解：(1)原式=12a3÷3a-6a2÷3a+3a÷3a
=4a2-2a+1；
(2)原式=6x3y4z÷2xy3－4x2y3z÷2xy3＋2xy3÷2xy3
=3x2yz－2xz＋1.
例16.先化简，后求值：[2x(x2y－xy2)＋xy(xy－x2)]÷x2y，其中x=2022，y=2021.
解：原式＝(2x3y－2x2y2＋x2y2－x3y)÷x2y
原式＝x－y＝2022－2021＝1.
＝x－y.
把x＝2022，y＝2021代入上式，得
【6-1】(16x3-8x2+____ ) ÷ (-2x)=-8x2+4x-2
【6-2】若某长方形的面积为4a2-6ab+2a,它的长为2a，则它的宽是_________.
4x
2a-3b+1
解：(1)原式=6ab÷a+5a÷a=6b+5;
(2)原式=15x2y÷5xy-10xy2÷5xy=3x-2y;
(3)原式＝72x3y4÷(－9xy2)＋(－36x2y3)÷(－9xy2)＋9xy2÷(－9xy2)
＝－8x2y2＋4xy－1.
【6-3】计算：
(6ab+5a)÷a ; (2)(15x2y-10xy2)÷5xy; (3)(72x3y4-36x2y3＋9xy2)÷(-9xy2)．
乘法公式的运用
7
例17.计算：
(1)(2) .
（1）解：原式＝
；
（2）解：原式=
=
例18.运用乘法公式计算：
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) (2) (a+b+c)2
解：(1) (x+2y-3)(x-2y+3)
=[(x+(2y-3)][(x-(2y-3)]
=x2-(2y-3)2
=x2-(4y2-12y+9)
=x2-4y2+12y-9
(2) (a+b+c)2
=[(a+b)+c]2
=(a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2
=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc
【点睛】第1小题选用平方差公式进行计算，需要分组.分组方法是“符号相同的为一组，符号相反的为另一组”.第2小题要把其中两项看成一个整体，再按照完全平方公式进行计算.
例19.化简求值：已知，求代数式的值．
解：∵，
∴，
原式＝
，
∵，
∴原式．
例20.（1）已知，，求①的值；②的值；
（2）已知，求的值．
解：（1）①，，
，
．
②，
．
例20.（1）已知，，求①的值；②的值；
（2）已知，求的值．
解：（2），且，
，
，
，
．
【7-1】下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【7-2】计算：（　 ）
A.﹣2000 B.﹣1995 C.2000 D.1995
【7-3】(2+1)(22+1)(24+1)…(216+1)的结果为（ ）
A．232-1 B．232+1 C．232 D．216
B
B
A
【7-4】计算：
(1) (2)2(x﹣1)2 ﹣x(x﹣2)+(3x﹣2)(3x+2).
（1）解原式=
=
=；
（2）解原式=
=10x2﹣2x﹣2．
【7-5】运用乘法公式计算:
(1) (x-3y+1)2 (2) (3a+b-c) (3a-b+c) (3) 29×31×(302+1)
(3)原式=(30-1) × (30+1) × (302+1)
= (302-1) × (302+1)
= (302)2-12
=9002-1
=810000-1
=809999
【7-6】先化简，再求值：，其中，b=2．
解原式
，
将，b=2代入，
原式．
因式分解及应用
8
例21.下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】解：A．由左边到右边的变形属于因式分解，故本选项符合题意；
B．，原式等式两边不相等，即从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C．从等式的左边到右边的变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
D．从等式的左边到右边的变形属于整式乘法，不属于因式分解，故本选项不符合题意；
故选：A．
A
【点睛】因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解的右边是两个或几个因式积的形式，整式乘法的右边是多项式的形式．
例22.已知是完全平方式，则m的值为（ ）
A．8 B． C．24 D．
【分析】解：∵是一个完全平方式，
∴mx＝±2 2x 6，
解得：m＝±24，
故选：D．
D
【点睛】本题要熟练掌握完全平方公式的结构特征， 根据参数所在位置，结合公式，找出参数与已知项之间的数量关系，从而求出参数的值.计算过程中，要注意积的2倍的符号，避免漏解．
例23.把下列各式分解因式:
(1) (x2+y2)2-4x2y2 (2)4x2(x-1)-16(1-x)2 (3)16x4-72x2+81
解: (1) 原式=(x2+y2+2xy)(x2+y2-2xy)
=(x+y)2(x-y)2
(2)原式=4x2(x-1)-16(x-1)2
=4(x-1)[x2-4(x-1)]
=4(x-1)(x2-4x+4)
=4(x-1)(x-2)2
(3)原式=(4x2)2-2 · 4x2 · 9+92
= (4x2-9)2
=[(2x+3)(2x-3)]2
=(2x+3)2(2x-3)2
例24.已知，那么代数式的值是（ ）
A．2000 B．－2000 C．2001 D．－2001
【分析】解：∵，
∴，
∴
，
故选：B．
B
例25.已知三边长a，b，c满足，试判断的形状．
解：∵
=0，
∴，，，
∴，，，
∴为等腰三角形．
【8-1】多项式4ab2+16a2b2﹣12a3b2c的公因式是（　　）
A．4ab2c B．ab2 C．4ab2 D．4a3b2c
【8-2】下列分解因式错误的是( )
A. x2-y2= (x+y) (x-y) B. x2+6x+9= (x+3)2
C. x2+xy=x (x+y) D. x2+y2= (x+y)2
【8-3】若x2- 2(k+1)x+4是完全平方式，则k的值为( )
A.1或-3 B. -1或3 C.±1 D.±3
【8-4】若，则等于______.
C
D
A
2018
【8-5】已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，请判断△ABC的形状，并说明理由．
解：△ABC是等边三角形．理由如下：
由a2＋2b2＋c2－2b(a＋c)＝0，
得a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0，
即(a－b)2＋(b－c)2＝0，
∴a－b＝0，b－c＝0，
∴a＝b＝c，
∴△ABC是等边三角形．
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