登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期数学8月联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·湖北月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·湖北月考）已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．-2
3．（2022高三上·湖北月考）（ ）
A．1 B．-1 C． D．
4．（2022高三上·湖北月考）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（ ）
A．36 B． C． D．48
5．（2022高三上·湖北月考）在平行四边形中，是的中点，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022高三上·湖北月考）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
7．（2022高三上·湖北月考）已知直线是曲线与曲线的一条公切线，直线与曲线相切于点，则满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022高三上·湖北月考）在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．22π B．26π C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·湖北月考）集成电路产业是信息产业发展的核心，是支撑经济社会和保障国家信息安全的战略性，基础性和先导性产业.下表统计了2015-2021年我国集成电路市场规模及同比增长情况，关于2015-2021年我国集成电路市场规模的下列说法正确的是（ ）
A．集成电路市场规模逐年增长
B．同比增长率的平均数不超过20%
C．集成电路市场规模同比增长率最高的年份是2017年
D．集成电路市场规模的中位数小于极差
10．（2022高三上·湖北月考）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2022高三上·湖北月考）已知双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线右支上的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．内切圆的半径为
C． D．点到轴的距离为
12．（2022高三上·湖北月考）已知函数的三个零点，，满足，则（ ）
A． B．
C． D．的最小值是
三、填空题
13．（2022高三上·湖北月考）若函数是偶函数，则 .
14．（2022高三上·湖北月考）的展开式中项的系数是 .
15．（2022高三上·湖北月考）记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为 .
16．（2022高三上·湖北月考）已知抛物线的准线与轴的交点为，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，，则 ；若的中点到准线的距离为，则 .
四、解答题
17．（2022高三上·湖北月考）已知正项数列的前n项和为，，且．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
18．（2022高三上·湖北月考）如图，是边长为3的等边三角形，线段交于点，.
（1）求；
（2）若，求长.
19．（2022高三上·湖北月考）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面.
（1）证明：.
（2）若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
20．（2022高三上·湖北月考）为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部，发展改革委联合发布了《财政部工业和信息化部科技部发展改革委关于2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策有关要求.为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机选取200人进行调查，整理数据后获得如下统计表：
愿意购买新能源汽车 不愿意购买新能源汽车
购买时补贴大于1.5万 65 35
购买时补贴不大于1.5万 45 55
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）能否有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？
（2）若从购买时补贴大于1.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取20人，从这20人中随机抽取3人调查家族收入情况，记表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求的分布列与数学期望.
21．（2022高三上·湖北月考）在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足.记点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）经过且不垂直于坐标轴的直线与交于两点，轴上点满足，证明：为定值，并求出该值.
22．（2022高三上·湖北月考）已知函数.
（1）若函数的最大值为1，求实数的值；
（2）证明：当时，.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，
故答案为：A
【分析】先化简集合，再根据交集定义计算即可.
2．【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
因为复数为纯虚数，
所以，即.
故答案为：C
【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.
3．【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】，故
故答案为：B
【分析】根据互补正弦值相等，结合两角和的正弦公式即可求解.
4．【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设正四棱台上、下底面的中心为，为侧面上的斜高，
过作交边于点，
所以，
所以，
所以正四棱台的上、下底面的面积为：，
正四棱台的侧面积为：，
则其表面积为：.
故答案为：B.
【分析】先求出侧面上的斜高，再求出正四棱台的上、下底面的面积和侧面积，由表面积公式即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为是的中点，是的中点，
所以，而，，
所以.
故答案为：D.
【分析】因为，分别用表示出，，代入即可得出答案.
6．【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为，故，取对数得，故，故最接近的是，
故答案为：C
【分析】根据高德纳箭头表示法即可求解，进而根据对数的运算与指数的互化即可求解.
7．【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】记得，记得，设直线与曲线相切于点，由于是公切线，故可得，
即化简得，
故答案为：C
【分析】求导，根据切点处的导数值为切线的斜率，以及由两切点的坐标，根据两点间斜率公式，即可列出方程求解.
8．【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图：
，且，
∴，
在△PAC中，根据余弦定理得，
，
∴，
∴，
又，平面PAC，
∴PB⊥平面PAC，
故可将三棱锥B-APC补为直三棱柱，
则直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，
设△PAC外接圆圆心为，△的外接圆圆心为，则直三棱柱的外接球球心为中点O，OA即为外接球的半径.
在△PAC中，根据正弦定理可得，∴，
∴，
∴外接球表面积为：．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理可判断△PAB是等腰直角三角形，从而求出∠PAC，在△PAC中利用余弦定理求出PC，根据勾股定理可判断PB⊥PC，从而可知PB⊥平面PAC，从而可将三棱锥补为以△PAC为底面的直三棱柱，外接球球心即为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，根据几何关系即可求解．
9．【答案】A,C,D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】对于A，由图可知，集成电路市场规模逐年增长，A符合题意；
对于B，同比增长率的平均数为：
，B不正确；
对于C，集成电路市场规模同比增长率最高的年份是2017年，为，C符合题意；
对于D，集成电路市场规模的中位数为：，
集成电路市场规模的极差为：.D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由图中信息可判断A，C；计算同比增长率的平均数、中位数和极差可判断B，D.
10．【答案】A,B,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图中最低点可知：，又周期，
再根据，故，由于，取，因此，
，
ABD符合题意，C不符合题意，
故答案为：ABD
【分析】由函数的最值可求，根据周期可求，由最低点的坐标可求，进而可得的表达式，代入即可求解.
11．【答案】A,B,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线的方程，得，，，所以双曲线的渐近线方程为，A符合题意；
因为，，，所以，，解得，故，C不符合题意；
内切圆的半径为， B符合题意；
设点到轴的距离为，由的面积为，可得，解得.
故答案为：ABD．
【分析】由双曲线的标准方程求出渐近线方程即可判断A；因为，，对两边同时平方结合勾股定理可求得，再由代入可判断C；由求得内切圆的半径可判断B；由等面积法可判断D.
12．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【解答】由题意，函数，
，
，
令，得或，令，得，
所以的极小值在处取得，极大值在处取得，
即的极小值为，的极大值为，
又因为，
而函数的三个零点分别为，，，且，
所以，，，A不符合题意，B、C符合题意；
由题中条件可知，
，
因此
，
因为函数在上单调递减，
所以当时，，
所以D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】结合导数以及二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确选项.
13．【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由题意知：，同乘以得，故，
故答案为：
【分析】根据偶函数满足，进而可得，化简即可求解的值.
14．【答案】50
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】依题意：，
其中展开式的通项为，，
所以展开式中含的项为，
所以展开式中项的系数是50.
故答案为：50
【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，即可求出展开式中项的系数.
15．【答案】16
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】由得，当时，单调递减，且，
当时，，故当时，，当时，，且，
所以当时，最小.
故答案为：16
【分析】根据数列的单调性，即可判断的最小时的值.
16．【答案】16；4
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题可知，设直线，代入抛物线方程可得，
，则，
因为|BF|=4|AF|，
所以，又，
∴，，
∴，
又的中点到准线的距离为，
∴，即，
∴，即.
故答案为：16；4.
【分析】由题可得，可设直线方程与抛物线联立，可得，根据抛物线方程可得，进而可得，再结合条件即得.
17．【答案】（1）证明：由得，
∴．
又，∴，∴．
∴数列是以公差为3的等差数列．
又，∴，，∴．
（2）解：由（1）知．
∴
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由可得，所以数列是以公差为3的等差数列，可求出数列的通项公式；
（2）求出，由裂项相消法求出.
18．【答案】（1）解：在中，由余弦定理可得，代入数据可得，，
由正弦定理可得，
所以
（2）解：在中，由（1）及余弦定理得，
，
又，
在中，由余弦定理可得，
故.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）在中由余弦定理及已知可求得，再由正弦定理可得到；
（2）由（1）得到，中由余弦定理可求得.
19．【答案】（1）证明：因为在中，，故，所以，解得，故，故.又平面平面且交于，故平面，又平面，故
（2）解：由（1）结合锥体的体积公式可得，故，解得.又 故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.
则，，，故，，设平面的一个法向量为，则，即，令有，故，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据余弦定理证明，再利用面面垂直的性质得到平面，故；
（2）根据（1）结合四棱锥的体积为，故，解得 ，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角的余弦即可.
20．【答案】（1）解：2×2列联表如下：
愿意购买新能源汽车 不愿意购买新能源汽车 合计
大于1.5万 65 35 100
不大于1.5万 45 55 100
合计 110 90 200
可得，
所以有95%的把握认为对新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关.
（2）解：依题意，分层随机抽样的抽样比为，
则有，，
所以在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取7人，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
故（人），
所以的数学期望为人
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意列出2×2列联表，计算卡方并比较即可；
（2）先计算出在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取7人，结合超几何分布相关知识求解概率与期望即可.
21．【答案】（1）解：由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点的椭圆，且
则可得，，
所以，
所以的方程为
（2）解：设直线为：，
则联立得：，
设，则，，
，
则，
中点坐标为，
所以的垂直平分线为，
令得：，
所以，，
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求点的轨迹方程；
（2） 设直线为：， 联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，从而表达出弦长，再求出中点坐标为，进而表达出的垂直平分线为， 求出点，得到，得到为定值.
22．【答案】（1）解：，
令，可得，
由，得，由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故，解得
（2）证明：欲证，
只需证，即证，
由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
令，
，则在上单调递减，
所以当时，，
故，
即，
，命题得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，并求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而求出的值；
（2）将要证明的不等式转化为，利用（1）中函数的单调性可得到，再构造函数，判断的单调性可得到，两个不等式相加即可得到结论式.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
湖北省腾云联盟2022-2023学年高三上学期数学8月联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·湖北月考）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，
故答案为：A
【分析】先化简集合，再根据交集定义计算即可.
2．（2022高三上·湖北月考）已知复数为纯虚数，则实数（ ）
A． B． C． D．-2
【答案】C
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】，
因为复数为纯虚数，
所以，即.
故答案为：C
【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.
3．（2022高三上·湖北月考）（ ）
A．1 B．-1 C． D．
【答案】B
【知识点】两角和与差的正弦公式；诱导公式
【解析】【解答】，故
故答案为：B
【分析】根据互补正弦值相等，结合两角和的正弦公式即可求解.
4．（2022高三上·湖北月考）已知正四棱台上底面边长为2，下底面边长4，高为3，则其表面积为（ ）
A．36 B． C． D．48
【答案】B
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【解析】【解答】设正四棱台上、下底面的中心为，为侧面上的斜高，
过作交边于点，
所以，
所以，
所以正四棱台的上、下底面的面积为：，
正四棱台的侧面积为：，
则其表面积为：.
故答案为：B.
【分析】先求出侧面上的斜高，再求出正四棱台的上、下底面的面积和侧面积，由表面积公式即可得出答案.
5．（2022高三上·湖北月考）在平行四边形中，是的中点，是的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】平面向量的基本定理
【解析】【解答】因为是的中点，是的中点，
所以，而，，
所以.
故答案为：D.
【分析】因为，分别用表示出，，代入即可得出答案.
6．（2022高三上·湖北月考）高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法.定义：，（从右往左计算）.已知可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（ ）（参考数据：）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数式与对数式的互化
【解析】【解答】因为，故，取对数得，故，故最接近的是，
故答案为：C
【分析】根据高德纳箭头表示法即可求解，进而根据对数的运算与指数的互化即可求解.
7．（2022高三上·湖北月考）已知直线是曲线与曲线的一条公切线，直线与曲线相切于点，则满足的关系式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】记得，记得，设直线与曲线相切于点，由于是公切线，故可得，
即化简得，
故答案为：C
【分析】求导，根据切点处的导数值为切线的斜率，以及由两切点的坐标，根据两点间斜率公式，即可列出方程求解.
8．（2022高三上·湖北月考）在三棱锥中，，，，，则三棱锥外接球的表面积为（ ）
A．22π B．26π C． D．
【答案】A
【知识点】球的体积和表面积
【解析】【解答】如图：
，且，
∴，
在△PAC中，根据余弦定理得，
，
∴，
∴，
又，平面PAC，
∴PB⊥平面PAC，
故可将三棱锥B-APC补为直三棱柱，
则直三棱柱的外接球即为三棱锥P-ABC的外接球，
设△PAC外接圆圆心为，△的外接圆圆心为，则直三棱柱的外接球球心为中点O，OA即为外接球的半径.
在△PAC中，根据正弦定理可得，∴，
∴，
∴外接球表面积为：．
故答案为：A．
【分析】根据勾股定理可判断△PAB是等腰直角三角形，从而求出∠PAC，在△PAC中利用余弦定理求出PC，根据勾股定理可判断PB⊥PC，从而可知PB⊥平面PAC，从而可将三棱锥补为以△PAC为底面的直三棱柱，外接球球心即为直三棱柱上下底面三角形外接圆圆心连线的中点，根据几何关系即可求解．
二、多选题
9．（2022高三上·湖北月考）集成电路产业是信息产业发展的核心，是支撑经济社会和保障国家信息安全的战略性，基础性和先导性产业.下表统计了2015-2021年我国集成电路市场规模及同比增长情况，关于2015-2021年我国集成电路市场规模的下列说法正确的是（ ）
A．集成电路市场规模逐年增长
B．同比增长率的平均数不超过20%
C．集成电路市场规模同比增长率最高的年份是2017年
D．集成电路市场规模的中位数小于极差
【答案】A,C,D
【知识点】收集数据的方法
【解析】【解答】对于A，由图可知，集成电路市场规模逐年增长，A符合题意；
对于B，同比增长率的平均数为：
，B不正确；
对于C，集成电路市场规模同比增长率最高的年份是2017年，为，C符合题意；
对于D，集成电路市场规模的中位数为：，
集成电路市场规模的极差为：.D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】由图中信息可判断A，C；计算同比增长率的平均数、中位数和极差可判断B，D.
10．（2022高三上·湖北月考）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,B,D
【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图中最低点可知：，又周期，
再根据，故，由于，取，因此，
，
ABD符合题意，C不符合题意，
故答案为：ABD
【分析】由函数的最值可求，根据周期可求，由最低点的坐标可求，进而可得的表达式，代入即可求解.
11．（2022高三上·湖北月考）已知双曲线的左、右焦点分别是，，点是双曲线右支上的一点，且，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．内切圆的半径为
C． D．点到轴的距离为
【答案】A,B,D
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由双曲线的方程，得，，，所以双曲线的渐近线方程为，A符合题意；
因为，，，所以，，解得，故，C不符合题意；
内切圆的半径为， B符合题意；
设点到轴的距离为，由的面积为，可得，解得.
故答案为：ABD．
【分析】由双曲线的标准方程求出渐近线方程即可判断A；因为，，对两边同时平方结合勾股定理可求得，再由代入可判断C；由求得内切圆的半径可判断B；由等面积法可判断D.
12．（2022高三上·湖北月考）已知函数的三个零点，，满足，则（ ）
A． B．
C． D．的最小值是
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点
【解析】【解答】由题意，函数，
，
，
令，得或，令，得，
所以的极小值在处取得，极大值在处取得，
即的极小值为，的极大值为，
又因为，
而函数的三个零点分别为，，，且，
所以，，，A不符合题意，B、C符合题意；
由题中条件可知，
，
因此
，
因为函数在上单调递减，
所以当时，，
所以D不符合题意．
故答案为：BC
【分析】结合导数以及二次函数的性质对选项进行分析，从而确定正确选项.
三、填空题
13．（2022高三上·湖北月考）若函数是偶函数，则 .
【答案】
【知识点】奇函数与偶函数的性质
【解析】【解答】由题意知：，同乘以得，故，
故答案为：
【分析】根据偶函数满足，进而可得，化简即可求解的值.
14．（2022高三上·湖北月考）的展开式中项的系数是 .
【答案】50
【知识点】二项式定理
【解析】【解答】依题意：，
其中展开式的通项为，，
所以展开式中含的项为，
所以展开式中项的系数是50.
故答案为：50
【分析】依题意可得，再写出展开式的通项，即可求出展开式中项的系数.
15．（2022高三上·湖北月考）记数列的前项和为，若，则使得取得最小值时的值为 .
【答案】16
【知识点】数列的求和
【解析】【解答】由得，当时，单调递减，且，
当时，，故当时，，当时，，且，
所以当时，最小.
故答案为：16
【分析】根据数列的单调性，即可判断的最小时的值.
16．（2022高三上·湖北月考）已知抛物线的准线与轴的交点为，抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，，则 ；若的中点到准线的距离为，则 .
【答案】16；4
【知识点】抛物线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】由题可知，设直线，代入抛物线方程可得，
，则，
因为|BF|=4|AF|，
所以，又，
∴，，
∴，
又的中点到准线的距离为，
∴，即，
∴，即.
故答案为：16；4.
【分析】由题可得，可设直线方程与抛物线联立，可得，根据抛物线方程可得，进而可得，再结合条件即得.
四、解答题
17．（2022高三上·湖北月考）已知正项数列的前n项和为，，且．
（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）证明：由得，
∴．
又，∴，∴．
∴数列是以公差为3的等差数列．
又，∴，，∴．
（2）解：由（1）知．
∴
．
【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和；数列的递推公式
【解析】【分析】（1）由可得，所以数列是以公差为3的等差数列，可求出数列的通项公式；
（2）求出，由裂项相消法求出.
18．（2022高三上·湖北月考）如图，是边长为3的等边三角形，线段交于点，.
（1）求；
（2）若，求长.
【答案】（1）解：在中，由余弦定理可得，代入数据可得，，
由正弦定理可得，
所以
（2）解：在中，由（1）及余弦定理得，
，
又，
在中，由余弦定理可得，
故.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）在中由余弦定理及已知可求得，再由正弦定理可得到；
（2）由（1）得到，中由余弦定理可求得.
19．（2022高三上·湖北月考）如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，，平面平面.
（1）证明：.
（2）若四棱锥的体积为，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
【答案】（1）证明：因为在中，，故，所以，解得，故，故.又平面平面且交于，故平面，又平面，故
（2）解：由（1）结合锥体的体积公式可得，故，解得.又 故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系.
则，，，故，，设平面的一个法向量为，则，即，令有，故，又平面的一个法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则
【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法
【解析】【分析】（1）根据余弦定理证明，再利用面面垂直的性质得到平面，故；
（2）根据（1）结合四棱锥的体积为，故，解得 ，再以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用空间向量的方法求解二面角的余弦即可.
20．（2022高三上·湖北月考）为进一步推动新能源汽车产业健康有序发展，财政部、工业和信息化部、科技部，发展改革委联合发布了《财政部工业和信息化部科技部发展改革委关于2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策的通知》，进一步明确了2022年新能源汽车推广应用财政补贴政策有关要求.为了解消费者对新能源汽车的购买意愿与财政补贴幅度的关系，随机选取200人进行调查，整理数据后获得如下统计表：
愿意购买新能源汽车 不愿意购买新能源汽车
购买时补贴大于1.5万 65 35
购买时补贴不大于1.5万 45 55
附：
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
（1）能否有95%的把握认为新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关？
（2）若从购买时补贴大于1.5万的样本中用分层随机抽样的方法抽取20人，从这20人中随机抽取3人调查家族收入情况，记表示这3人中愿意购买新能源汽车的人数，求的分布列与数学期望.
【答案】（1）解：2×2列联表如下：
愿意购买新能源汽车 不愿意购买新能源汽车 合计
大于1.5万 65 35 100
不大于1.5万 45 55 100
合计 110 90 200
可得，
所以有95%的把握认为对新能源汽车的购买意愿与购买时财政补贴幅度有关.
（2）解：依题意，分层随机抽样的抽样比为，
则有，，
所以在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取7人，
的所有可能取值为0，1，2，3，
，，，，
所以的分布列为：
0 1 2 3
故（人），
所以的数学期望为人
【知识点】独立性检验；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据题意列出2×2列联表，计算卡方并比较即可；
（2）先计算出在愿意购买新能源汽车的人中抽取13人，在不愿意购买新能源汽车的人中抽取7人，结合超几何分布相关知识求解概率与期望即可.
21．（2022高三上·湖北月考）在平面直角坐标系中，已知定点，动点满足.记点的轨迹为.
（1）求曲线的方程；
（2）经过且不垂直于坐标轴的直线与交于两点，轴上点满足，证明：为定值，并求出该值.
【答案】（1）解：由椭圆的定义可知：的轨迹为以为焦点的椭圆，且
则可得，，
所以，
所以的方程为
（2）解：设直线为：，
则联立得：，
设，则，，
，
则，
中点坐标为，
所以的垂直平分线为，
令得：，
所以，，
【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）利用椭圆的定义求点的轨迹方程；
（2） 设直线为：， 联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，从而表达出弦长，再求出中点坐标为，进而表达出的垂直平分线为， 求出点，得到，得到为定值.
22．（2022高三上·湖北月考）已知函数.
（1）若函数的最大值为1，求实数的值；
（2）证明：当时，.
【答案】（1）解：，
令，可得，
由，得，由，得，
则函数在上单调递增，在上单调递减，
故，解得
（2）证明：欲证，
只需证，即证，
由（1）知当时，函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，，
令，
，则在上单调递减，
所以当时，，
故，
即，
，命题得证.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，并求出函数的单调区间，即可得到函数的最值，从而求出的值；
（2）将要证明的不等式转化为，利用（1）中函数的单调性可得到，再构造函数，判断的单调性可得到，两个不等式相加即可得到结论式.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1
