2022年秋季北师版数学九年级上册第六章 《反比例函数》单元检测B

2022年秋季北师版数学九年级上册第六章 《反比例函数》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·上海市）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（　　）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0）
2．（2022·东营）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
3．（2022·黔西）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（　　）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
4．（2022·贺州）已知一次函数 的图象如图所示，则 与 的图象为（　　）
A． B．
C． D．
5．（2021·内江）如图，菱形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上，若 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
6．（2022·枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
7．（2021·西藏）如图.在平面直角坐标系中，△AOB的面积为 ，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝ 相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
8．（2021·牡丹江）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y 相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（　　）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
9．（2021·丹东）如图，点A在曲线到 上，点B在双曲线 上， 轴，点C是x轴上一点，连接 、 ，若 的面积是6，则k的值（　　）
A．-6 B．-8 C．-10 D．-12
10．（2021·滨州）如图，在 中， ，点C为边AB上一点，且 ．如果函数 的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（　　）
A．（-2019，674） B．（-2020，675）
C．（2021，-669） D．（2022，-670）
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·沈阳）如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则　 　．
12．（2022·东营）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为　 　．
13．（2022·梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 .当 时，x的取值范围是　 　.
14．（2022·安徽）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则k=　 　．
15．（2022·舟山）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y= (k>0，x>0)的图象上，点B的坐标为(4，3)，AB与y轴平行，若AB=BC，则k=　 　 ．
16．（2022·鄂尔多斯）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝　 　．
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·贵阳）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点.
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围.
18．（2022·盘锦）如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是，反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边上，且，过点D作轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
19．（2022·赤峰）阅读下列材料
定义运算：，当时，；当时，．例如：；．
完成下列任务
（1）①　 　；②　 　
（2）如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于、两点．当时，．求这两个函数的解析式．
20．（2022·泰安）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．
21．（2022·呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点的横坐标为1，过点作轴，于点，点是直线上一点，且．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出不等式的解集．
22．（2022·枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
23．（2022·绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，求x的取值范围；
（3）若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
24．（2022·眉山）已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
（3）在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数的性质先求出k=xy<0，再对每个选项一一判断即可。
2．【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
3．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象分支在第二、四象限，
∴k＜0
∴直线y=kx+2经过第一、二、四象限.
故答案为：B.
【分析】利用反比例函数图象分支在第二、四象限，可得到k的取值范围，利用一次函数的图象与系数的关系，可知直线y=kx+2经过第一、二、四象限，即可求解.
4．【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，反比函数 的图象位于第一、三象限内.
故答案为：A.
【分析】一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限，一次函数y=kx+b，当k＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限，一次函数y=kx+b，当k＜0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限，一次函数y=kx+b，当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限；反比例函数 ， 当k＞0时，图象经过第一、三象限，当k＜0时，图象经过第二、四象限，据此判断即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接 、 ，
四边形 是菱形，
，
菱形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上，
与 、 与 关于原点对称，
、 经过点 ，
，
，
，
作 轴于 ， 轴于 ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】连接AC，BD，利用菱形的性质可证得AC⊥BD，利用反比例函数的图象关于原点对称，可得到AC，BD交于点O，即可证得∠BOC=90°，∠BCO=30°，利用解直角三角形求出OB与OC的比值；再证明△OBM∽△CON；然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出的值.
6．【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出OB=3，再求出△ABO≌△BCE，最后求解即可。
7．【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵BA⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△AOB，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∵S△AOB＝ ，
∴S△DOC＝ S△AOB＝ × ＝ ，
∵双曲线y＝ 在第二象限，
∴k＝﹣2× ＝﹣3，
故答案为：A.
【分析】过C作CD⊥x轴于D，由已知条件可得 ＝，证明△DOC∽△AOB，由相似三角形的性质可求得△DOC的面积，然后根据反比例函数k的几何意义进行求解.
8．【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
∵D点在双曲线y 上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴ ，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵双曲线y 在第二象限，
∴k=-16，
故答案为：D．
【分析】由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求出的面积，由反比例函数的性质可求解。
9．【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，
∵ 轴
∴AB⊥y轴，
∴ ，
∵
∴
解得
∵点B在双曲线 上，且B在第二象限
∴
∴
故答案为：C
【分析】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，根据同底等高可得，利用反比例函数系数k的几何意义可得，，由S△ABC=S△AOB=S△AOB+S△AOB=6可得，据此求出k值即可.
10．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：作 ， ，
，
，
设 ，
，
或 （舍去），
，
，
．
，
， ，
，
，
，
，
图象经过点 ，
，
，
设 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出B、C点的坐标，再写出BC解析式，再判断点在直线BC上即可。
11．【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，如图所示：
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴△AED≌△BOC（AAS），
∵平行四边形ABCD的面积为6，
∴，
∴；
故答案为6．
【分析】先求出，再求出△AED≌△BOC，最后求解即可。
12．【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数，
∴，
∴，
∴，
∴经过点A的反比例函数表达式为，
故答案为：．
【分析】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，先利用“AAS”证明△ACO≌△ODB可得AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，点A的坐标为（-b，a），将点A的坐标代入解析式可得，即可得到解析式。
13．【答案】-2＜x＜0或x＞4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象经过A（-2，2），
∴m=-2×2=-4，
∴ ，
又反比例函数 的图象经过B（n，-1），
∴n=4，
∴B（4，-1），
观察图象可知：当 时，图中一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，则x的取值范围为：-2＜x＜0或x＞4.
故答案为：-2＜x＜0或x＞4.
【分析】将A（-2，2）代入y2=中求出m的值，可得反比例函数的解析式，将y=-1代入求出n的值，可得点B的坐标，然后根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
14．【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．
【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先利用“HL”证明Rt△COD≌Rt△BAE可得S△OCD=S△ABE，再求出S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，可得S△OBA=，利用割补法可得S△OBE=S△OBA+S△ABE=，即可得到，从而得解。
15．【答案】32
【知识点】平行线的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y= (k>0，x>0)的图象上，
∴点A（4，），
∵△ABC的顶点C与原点O重合，
∴BC=OB==5，
∵AB=BC，
∴5=-3，
∴k=32.
故答案为：32.
【分析】由AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y= (k>0，x>0)的图象上，得点A（4，），再由勾股定理求得OB的长，结合AB=BC，从而得5=-3，解之即可确定k的值.
16．【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质
【解析】【解答】解：作EH⊥y轴于点H，
则四边形BCHE、AEHO都为矩形，
∵∠ECF=45°，△ECF翻折得到，
∴∠BCE+∠OCF=45°，
∵∠DOC+∠OCF＝45°，
∴∠BCE＝∠OCD，
∵BC＝OC，∠B＝∠COD，
∴△BCE≌△OCD（ASA），
∴S△BCE＝S△COD＝5，
∴S△CEH＝5，
S矩形BCHE＝10，
∴根据反比例函数系数k的几何意义得：
k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10，
故答案为：10．
【分析】先求出∠BCE＝∠OCD，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
17．【答案】（1）解：∵A、B点是一次函数与反比例函数的交点，
∴A、B点在一次函数上，
∴当x=-4时，y=1；当y=-4时，x=1，
∴A(-4，1)、B(1，-4)，
将A点坐标代入反比例函数，
∴，即k=-4，
即反比例函数的解析式为：
（2）解：一次函数值小于反比例函数值，在图象中表现为，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∵A(-4，1)、B(1，-4)，
∴一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围为：或者.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将A（-4，m）、B（n，-4）代入y=-x-3中求出m、n的值，据此可得点A、B的坐标，然后将点A的坐标代入y=中求出k的值，进而可得反比例函数的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
18．【答案】（1）解：根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：
∵四边形是菱形，
设点A为（0，m），
∴，
∵点B为，
∴，，
在直角△ABF中，由勾股定理，则
，即，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为，
把点C代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，
∵，
∴，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，，
∴，
∴，，
∴点D的纵坐标为，
∵轴，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得，
∴点E的坐标为（，）；
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质求解即可。
19．【答案】（1）1；-4
（2）解：由函数图象可知当时，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴一次函数，
当x＝－2时，，
∴A（－2，1），
将A（－2，1）代入得，
∴反比例函数．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；定义新运算
【解析】【解答】(1)解：根据题意，
∵，当时，；当时，，
∴①；
∵，
∴②；
故答案为：①1；②-4；
【分析】（1）根据定义运算法则解答即可；
（2）根据反比例函数和一次函数图象性质解答即可。
20．【答案】（1）解：把点A（2，6）代入y＝，得m＝12，
则y＝．
把点B（n，1）代入y＝，得n＝12，
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y＝kx＋b过点A（2，6），点B（12，1）得，
解得，
则所求一次函数的表达式为y＝x＋7；
（2）解：如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）．
∴PE＝|m﹣7|．
∵S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，
∴×|m﹣7|×（12﹣2）＝5
∴|m﹣7|＝1
∴m1＝6，m2＝8
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入求出m的值，再将点B的坐标代入反比例求出n的值，最后将点A、B的坐标代入y＝kx＋b求出k、b的值即可；
（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，根据S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，可得×|m﹣7|×（12﹣2）＝5，再求出m的值即可得到答案。
21．【答案】（1）解：∵，且点的横坐标为1，
∴，且，
，
在中，
，
，
点A的坐标为，且点A在反比例函数的图象上，
，解得，
反比例函数的解析式为：，
当时，，解得，
∴点B的坐标为，
将和代入一次函数得，
，解得，
∴一次函数的解析式为：．
（2）解：(2)不等式的解集为：或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：(2)由题意得，
，即，即，
只需反比例函数图象在一次函数图象上方即可，
由图可得当或时，，
∴不等式的解集为：或．
【分析】（1）利用点A的坐标用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，再利用待定系数法求出 一次函数的解析式；
（2）观察函数图象谁的图象在上方谁的值就大即可求解。
22．【答案】（1）解：由前三天的函数图象是线段，设函数表达式为：y=kx+b把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ，解得：k=﹣2.5，b=12∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
（2）解：当x≥3时，设y=，把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=，解得k=13.5，∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）解：能，理由如下：当x=15时，y==0.9，因为0.9＜1，所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的实际应用；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 4.5=， 再求出k的值，最后求解即可；
（3）先求出 y==0.9， 再求解即可。
23．【答案】（1）解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，
∴把，代入得，
，解得，，
∴一次函数解析式为
过点P作轴于点H，
∵
∴
又
∴
∴
∴，
∴
∴
∵在双曲线上，
∴
∴
（2）解：联立方程组得，
解得， ，
∴
根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有或，
∴当时，求x的取值范围为或，
（3）解：作点K关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则（1，-2），OM=1，
连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，
设直线的解析式为
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为
当时，，解得，，
∴
∴
∴
，
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出可得一次函数解析式，再求出点，然后将点P的坐标代入求出即可得到答案；
（2）先求出一次函数与反比例函数图象的交点坐标，再结合函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，先求出直线的解析式为再求出点C的坐标可得，最后利用割补法可得，再计算即可。
24．【答案】（1）解：∵直线过点，
∴
∴将代入中，得，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：∵点在的图象上，
∴，
∴
设平移后直线的解析式为，
将代入中，得4=1+b，
解得.
（3）证明：如图，过点作轴于点，过点作轴于点.
∵在反比例函数的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵，
∴，，
∴
∴，
∴，
又∵直线与轴、轴分别交于点，，
∴，，
∴
在和中，
∴.
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）将M（2，a）代入y=x中可得a=2，则M（2，2），代入y=中求出k的值，据此可得反比例函数的解析式；
（2）将A（1，m）代入反比例函数解析式中可得m=4，则A（1，4），设平移后直线AB的解析式为y=x+b，将A（1，4）代入就可求出b的值；
（3）过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F，将y=-1代入反比例函数解析式中得n的值，则B（-4，-1），结合点A的坐标得AE=BF，OE=OF，由垂直得∠AEO=∠BFO，证明△AOE≌△BOF，得到∠AOE=∠BOF，OA=OB，易得C（-3，0）、D（0，3），则OC=OD，然后利用全等三角形的判定定理进行证明.
1 / 12022年秋季北师版数学九年级上册第六章 《反比例函数》单元检测B
一、单选题（每题3分，共30分）
1．（2022·上海市）已知反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（　　）
A．（2，3） B．（-2，3） C．（3，0） D．（-3，0）
【答案】B
【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵反比例函数y=（k≠0），且在各自象限内，y随x的增大而增大，
∴k=xy<0，
A、∵2×3>0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
B、∵-2×3<0，∴点（2，3）可能在这个函数图象上，故此选项符合题意；
C、∵3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
D、∵-3×0=0，∴点（2，3）不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】利用反比例函数的性质先求出k=xy<0，再对每个选项一一判断即可。
2．（2022·东营）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为2，点B的横坐标为，则不等式的解集是（　　）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得不等式的解集即为一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围，
∴不等式的解集为或，
故答案为：A．
【分析】结合函数图象，利用函数值大的图象在上方的原则求解即可。
3．（2022·黔西）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象经过的象限是（　　）
A．一、二、三 B．一、二、四 C．一、三、四 D．二、三、四
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数的图象分支在第二、四象限，
∴k＜0
∴直线y=kx+2经过第一、二、四象限.
故答案为：B.
【分析】利用反比例函数图象分支在第二、四象限，可得到k的取值范围，利用一次函数的图象与系数的关系，可知直线y=kx+2经过第一、二、四象限，即可求解.
4．（2022·贺州）已知一次函数 的图象如图所示，则 与 的图象为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得： ，
∴ ，
∴一次函数 的图象经过第一、二、四象限，反比函数 的图象位于第一、三象限内.
故答案为：A.
【分析】一次函数y=kx+b，当k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限，一次函数y=kx+b，当k＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限，一次函数y=kx+b，当k＜0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限，一次函数y=kx+b，当k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限；反比例函数 ， 当k＞0时，图象经过第一、三象限，当k＜0时，图象经过第二、四象限，据此判断即可得出答案.
5．（2021·内江）如图，菱形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上，若 ，则 的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】菱形的性质；相似三角形的判定与性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：连接 、 ，
四边形 是菱形，
，
菱形 的顶点分别在反比例函数 和 的图象上，
与 、 与 关于原点对称，
、 经过点 ，
，
，
，
作 轴于 ， 轴于 ，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：D.
【分析】连接AC，BD，利用菱形的性质可证得AC⊥BD，利用反比例函数的图象关于原点对称，可得到AC，BD交于点O，即可证得∠BOC=90°，∠BCO=30°，利用解直角三角形求出OB与OC的比值；再证明△OBM∽△CON；然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求出的值.
6．（2022·枣庄）如图，正方形ABCD的边长为5，点A的坐标为（4，0），点B在y轴上，若反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，则k的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C．﹣3 D．3
【答案】C
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABO+∠CBE＝90°，
∵∠OAB+∠ABO＝90°，
∴∠OAB＝∠CBE，
∵点A的坐标为（4，0），
∴OA＝4，
∵AB＝5，
∴OB＝＝3，
在△ABO和△BCE中，，
∴△ABO≌△BCE（AAS），
∴OA＝BE＝4，CE＝OB＝3，
∴OE＝BE﹣OB＝4﹣3＝1，
∴点C的坐标为（﹣3，1），
∵反比例函数y＝（k≠0）的图像过点C，
∴k＝xy＝﹣3×1＝﹣3，
故答案为：C．
【分析】利用勾股定理先求出OB=3，再求出△ABO≌△BCE，最后求解即可。
7．（2021·西藏）如图.在平面直角坐标系中，△AOB的面积为 ，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝ 相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣ C．3 D．
【答案】A
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：过C作CD⊥x轴于D，
∵ ＝ ，
∴ ＝ ，
∵BA⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△AOB，
∴ ＝（ ）2＝（ ）2＝ ，
∵S△AOB＝ ，
∴S△DOC＝ S△AOB＝ × ＝ ，
∵双曲线y＝ 在第二象限，
∴k＝﹣2× ＝﹣3，
故答案为：A.
【分析】过C作CD⊥x轴于D，由已知条件可得 ＝，证明△DOC∽△AOB，由相似三角形的性质可求得△DOC的面积，然后根据反比例函数k的几何意义进行求解.
8．（2021·牡丹江）如图，矩形OABC的面积为36，它的对角线OB与双曲线y 相交于点D，且OD：OB＝2：3，则k的值为（　　）
A．12 B．﹣12 C．16 D．﹣16
【答案】D
【知识点】反比例函数的性质；矩形的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过D点作DE⊥OA，DF⊥OC，垂足为E、F，
∵D点在双曲线y 上，
∴S矩形OEDF=|xy|=|k|，
∵D点在矩形的对角线OB上，
∴矩形OEDF∽矩形OABC，
∴ ，
∵S矩形OABC=36，
∴S矩形OEDF=16，
∴|k|=16，
∵双曲线y 在第二象限，
∴k=-16，
故答案为：D．
【分析】由矩形的性质求出的面积，由平行线分线段成比例可求，可求出的面积，由反比例函数的性质可求解。
9．（2021·丹东）如图，点A在曲线到 上，点B在双曲线 上， 轴，点C是x轴上一点，连接 、 ，若 的面积是6，则k的值（　　）
A．-6 B．-8 C．-10 D．-12
【答案】C
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，
∵ 轴
∴AB⊥y轴，
∴ ，
∵
∴
解得
∵点B在双曲线 上，且B在第二象限
∴
∴
故答案为：C
【分析】连接OA、OB，设AB与y轴交点为M，根据同底等高可得，利用反比例函数系数k的几何意义可得，，由S△ABC=S△AOB=S△AOB+S△AOB=6可得，据此求出k值即可.
10．（2021·滨州）如图，在 中， ，点C为边AB上一点，且 ．如果函数 的图象经过点B和点C，那么用下列坐标表示的点，在直线BC上的是（　　）
A．（-2019，674） B．（-2020，675）
C．（2021，-669） D．（2022，-670）
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：作 ， ，
，
，
设 ，
，
或 （舍去），
，
，
．
，
， ，
，
，
，
，
图象经过点 ，
，
，
设 的解析式为 ，
，
解得 ，
，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
当 时， ，
故答案为：D．
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，求出B、C点的坐标，再写出BC解析式，再判断点在直线BC上即可。
二、填空题（每题3分，共18分）
11．（2022·沈阳）如图四边形ABCD是平行四边形，CD在x轴上，点B在y轴上，反比例函数的图象经过第一象限点A，且平行四边形ABCD的面积为6，则　 　．
【答案】6
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：过点A作AE⊥CD于点E，如图所示：
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴，
∴△AED≌△BOC（AAS），
∵平行四边形ABCD的面积为6，
∴，
∴；
故答案为6．
【分析】先求出，再求出△AED≌△BOC，最后求解即可。
12．（2022·东营）如图，是等腰直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B在反比例函数的图象上，则经过点A的反比例函数表达式为　 　．
【答案】
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：如图所示，过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，
则∠ACO=∠ODB=90°，
由题意得OA=OB，∠AOB=90°，
∴∠CAO+∠COA=∠AOC+∠BOD=90°，
∴∠CAO=∠DOB，
∴△ACO≌△ODB（AAS），
∴AC=OD，OC=BD，
设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，
∴点A的坐标为（-b，a），
∵点B在反比例函数，
∴，
∴，
∴，
∴经过点A的反比例函数表达式为，
故答案为：．
【分析】过点A作AC⊥x轴于C，过点B作BD⊥x轴于D，先利用“AAS”证明△ACO≌△ODB可得AC=OD，OC=BD，设点B的坐标为（a，b），则AC=OD=a，OC=BD=b，点A的坐标为（-b，a），将点A的坐标代入解析式可得，即可得到解析式。
13．（2022·梧州）如图，在平面直角坐标系中，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点 .当 时，x的取值范围是　 　.
【答案】-2＜x＜0或x＞4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵反比例函数 的图象经过A（-2，2），
∴m=-2×2=-4，
∴ ，
又反比例函数 的图象经过B（n，-1），
∴n=4，
∴B（4，-1），
观察图象可知：当 时，图中一次函数的函数值小于反比例函数的函数值，则x的取值范围为：-2＜x＜0或x＞4.
故答案为：-2＜x＜0或x＞4.
【分析】将A（-2，2）代入y2=中求出m的值，可得反比例函数的解析式，将y=-1代入求出n的值，可得点B的坐标，然后根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
14．（2022·安徽）如图，平行四边形OABC的顶点O是坐标原点，A在x轴的正半轴上，B，C在第一象限，反比例函数的图象经过点C，的图象经过点B．若，则k=　 　．
【答案】3
【知识点】平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，
∴CD∥BE，
∵四边形ABCO为平行四边形，
∴CB∥OA，即CB∥DE，OC=AB，
∴四边形CDEB为平行四边形，
∵CD⊥OA，
∴四边形CDEB为矩形，
∴CD=BE，
∴在Rt△COD和Rt△BAE中，
，
Rt△COD≌Rt△BAE（HL），
∴S△OCD=S△ABE，
∵OC=AC，CD⊥OA，
∴OD=AD，
∵反比例函数的图象经过点C，
∴S△OCD=S△CAD=，
∴S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，
∴S△OBA=，
∴S△OBE=S△OBA+S△ABE=，
∴．
故答案为3．
【分析】过点C作CD⊥OA于D，过点B作BE⊥x轴于E，先利用“HL”证明Rt△COD≌Rt△BAE可得S△OCD=S△ABE，再求出S平行四边形OCBA=4S△OCD=2，可得S△OBA=，利用割补法可得S△OBE=S△OBA+S△ABE=，即可得到，从而得解。
15．（2022·舟山）如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点C与原点O重合，点A在反比例函数y= (k>0，x>0)的图象上，点B的坐标为(4，3)，AB与y轴平行，若AB=BC，则k=　 　 ．
【答案】32
【知识点】平行线的性质；勾股定理；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y= (k>0，x>0)的图象上，
∴点A（4，），
∵△ABC的顶点C与原点O重合，
∴BC=OB==5，
∵AB=BC，
∴5=-3，
∴k=32.
故答案为：32.
【分析】由AB∥y轴，B（4，3），点A在反比例函数y= (k>0，x>0)的图象上，得点A（4，），再由勾股定理求得OB的长，结合AB=BC，从而得5=-3，解之即可确定k的值.
16．（2022·鄂尔多斯）如图，正方形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴上，E、F分别是边AB、OA上的点，且∠ECF＝45°，将△ECF沿着CF翻折，点E落在x轴上的点D处．已知反比例函数y1＝和y2＝分别经过点B、点E，若S△COD＝5，则k1﹣k2＝　 　．
【答案】10
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；正方形的性质
【解析】【解答】解：作EH⊥y轴于点H，
则四边形BCHE、AEHO都为矩形，
∵∠ECF=45°，△ECF翻折得到，
∴∠BCE+∠OCF=45°，
∵∠DOC+∠OCF＝45°，
∴∠BCE＝∠OCD，
∵BC＝OC，∠B＝∠COD，
∴△BCE≌△OCD（ASA），
∴S△BCE＝S△COD＝5，
∴S△CEH＝5，
S矩形BCHE＝10，
∴根据反比例函数系数k的几何意义得：
k1﹣k2＝S矩形BCHE＝10，
故答案为：10．
【分析】先求出∠BCE＝∠OCD，再利用全等三角形的判定与性质计算求解即可。
三、解答题（共8题，共72分）
17．（2022·贵阳）一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点.
（1）求这个反比例函数的表达式；
（2）根据图象写出使一次函数值小于反比例函数值的的取值范围.
【答案】（1）解：∵A、B点是一次函数与反比例函数的交点，
∴A、B点在一次函数上，
∴当x=-4时，y=1；当y=-4时，x=1，
∴A(-4，1)、B(1，-4)，
将A点坐标代入反比例函数，
∴，即k=-4，
即反比例函数的解析式为：
（2）解：一次函数值小于反比例函数值，在图象中表现为，一次函数图象在反比例函数图象的下方，
∵A(-4，1)、B(1，-4)，
∴一次函数值小于反比例函数值的x的取值范围为：或者.
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）将A（-4，m）、B（n，-4）代入y=-x-3中求出m、n的值，据此可得点A、B的坐标，然后将点A的坐标代入y=中求出k的值，进而可得反比例函数的解析式；
（2）根据图象，找出一次函数图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
18．（2022·盘锦）如图，平面直角坐标系中，四边形是菱形，点A在y轴正半轴上，点B的坐标是，反比例函数的图象经过点C．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）点D在边上，且，过点D作轴，交反比例函数的图象于点E，求点E的坐标．
【答案】（1）解：根据题意，过点B作BF⊥y轴，垂足为F，如图：
∵四边形是菱形，
设点A为（0，m），
∴，
∵点B为，
∴，，
在直角△ABF中，由勾股定理，则
，即，
解得：，
∴，
∴点C的坐标为，
把点C代入，得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：作DG⊥x轴，CH⊥x轴，垂足分别为G、H，如图，
∵，
∴，
∵DG∥CH，
∴△ODG∽△OCH，
∴，
∵点C的坐标为，
∴，，
∴，
∴，，
∴点D的纵坐标为，
∵轴，
∴点E的纵坐标为，
∴，解得，
∴点E的坐标为（，）；
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质求解即可。
19．（2022·赤峰）阅读下列材料
定义运算：，当时，；当时，．例如：；．
完成下列任务
（1）①　 　；②　 　
（2）如图，已知反比例函数和一次函数的图像交于、两点．当时，．求这两个函数的解析式．
【答案】（1）1；-4
（2）解：由函数图象可知当时，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴一次函数，
当x＝－2时，，
∴A（－2，1），
将A（－2，1）代入得，
∴反比例函数．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；定义新运算
【解析】【解答】(1)解：根据题意，
∵，当时，；当时，，
∴①；
∵，
∴②；
故答案为：①1；②-4；
【分析】（1）根据定义运算法则解答即可；
（2）根据反比例函数和一次函数图象性质解答即可。
20．（2022·泰安）如图，反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx＋b的图象交于A，B两点，点A的坐标为（2，6），点B的坐标为（n，1）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）点E为y轴上一个动点，若S△AEB＝5，求点E的坐标．
【答案】（1）解：把点A（2，6）代入y＝，得m＝12，
则y＝．
把点B（n，1）代入y＝，得n＝12，
则点B的坐标为（12，1）．
由直线y＝kx＋b过点A（2，6），点B（12，1）得，
解得，
则所求一次函数的表达式为y＝x＋7；
（2）解：如图，直线AB与y轴的交点为P，设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，
则点P的坐标为（0，7）．
∴PE＝|m﹣7|．
∵S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，
∴×|m﹣7|×（12﹣2）＝5
∴|m﹣7|＝1
∴m1＝6，m2＝8
∴点E的坐标为（0，6）或（0，8）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】（1）先将点A的坐标代入求出m的值，再将点B的坐标代入反比例求出n的值，最后将点A、B的坐标代入y＝kx＋b求出k、b的值即可；
（2）设点E的坐标为（0，m），连接AE，BE，根据S△AEB＝S△BEP﹣S△AEP＝5，可得×|m﹣7|×（12﹣2）＝5，再求出m的值即可得到答案。
21．（2022·呼和浩特）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点，且点的横坐标为1，过点作轴，于点，点是直线上一点，且．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）根据图象，请直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：∵，且点的横坐标为1，
∴，且，
，
在中，
，
，
点A的坐标为，且点A在反比例函数的图象上，
，解得，
反比例函数的解析式为：，
当时，，解得，
∴点B的坐标为，
将和代入一次函数得，
，解得，
∴一次函数的解析式为：．
（2）解：(2)不等式的解集为：或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：(2)由题意得，
，即，即，
只需反比例函数图象在一次函数图象上方即可，
由图可得当或时，，
∴不等式的解集为：或．
【分析】（1）利用点A的坐标用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出点B的坐标，再利用待定系数法求出 一次函数的解析式；
（2）观察函数图象谁的图象在上方谁的值就大即可求解。
22．（2022·枣庄）为加强生态文明建设，某市环保局对一企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AC表示前3天的变化规律，第3天时硫化物的浓度降为4.5mg/L．从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x满足下面表格中的关系：
时间x（天） 3 5 6 9 ……
硫化物的浓度y（mg/L） 4.5 2.7 2.25 1.5 ……
（1）在整改过程中，当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（2）在整改过程中，当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
（3）该企业所排污水中硫化物的浓度能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？
【答案】（1）解：由前三天的函数图象是线段，设函数表达式为：y=kx+b把（0，12）（3，4.5）代入函数关系式，得 ，解得：k=﹣2.5，b=12∴当0≤x＜3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y=﹣2.5x+12；
（2）解：当x≥3时，设y=，把（3，4.5）代入函数表达式，得4.5=，解得k=13.5，∴当x≥3时，硫化物的浓度y与时间x的函数表达式为：y= ；
（3）解：能，理由如下：当x=15时，y==0.9，因为0.9＜1，所以该企业所排污水中硫化物的浓度，能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数的实际应用；用图象表示变量间的关系
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）先求出 4.5=， 再求出k的值，最后求解即可；
（3）先求出 y==0.9， 再求解即可。
23．（2022·绥化）在平面直角坐标系中，已知一次函数与坐标轴分别交于，两点，且与反比例函数的图象在第一象限内交于P，K两点，连接，的面积为．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）当时，求x的取值范围；
（3）若C为线段上的一个动点，当最小时，求的面积．
【答案】（1）解：∵一次函数与坐标轴分别交于，两点，
∴把，代入得，
，解得，，
∴一次函数解析式为
过点P作轴于点H，
∵
∴
又
∴
∴
∴，
∴
∴
∵在双曲线上，
∴
∴
（2）解：联立方程组得，
解得， ，
∴
根据函数图象可得，反比例函数图象在直线上方时，有或，
∴当时，求x的取值范围为或，
（3）解：作点K关于x轴的对称点，连接交x轴于点M，则（1，-2），OM=1，
连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，
设直线的解析式为
把代入得，
解得，
∴直线的解析式为
当时，，解得，，
∴
∴
∴
，
∴
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）将点A、B的坐标代入求出可得一次函数解析式，再求出点，然后将点P的坐标代入求出即可得到答案；
（2）先求出一次函数与反比例函数图象的交点坐标，再结合函数值大的图象在上方的原则求解即可；
（3）连接交x轴于点C，连接KC，则PC+KC的值最小，先求出直线的解析式为再求出点C的坐标可得，最后利用割补法可得，再计算即可。
24．（2022·眉山）已知直线与反比例函数的图象在第一象限交于点.
（1）求反比例函数的解析式；
（2）如图，将直线向上平移个单位后与的图象交于点和点，求的值；
（3）在（2）的条件下，设直线与轴、轴分别交于点，，求证：.
【答案】（1）解：∵直线过点，
∴
∴将代入中，得，
∴反比例函数的表达式为
（2）解：∵点在的图象上，
∴，
∴
设平移后直线的解析式为，
将代入中，得4=1+b，
解得.
（3）证明：如图，过点作轴于点，过点作轴于点.
∵在反比例函数的图象上，
∴n=-4，
∴B（-4，-1）
又∵，
∴，，
∴
∴，
∴，
又∵直线与轴、轴分别交于点，，
∴，，
∴
在和中，
∴.
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【分析】（1）将M（2，a）代入y=x中可得a=2，则M（2，2），代入y=中求出k的值，据此可得反比例函数的解析式；
（2）将A（1，m）代入反比例函数解析式中可得m=4，则A（1，4），设平移后直线AB的解析式为y=x+b，将A（1，4）代入就可求出b的值；
（3）过点A作AE⊥y轴于点E，过B点作BF⊥x轴于点F，将y=-1代入反比例函数解析式中得n的值，则B（-4，-1），结合点A的坐标得AE=BF，OE=OF，由垂直得∠AEO=∠BFO，证明△AOE≌△BOF，得到∠AOE=∠BOF，OA=OB，易得C（-3，0）、D（0，3），则OC=OD，然后利用全等三角形的判定定理进行证明.
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