2022年秋季北师版数学九年级上册第六章 《反比例函数》单元检测A

2022年秋季北师版数学九年级上册第六章 《反比例函数》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·上海市）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（　　）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0）
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数的性质先求出k=xy<0，再对每个选项一一判断即可。
2．（2021·湘西）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为 的函数图象.根据这个函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．图象与 轴没有交点
B．当 时
C．图象与 轴的交点是
D． 随 的增大而减小
【答案】A
【知识点】函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由图象可得： ，即 ，
A、图象与x轴没有交点，正确，故符合题意；
B、当 时， ，错误，故不符合题意；
C、图象与y轴的交点是 ，错误，故不符合题意；
D、当 时，y随x的增大而减小，且y的值永远小于0，当 时，y随x的增大而减小，且y的值永远大于0，错误，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】由函数解析式知y≠0，故图象与x轴无交点，据此判断A；当 时，函数图象在x轴下方，据此判断B错误；当x=0时，y=-2，即得图象与y轴的交点是 ，据此判断C；由图象知在每个分支上，y随x增大而减小，据此判断D即可.
3．（2022·西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】反比例函数y=（k≠0）中，当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限；一次函数y=ax+b（a≠0）中，当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，据此一一判断得出答案.
4．（2022·郴州）如图，在函数 的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图象于点B，连接OA，OB，则 的面积是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：令AB与y轴的交点为C，
∵点A、B分别在反比例函数y=、y=上，
∴S△AOC=1，S△BOC=4，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=5.
故答案为：B.
【分析】令AB与y轴的交点为C，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=1，S△BOC=4，相加即可.
5．（2022·日照）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（　　）
A．3 B．-3 C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出k2-k1=3，最后求解即可。
6．（2022·长春）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（　　）
A． B． C． D．4
【答案】C
【知识点】旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示，
∵P点纵坐标为：2，
∴P点坐标表示为：（，2），PQ=2，
由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，
∴∠MQN=30°，
∴MN=，QN=，
∴，
即：，
解得：k=，
故答案为：C．
【分析】作MN⊥x轴交于点N，由P点纵坐标得出P点坐标，推出PQ=2，由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，得出，即可得出k的值。
7．（2022·龙东）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（　　）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，
∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，
∴，AB∥OD，
∴AB⊥y轴，
∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：D．
【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，再利用反比例函数k的几何意义可得，所以，再求出k的值即可。
8．（2022·十堰）如图，正方形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上.若 轴，点 的横坐标为3，则 （　　）
A．36 B．18 C．12 D．9
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）.
∴点D的坐标为（3， ），
∴点C的坐标为（3-t， +t）.
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴（3-t）（ +t）=k2，化简得：t=3- ，
∴点B的纵坐标为 +2t= +2（3- ）=6- ，
∴点B的坐标为（3，6- ），
∴3×（6- ）= ，整理，得： + =18.
故答案为：B.
【分析】连接AC，与BD相交于点P，设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），可得点D（3， ），点C（3-t， +t），将点C代入y= 中，可得t=3- ，从而求出点B（3，6- ），将点B坐标代入 中，即可求解.
9．（2022·朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（　　）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（-2，m）和B两点，
∴B（2，m），
∴不等式ax＞的解集为x＜2或0＜x＜2，
故答案为：D．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
10．（2022·通辽）如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图象经过，两点，则k的值是（　　）
A． B．-6 C． D．-12
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴ABOC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BDy轴，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD=，
∵S△BDC= BD CF=，
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=3．
∴点D的纵坐标为4，
设C（m，），D（m+9，4），
∵反比例函数y=（x＜0）的图像经过C、D两点，
∴k=m=4（m+9），
∴m=-12，
∴k=-12．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出△COE≌△ABD（AAS），再利用三角形面积公式和待定系数法求解即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·哈尔滨）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点代入得：
．
故答案为：．
【分析】根据题意求出即可作答。
12．（2022·河池）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 　 　.
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∵图象位于第二象限内，
∴，
∴该反比例函数的解析式为.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOP=|k|=2，结合反比例函数图象所在的象限可确定出k的值，据此可得函数解析式.
13．（2022·镇江）反比例函数的图象经过、两点，当时，，写出符合条件的的值　 　（答案不唯一，写出一个即可）．
【答案】－1（答案不唯一，取k＜0的一切实数均可）
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象经过 、 两点，当 时， ，
∴此反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k可为小于0的任意实数．
例如，k＝﹣1等．
故答案为：-1（答案不唯一，取 的一切实数均可）
【分析】由题意可得反比例函数的图象在二、四象限，则k<0，据此解答.
14．（2022·济宁）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是　 　．
【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】点C是OA的中点，
∴S△ACD = S△OCD， S△ACB = S△OCB，
∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB，
∴S△ABD = S△OBD，
点B在双曲线上，BD⊥ y轴，
∴S△OBD=×8=4，
∴S△ABD =4，
故答案为：4.
【分析】先求出S△ABD = S△OBD，再根据函数解析式的性质求解即可。
15．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k=　 　．
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
16．（2022·丹东）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则k=　 　．
【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S△AOD=|k|，S△BOD==，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=|k|+，
∴S平行四边形OABC=2S△AOB=|k|+3，
∵平行四边形OABC的面积是7，
∴|k|=4，
∵在第四象限，
∴k=-4，
故答案为：-4．
【分析】先求出S△AOD=|k|，S△BOD==，再求出|k|=4，最后计算求解即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求该反比例函数的解析式及的值；
（2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
【答案】（1）解：将点 代入 中，得 ，
反比例函数的解析式为 ，
将点 代入 中，
得
（2）解：∵
因为四边形 是菱形， ， ，
， ，
，
由（1）知双曲线的解析式为 ，
，
点 在双曲线上．
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数函数关系式，再把点C的坐标代入反比例函数式求出m值，即可解答；
(2)根据菱形的性质，结合A、C两点的坐标，先求出点B的坐标，再代入函数式进行验证，即可进行判断.
18．（2022·六盘水）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求，两点的坐标；
（2）将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
【答案】（1）解：联立 与 ，
解得 ，
（2）解：如图，过点 作 轴于点 ，
，
，
，
直线 向下平移 个单位长度得到 ，根据图象可知 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
， ，
，
，
与反比例函数 在第一象限的图象交于点 ，
，
将 代入 ，
得 ，
解得 或 （舍去）．
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）将两函数联立方程组，解方程组可得到点A，B的坐标.
（2）过点C作CF⊥y轴于点F，利用平行线分线段成比例定理可求出OF与OE的比值；再利用一次函数图象平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0求出对应的x的值，可得到点E，D的坐标，即可得到点F的坐标，可知；再将直线y=x-a与反比例函数解析式联立方程组，解方程组，可得到点C的坐标，将点C的坐标代入直线y=x-a，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到符合题意的a的值.
19．（2022·兰州）如图，点A在反比例函数 的图象上， 轴，垂足为 ，过 作 轴，交过B点的一次函数 的图象于D点，交反比例函数的图象于E点， ．
（1）求反比例函数 和一次函数 的表达式：
（2）求DE的长．
【答案】（1）解：∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥x轴，
∴S△AOB＝ |k|＝3，
∴k＝6，
∴反比例函数为y＝ ，
∵一次函数y＝ x+b的图象过点B（3，0），
∴ ×3+b＝0，解得b＝ ，
∴一次函数为 ；
（2）解：∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝ x+b的图象于D点，
∴当x＝5时y＝ ＝ ； ，
∴E（5， ），D（5，3），
∴DE＝3﹣ ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；两点间的距离
【解析】【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOB＝|k|＝3，求出k的值，可得反比例函数的解析式；将B（3，0）代入y＝x+b中求出b的值，进而可得一次函数的解析式；
（2）分别令反比例函数、一次函数解析式中的x=5，求出y的值，可得点D、E的坐标，进而可求出DE的值.
20．（2022·西宁）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作轴于点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．
【答案】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A把代入得∴∴把代入反比例函数得∴∴反比例函数的解析式是；
（2）解：由（1）知A（1，4），C（2，0），反比例函数解析式为，∵，B在反比例函数图象上，∴B（2，2），令D（m，n），以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，当AB为一条对角线时，则，解得m=1，n=6，∴D（1，6）当AC为一条对角线时，则，解得m=1，n=2，∴D（1，2）当AD为一条对角线时，则，解得m=3，n=-2，∴D（3，-2）（舍去）综上所述，点D的坐标是或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，列方程求解即可。
21．（2022·菏泽）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积．
【答案】（1）解：将A（2，-4）代入得到，即：．
反比例函数的表达式为：．
将B（-4，m）代入，得：，
，
将A，B代入，得：
，解得：
一次函数的表达式为：．
（2）解：设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F．
令，则，
∴点D的坐标为（-2，0），
∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，
∴A（2，-4）关于原点的对称性点C坐标：（-2，4），
∴点C、点D横坐标相同，
∴CDy轴，
∴
=12．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）先求出 点C、点D横坐标相同， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
22．（2022·徐州）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
（1）点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
【答案】（1）解：点在这个反比例函数的图象上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）设A（m，），根据轴对称的性质可得AD⊥CE，AD平分CE，连接CE交AD于点H，则CH=EH，由等腰三角形的性质得∠CBO=∠CDO，根据等角的余角相等推出∠CAD=∠CDA，得到AH=HD，表示出点H、E的坐标，据此判断；
（2）①根据正方形的性质可得AD=CE，AD垂直平分CE，则CH=AD，设A（m，），则CH=m，AD=，根据CH=AD可得m的值，表示出A、C的坐标，代入y=kx+b中可得k、b的值；
②延长ED交y轴于P，则|PE-PD|=|PE-PB|，根据点A、C的坐标可得D、E的坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式，令x=0，求出y的值，可得点P的坐标.
23．（2022·资阳）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）结合图象，写出当时，满足的x的取值范围；
（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图像与平移后的一次函数图象无交点．
【答案】（1）解：由题意得：，，
∴，
∴，
由题意得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：由图像可知，当时，
一次函数的图象在反比例函数的图象上方对应的值为，
当时，满足的x的取值范围为；
（3）解：一次函数的图像平移后为，
函数图象经过第一、三象限，
要使正比例函数与反比例函数没有交点，
则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的，
当时，满足条件，
反比例函数的解析式为 ．
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入y2=中可得m、n的值，得到点A、B的坐标，然后代入y1=kx+b中求出k、b的值，据此可得一次函数的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分，且在y轴右侧部分所对应的x的范围即可；
（3） 一次函数平移后的解析式为y=2x，函数图象经过第一、三象限，由题意可得反比例的函数图象经过第二、四象限，则k<0，据此解答.
24．（2022·鄂尔多斯）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图像直接写出不等式＜ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．
【答案】（1）解：当y＝的图像在y＝ax+b图像的下方时，＜ax+b成立，
∴；
（2）解：将A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y＝﹣．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6；
（3）解：在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解集即可；
（2）先求出反比例函数为：y＝﹣，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）结合题意，利用三角形的面积公式计算求解即可。
1 / 12022年秋季北师版数学九年级上册第六章 《反比例函数》单元检测A
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·上海市）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（　　）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0）
2．（2021·湘西）如图所示，小英同学根据学习函数的经验，自主尝试在平面直角坐标系中画出了一个解析式为 的函数图象.根据这个函数的图象，下列说法正确的是（　　）
A．图象与 轴没有交点
B．当 时
C．图象与 轴的交点是
D． 随 的增大而减小
3．（2022·西藏）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2022·郴州）如图，在函数 的图象上任取一点A，过点A作y轴的垂线交函数 的图象于点B，连接OA，OB，则 的面积是（　　）
A．3 B．5 C．6 D．10
5．（2022·日照）如图，矩形OABC与反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象交于点M，N，与反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象交于点B，连接OM，ON．若四边形OMBN的面积为3，则k1-k2=（　　）
A．3 B．-3 C． D．
6．（2022·长春）如图，在平面直角坐标系中，点P在反比例函数（，）的图象上，其纵坐标为2，过点P作//轴，交x轴于点Q，将线段绕点Q顺时针旋转60°得到线段．若点M也在该反比例函数的图象上，则k的值为（　　）
A． B． C． D．4
7．（2022·龙东）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，平行四边形OBAD的顶点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，顶点D在x轴的负半轴上．若平行四边形OBAD的面积是5，则k的值是（　　）
A．2 B．1 C． D．
8．（2022·十堰）如图，正方形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上.若 轴，点 的横坐标为3，则 （　　）
A．36 B．18 C．12 D．9
9．（2022·朝阳）如图，正比例函数y＝ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y＝（k为常数，且k≠0）的图象相交于A(﹣2，m)和B两点，则不等式ax＞的解集为（　　）
A．x＜﹣2或x＞2 B．﹣2＜x＜2
C．﹣2＜x＜0或x＞2 D．x＜﹣2或0＜x＜2
10．（2022·通辽）如图，点是内一点，与轴平行，与轴平行，，，，若反比例函数的图象经过，两点，则k的值是（　　）
A． B．-6 C． D．-12
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·哈尔滨）已知反比例函数的图象经过点，则a的值为　 　．
12．（2022·河池）如图，点P（x，y）在双曲线的图象上，PA⊥x轴，垂足为A，若S△AOP＝2，则该反比例函数的解析式为 　 　.
13．（2022·镇江）反比例函数的图象经过、两点，当时，，写出符合条件的的值　 　（答案不唯一，写出一个即可）．
14．（2022·济宁）如图，A是双曲线上的一点，点C是OA的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，交双曲线于点B，则△ABD的面积是　 　．
15．（2022·衢州）如图，在△ABC中，边AB在x轴上，边AC交y轴于点E．反比例函数的图象恰好经过点C，与边BC交于点D．若AE=CE，CD=2BD，，则k=　 　．
16．（2022·丹东）如图，四边形OABC是平行四边形，点O是坐标原点，点C在y轴上，点B在反比例函数y=（x＞0）的图象上，点A在反比例函数y=（x＞0）的图象上，若平行四边形OABC的面积是7，则k=　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·安顺）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴上，，两点的坐标分别为，，直线：与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求该反比例函数的解析式及的值；
（2）判断点是否在该反比例函数的图象上，并说明理由．
18．（2022·六盘水）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求，两点的坐标；
（2）将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
19．（2022·兰州）如图，点A在反比例函数 的图象上， 轴，垂足为 ，过 作 轴，交过B点的一次函数 的图象于D点，交反比例函数的图象于E点， ．
（1）求反比例函数 和一次函数 的表达式：
（2）求DE的长．
20．（2022·西宁）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于点，点B在反比例函数图象上，连接AB，过点B作轴于点．
（1）求反比例函数解析式；
（2）点D在第一象限，且以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D的坐标．
21．（2022·菏泽）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象都经过两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，连接BC，求的面积．
22．（2022·徐州）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，与轴交于点，与轴交于点，轴于点，，点关于直线的对称点为点．
（1）点是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
（2）连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点在轴上，当最大时，求点的坐标．
23．（2022·资阳）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点和点．
（1）求一次函数的表达式；
（2）结合图象，写出当时，满足的x的取值范围；
（3）将一次函数的图象平移，使其经过坐标原点．直接写出一个反比例函数表达式，使它的图像与平移后的一次函数图象无交点．
24．（2022·鄂尔多斯）如图，已知一次函数y＝ax+b与反比例函数y＝（x＜0）的图像交于A（﹣2，4），B（﹣4，2）两点，且与x轴和y轴分别交于点C、点D．
（1）根据图像直接写出不等式＜ax+b的解集；
（2）求反比例函数与一次函数的解析式；
（3）点P在y轴上，且S△AOP＝S△AOB，请求出点P的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数的性质先求出k=xy<0，再对每个选项一一判断即可。
2．【答案】A
【知识点】函数的图象；反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：由图象可得： ，即 ，
A、图象与x轴没有交点，正确，故符合题意；
B、当 时， ，错误，故不符合题意；
C、图象与y轴的交点是 ，错误，故不符合题意；
D、当 时，y随x的增大而减小，且y的值永远小于0，当 时，y随x的增大而减小，且y的值永远大于0，错误，故不符合题意；
故答案为：A.
【分析】由函数解析式知y≠0，故图象与x轴无交点，据此判断A；当 时，函数图象在x轴下方，据此判断B错误；当x=0时，y=-2，即得图象与y轴的交点是 ，据此判断C；由图象知在每个分支上，y随x增大而减小，据此判断D即可.
3．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：若a＜0，b＜0，则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意；
若a＜0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意；
若a＞0，b＞0，则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意；
若a＞0，b＜0，则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意.
故答案为：A.
【分析】反比例函数y=（k≠0）中，当k>0时，图象过一、三象限；当k<0时，图象过二、四象限；一次函数y=ax+b（a≠0）中，当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，据此一一判断得出答案.
4．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：令AB与y轴的交点为C，
∵点A、B分别在反比例函数y=、y=上，
∴S△AOC=1，S△BOC=4，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=5.
故答案为：B.
【分析】令AB与y轴的交点为C，根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOC=1，S△BOC=4，相加即可.
5．【答案】B
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：∵点M、N均是反比例函数（k1是非零常数，x>0）的图象上，
∴，
∵矩形OABC的顶点B在反比例函数（k2是非零常数，x>0）的图象上，
∴S矩形OABC=k2，
∴S矩形OMBN=S矩形OABC-S△OAM-S△OCN=3，
∴k2-k1=3，
∴k1-k2=-3，
故答案为：B．
【分析】先求出，再求出k2-k1=3，最后求解即可。
6．【答案】C
【知识点】旋转的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：作MN⊥x轴交于点N，如图所示，
∵P点纵坐标为：2，
∴P点坐标表示为：（，2），PQ=2，
由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，
∴∠MQN=30°，
∴MN=，QN=，
∴，
即：，
解得：k=，
故答案为：C．
【分析】作MN⊥x轴交于点N，由P点纵坐标得出P点坐标，推出PQ=2，由旋转可知：QM=PQ=2，∠PQM=60°，得出，即可得出k的值。
7．【答案】D
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，连接OA，设AB交y轴于点C，
∵四边形OBAD是平行四边形，平行四边形OBAD的面积是5，
∴，AB∥OD，
∴AB⊥y轴，
∵点B在反比例函数的图象上，顶点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
解得：．
故答案为：D．
【分析】连接OA，设AB交y轴于点C，根据平行四边形的性质可得，再利用反比例函数k的几何意义可得，所以，再求出k的值即可。
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接AC，与BD相交于点P，
设PA=PB=PC=PD=t（t≠0）.
∴点D的坐标为（3， ），
∴点C的坐标为（3-t， +t）.
∵点C在反比例函数y= 的图象上，
∴（3-t）（ +t）=k2，化简得：t=3- ，
∴点B的纵坐标为 +2t= +2（3- ）=6- ，
∴点B的坐标为（3，6- ），
∴3×（6- ）= ，整理，得： + =18.
故答案为：B.
【分析】连接AC，与BD相交于点P，设PA=PB=PC=PD=t（t≠0），可得点D（3， ），点C（3-t， +t），将点C代入y= 中，可得t=3- ，从而求出点B（3，6- ），将点B坐标代入 中，即可求解.
9．【答案】D
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵正比例函数y=ax（a为常数，且a≠0）和反比例函数y=（k为常数，且k≠0）的图象相交于A（-2，m）和B两点，
∴B（2，m），
∴不等式ax＞的解集为x＜2或0＜x＜2，
故答案为：D．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
10．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：过点C作CE⊥y轴于点E，延长BD交CE于点F，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴ABOC，AB=OC，
∴∠COE=∠ABD，
∵BDy轴，
∴∠ADB=90°，
∴△COE≌△ABD（AAS），
∴OE=BD=，
∵S△BDC= BD CF=，
∴CF=9，
∵∠BDC=120°，
∴∠CDF=60°，
∴DF=3．
∴点D的纵坐标为4，
设C（m，），D（m+9，4），
∵反比例函数y=（x＜0）的图像经过C、D两点，
∴k=m=4（m+9），
∴m=-12，
∴k=-12．
故答案为：C．
【分析】根据题意先求出△COE≌△ABD（AAS），再利用三角形面积公式和待定系数法求解即可。
11．【答案】
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点代入得：
．
故答案为：．
【分析】根据题意求出即可作答。
12．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：根据题意得：，
∴，
∵图象位于第二象限内，
∴，
∴该反比例函数的解析式为.
故答案为：.
【分析】根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOP=|k|=2，结合反比例函数图象所在的象限可确定出k的值，据此可得函数解析式.
13．【答案】－1（答案不唯一，取k＜0的一切实数均可）
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象经过 、 两点，当 时， ，
∴此反比例函数的图象在二、四象限，
∴k＜0，
∴k可为小于0的任意实数．
例如，k＝﹣1等．
故答案为：-1（答案不唯一，取 的一切实数均可）
【分析】由题意可得反比例函数的图象在二、四象限，则k<0，据此解答.
14．【答案】4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】点C是OA的中点，
∴S△ACD = S△OCD， S△ACB = S△OCB，
∴S△ACD + S△ACB = S△OCD + S△OCB，
∴S△ABD = S△OBD，
点B在双曲线上，BD⊥ y轴，
∴S△OBD=×8=4，
∴S△ABD =4，
故答案为：4.
【分析】先求出S△ABD = S△OBD，再根据函数解析式的性质求解即可。
15．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，
∵点C在反比例函数图象上，
设点C
∴，
∵CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，
∴，，
∴OA=OM=m，，
∴
解之：x=3m，
∴ON=3m，MN=3m-m=2m，
∴BN=m，
∴AB=m+m+2m+m=5m，
∵
解之：.
故答案为：.
【分析】过点C作CM⊥x轴于点M，过点D作DN⊥x轴于点N，设点C，可得到OM，CM的长；再利用CM∥DN∥OE，AE=CE，CD=2BD，利用平行线分线段成比例定理可表示出OA，DN的长，由此可得到关于x的方程，解方程表示出x，即可表示出ON，MN，BN，AB的长，然后利用△ABC的面积为6，可求出k的值.
16．【答案】-4
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：连接OB，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB∥OC，
∴AB⊥x轴，
∴S△AOD=|k|，S△BOD==，
∴S△AOB=S△AOD+S△BOD=|k|+，
∴S平行四边形OABC=2S△AOB=|k|+3，
∵平行四边形OABC的面积是7，
∴|k|=4，
∵在第四象限，
∴k=-4，
故答案为：-4．
【分析】先求出S△AOD=|k|，S△BOD==，再求出|k|=4，最后计算求解即可。
17．【答案】（1）解：将点 代入 中，得 ，
反比例函数的解析式为 ，
将点 代入 中，
得
（2）解：∵
因为四边形 是菱形， ， ，
， ，
，
由（1）知双曲线的解析式为 ，
，
点 在双曲线上．
【知识点】点的坐标；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质
【解析】【分析】(1)利用待定系数法求出反比例函数函数关系式，再把点C的坐标代入反比例函数式求出m值，即可解答；
(2)根据菱形的性质，结合A、C两点的坐标，先求出点B的坐标，再代入函数式进行验证，即可进行判断.
18．【答案】（1）解：联立 与 ，
解得 ，
（2）解：如图，过点 作 轴于点 ，
，
，
，
直线 向下平移 个单位长度得到 ，根据图象可知 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
， ，
，
，
与反比例函数 在第一象限的图象交于点 ，
，
将 代入 ，
得 ，
解得 或 （舍去）．
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）将两函数联立方程组，解方程组可得到点A，B的坐标.
（2）过点C作CF⊥y轴于点F，利用平行线分线段成比例定理可求出OF与OE的比值；再利用一次函数图象平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0求出对应的x的值，可得到点E，D的坐标，即可得到点F的坐标，可知；再将直线y=x-a与反比例函数解析式联立方程组，解方程组，可得到点C的坐标，将点C的坐标代入直线y=x-a，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到符合题意的a的值.
19．【答案】（1）解：∵点A在反比例函数y＝ （x＞0）的图象上，AB⊥x轴，
∴S△AOB＝ |k|＝3，
∴k＝6，
∴反比例函数为y＝ ，
∵一次函数y＝ x+b的图象过点B（3，0），
∴ ×3+b＝0，解得b＝ ，
∴一次函数为 ；
（2）解：∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y＝ x+b的图象于D点，
∴当x＝5时y＝ ＝ ； ，
∴E（5， ），D（5，3），
∴DE＝3﹣ ．
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；两点间的距离
【解析】【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义可得S△AOB＝|k|＝3，求出k的值，可得反比例函数的解析式；将B（3，0）代入y＝x+b中求出b的值，进而可得一次函数的解析式；
（2）分别令反比例函数、一次函数解析式中的x=5，求出y的值，可得点D、E的坐标，进而可求出DE的值.
20．【答案】（1）解：∵正比例函数与反比例函数的图象交于点A把代入得∴∴把代入反比例函数得∴∴反比例函数的解析式是；
（2）解：由（1）知A（1，4），C（2，0），反比例函数解析式为，∵，B在反比例函数图象上，∴B（2，2），令D（m，n），以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，当AB为一条对角线时，则，解得m=1，n=6，∴D（1，6）当AC为一条对角线时，则，解得m=1，n=2，∴D（1，2）当AD为一条对角线时，则，解得m=3，n=-2，∴D（3，-2）（舍去）综上所述，点D的坐标是或．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）分类讨论，列方程求解即可。
21．【答案】（1）解：将A（2，-4）代入得到，即：．
反比例函数的表达式为：．
将B（-4，m）代入，得：，
，
将A，B代入，得：
，解得：
一次函数的表达式为：．
（2）解：设AB交x轴于点D，连接CD，过点A作AE⊥CD交CD延长线于点E，作BF⊥CD交CD于点F．
令，则，
∴点D的坐标为（-2，0），
∵过O、A两点的直线与反比例函数图象交于另一点C，
∴A（2，-4）关于原点的对称性点C坐标：（-2，4），
∴点C、点D横坐标相同，
∴CDy轴，
∴
=12．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求出反比例函数和一次函数的解析式即可；
（2）先求出 点C、点D横坐标相同， 再利用三角形的面积公式计算求解即可。
22．【答案】（1）解：点在这个反比例函数的图象上．
理由如下：
一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，
设点的坐标为，
点关于直线的对称点为点，
，平分，
连接交于，如图所示：
，
轴于，
轴，，
，
，
，
在Rt中，，
，
为边上的中线，即，
，
，
，
点在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①四边形为正方形，
，垂直平分，
，
设点的坐标为，
，，
，
（负值舍去），
，，
把，代入得，
；
②延长交轴于，如图所示：
，，
点与点关于轴对称，
，则点即为符合条件的点，
由①知，，，
，，
设直线的解析式为，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，即，故当最大时，点的坐标为．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；正方形的性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）设A（m，），根据轴对称的性质可得AD⊥CE，AD平分CE，连接CE交AD于点H，则CH=EH，由等腰三角形的性质得∠CBO=∠CDO，根据等角的余角相等推出∠CAD=∠CDA，得到AH=HD，表示出点H、E的坐标，据此判断；
（2）①根据正方形的性质可得AD=CE，AD垂直平分CE，则CH=AD，设A（m，），则CH=m，AD=，根据CH=AD可得m的值，表示出A、C的坐标，代入y=kx+b中可得k、b的值；
②延长ED交y轴于P，则|PE-PD|=|PE-PB|，根据点A、C的坐标可得D、E的坐标，利用待定系数法求出直线DE的解析式，令x=0，求出y的值，可得点P的坐标.
23．【答案】（1）解：由题意得：，，
∴，
∴，
由题意得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）解：由图像可知，当时，
一次函数的图象在反比例函数的图象上方对应的值为，
当时，满足的x的取值范围为；
（3）解：一次函数的图像平移后为，
函数图象经过第一、三象限，
要使正比例函数与反比例函数没有交点，
则反比例的函数图象经过第二、四象限，则反比例函数的，
当时，满足条件，
反比例函数的解析式为 ．
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将A、B的坐标代入y2=中可得m、n的值，得到点A、B的坐标，然后代入y1=kx+b中求出k、b的值，据此可得一次函数的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象上方部分，且在y轴右侧部分所对应的x的范围即可；
（3） 一次函数平移后的解析式为y=2x，函数图象经过第一、三象限，由题意可得反比例的函数图象经过第二、四象限，则k<0，据此解答.
24．【答案】（1）解：当y＝的图像在y＝ax+b图像的下方时，＜ax+b成立，
∴；
（2）解：将A（﹣2，4）代入y＝得：﹣8＝m，
∴反比例函数为：y＝﹣．
将A（﹣2，4），B（﹣4，2）代入y＝ax+b得：，
解得： ，
∴一次函数的表达式为：y＝x+6；
（3）解：在y＝x+6中，当y＝0时，x＝﹣6，
∴C（﹣6，0）．
∴S△ABO＝S△AOC﹣S△BOC
＝OC×（yA﹣yB）
＝×6×2
＝6，
∴S△AOP＝×6＝3，
∵P在y轴上，
∴OP×|xA|＝3，
∴OP＝3．
∴P（0，3）或（0，﹣3）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象求解集即可；
（2）先求出反比例函数为：y＝﹣，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（3）结合题意，利用三角形的面积公式计算求解即可。
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