苏科版数学2022-2023学年九年级上册一元二次方程 单元测试卷
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2022九上·定海月考）将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，-1 B．-3，5，1 C．3，-5，-1 D．3，-5，13
2．（2022九上·恩施月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等实根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
3．（2021九上·寿光期中）某机械厂七月份生产零件100万个，第三季度生产零件392万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝392
B．100+100（1+x）2＝392
C．100+100（1+x）+100（1+2x）＝392
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝392
4．（2021九上·盐湖月考）已知等腰△ABC的两边分别是方程x2-10x+21=0的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．13 C．11 D．13或17
5．（2021九上·沈河期末）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要赛一场，共赛45场，设共有x个队参赛、根据题意可列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝45
C． D．x（x+1）＝45
6．（2022九上·碑林月考）设，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022九上·通榆月考）如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx=6的根是（ ）
x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ……
ax2+bx …… 12 6 2 0 0 2 6 12 ……
A．x1=0，x2=1 B．x1=-1，x2=2 C．x1=-2，x2=3 D．x1=-3，x2=4
8．（2022八下·合肥期末）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2022九上·南宁开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2021九上·太原期中）如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形ABCD，让同学们按以下步骤完成画图：
⑴画出AD的中点E，连接BE；
⑵以点E为圆心，EB长为半径画弧，交DA的延长线于点F；
⑶以AF为边画正方形AFGH，点H在AB边上．在画出的图中有一条线段的长是方程x2+2x﹣4＝0的一个根．这条线段是（ ）
A．线段BH B．线段BE C．线段AE D．线段AH
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2022九上·龙亭月考）已知x2－6x+8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是 ．
12．（2022八下·东营期末）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽若设道路宽为xm，则根据题意可列方程为
13．（2022九上·榆林月考）“新冠肺炎”防治取得战略性成果，若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了 人．
14．（2021九上·兴文期中）有一张矩形纸板，长为80cm，宽为60cm，在它的四角各减去一个相同的小正方形；然后折叠成一个无盖的长方形纸盒．若纸盒的底面积（图中阴影部分）为，剪去的小正方形的边长为 ．
15．（2021九上·桂林期中）如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 边向点C以 的速度移动，同时另一个点 从点C开始沿 以 的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 .
三、综合题（共7题，共85分）
16．（2022九上·应城月考）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（用配方法解）
（2）
（3）
（4）
17．（2022·无为模拟）某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）图6中盆景数量为 ，盆花数量为 ；
（2）已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量；
（3）若有n（n为偶数，且）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为 ．（用含n的代数式表示）
18．（2022九上·福州开学考）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，农场决定利用旧墙和篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜园的一边靠墙，共用了60米篱笆．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为225平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
19．（2022八下·鄞州期中）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
20．（2022八下·鄞州期中）“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩.
（1）求该基地这两年“阳光攻瑰”种植面积的平均年增长率，
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克.
①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？
21．（2022八下·义乌期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ c，这时我们把关于x的形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）试判断方程 是否为 “勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．
22．（2022九上·宿豫开学考）我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）按上面材料提示的方法填空： ．
（2）探究：当取不同的实数时在得到的代数式的值中是否存在最小值？请说明理由．
（3）应用：如图．已知线段，是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以、为一组邻边作长方形问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：3x2-1=5x
3x2-5x-1=0，
二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-1，
故答案为：C.
【分析】先移项（移项要变号），将方程转化为ax2+bx+c=0的形式，可分别得到此方程的二次项系数、一次项系数、常数项.
2．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实根，
∴，
∴且，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等实根，可知△=b2-4ac>0，结合一元二次方程需满足k≠0，列出关于k的不等式，解不等式即可.
3．【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，
根据题意可列方程：100+100（1+x）+100（1+x）2＝392，
故答案为：D．
【分析】设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，根据题意直接列出方程即可。
4．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解： x2-10x+21=0，
（x-3）（x-7）=0，
∴x1=3，x2=7，
当腰是7，底是3时，能构成三角形，周长=7+7+3=17，
当腰是3，底是7时，不能构成三角形，
∴ △ABC的周长为 17.
故答案为：A.
【分析】先求出方程的根，根据腰长与底边的不同分两种情况讨论，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，即可求出三角形的周长.
5．【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设共有x个队参赛、根据题意可得：
故答案为：A.
【分析】设共有x个队参赛，可得每个队共比赛（x-1）场， 可得共赛x(x-1)场，根据比赛的总场数列出方程即可.
6．【答案】A
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：方程、是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=5，x1x2=-4，对待求式进行通分可得，然后代入计算即可.
7．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：观察表格得：当x=-2和x=3时，ax2+bx=6，
∴方程ax2+bx=6的根为x1=-2，x2=3，
故答案为：C.
【分析】观察表格得出当x=-2和x=3时，ax2+bx=6，即可得出方程ax2+bx=6的根为x1=-2，x2=3
8．【答案】C
【知识点】换元法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意得，
整理得：，
则，
方程两边同时除以，
，
（负值已经舍去），
故答案为：C．
【分析】先求出，再求解即可。
9．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥BA，
∴∠BAD＝90°，
设AD＝x，则BD＝2x，
根据勾股定理，可得62+x2＝（2x）2，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴AD＝，
∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠C＝∠DAC，
∴DC＝AD＝，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
设ED＝m，则EC＝2m，
根据勾股定理，得，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去），
∴EC＝2m＝4，
∴AE＝6﹣4＝2，
故答案为：B．
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C＝30°，由直角三角形的性质可得BD=2AD，设AD＝x，则BD＝2x，在直角三角形ADB中，用勾股定理得关于x的方程，解方程求得x的值，由计算得∠C＝∠DAC，根据等角对等边可得DC＝AD，设ED＝m，则EC＝2m，用勾股定理得关于m的方程，解方程求得m的值，于是AE=AC-CE可求解.
10．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：
， （舍去）
由题意可得： ， ，
∵E为AD的中点
∴
由勾股定理可得：
∴线段AH的长为方程 的一个根
故答案为：D
【分析】先求出 ， ， ，再利用勾股定理求出BE的值，最后求解即可。
11．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
当2为腰，4为底时，不能构成三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，
如下图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=2，AD为底边上的高，
∴BD=1，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先解一元二次方程，再利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）和等腰三角形的性质（两腰相等）分类讨论，当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，画出图形，作高进行计算求解.
12．【答案】(20-x)(32-x)=540
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，
根据题意得：（20-x）（32-x）=540．
故答案为：（20-x）（32-x）=540
【分析】根据所给的图形，结合题意求出（20-x）（32-x）=540即可作答。
13．【答案】4
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
根据题意得：（x+1）2=25，
解得x1=4，x2=-6（不符合题意，舍去），
∴x=4，
∴每轮传染中平均一个人传染了4人.
故答案为：4.
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，得出经过二轮传染后传染了（x+1）2人，再根据两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
14．【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为x，则由题意可得
解得
解得或（舍去）
所以小正方形的边长为15cm
故答案为：15cm.
【分析】设小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面的长为（80-2x）cm，宽为（60-2x）cm，根据长方形的面积等于长乘以宽，结合面积为1500平方厘米，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
15．【答案】
【知识点】三角形的面积；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ，
根据题意得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵△PCQ的面积等于450m2，
∴ ，
解得： ，
∵点Q从点C开始沿CB以 的速度移动，
∴ ，
∴ ，
即当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 .
故答案为： .
【分析】设经过的时间是ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，PC=(50-2t)cm，根据△PCQ的面积结合三角形的面积公式可得t的值，由点Q从点C开始沿CB以3m/s的速度移动，可得t≤，然后对求出的t的值进行取舍.
16．【答案】（1）解：
∴，
∴
（2）解：
∴
（3）解：
∴或
∴；
（4）解：
∴或
解得：．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用直接开平方法解一元二次方程即可.
17．【答案】（1）12；42
（2）解：由题意知，
整理得
解得，（不合题意，舍去）
当时，盆景数量为，盆花数量为
∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110．
（3）
【知识点】一元二次方程的其他应用；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）由图可知，盆景的数量依次为：、、、、
盆花的数量依次为：、、、、
∴可推导出一般性规律：图n中盆景的数量为：；盆花的数量为：
∴图6中盆景的数量为：；盆花的数量为：
故答案为：12；42．
(3)由一般性规律可知，当有n盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为
故答案为：．
【分析】（1）根据题意即可得出第n个图盆景有：；盆花的数量为：，从而得解；
（2）根据（1）中的规律进行求解即可；
（3）根据（1）中的分析进行求解即可；
18．【答案】（1）解：设AD＝xm，则AB＝m，
根据题意得x ＝225，
解得x1＝15，x2＝45，
∵AD≤a＝20，
∴AD＝15，
答：AD的长为15m；
（2）解：设AD＝xm．
∴S＝x ＝﹣（x2﹣60x）＝﹣（x﹣30）2+300，
当a≥30时，则x＝30时取S最大值，最大值为300平方米，
当0＜a＜30时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为﹣a2+20a，
综上所述，当a≥30时，矩形菜园ABCD面积的最大值为300m2；当0＜a＜30时，矩形菜园ABCD面积的最大值为﹣a2+20a．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AD＝xm，观察图形，利用矩形菜园的一边靠墙，共用了60米篱笆，可表示出AB的长，再利用矩形的面积等于长×宽，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再根据AD≤a可得到AD的长；
（2）设AD＝xm，矩形的面积为S，利用矩形的面积公式可得到S与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，分情况讨论：当a≥30时；当0＜a＜30时，可得到矩形的最大面积.
19．【答案】（1）解：根据题意得△=（-3）2-4k≥0，解得k≤
（2）解：满足条件的k的最大整数为2，此时方程变形为方程x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，
当相同的解为x=1时，把x=1代入方程得m-1+1+m-3=0，解得m=
当相同的解为x=2时，把x=2代入方程得4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0，
不符合题意，舍去，所以m的值为
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用已知的一元二次方程有实数根，可得到b2-4ac≥0，由此可得到关于k的不等式，然后求出不等式的解集；
（2）利用（1）可知k的最大整数为2，代入方程可求出方程的根，然后将其根分别代入另一个方程，求出符合题意的m的值.
20．【答案】（1）解：设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为y，
依题意，得：100（1+y）2==256，
解得：y1=0.6=60%，y2=-2.6（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．
（2）解：①
②依题意，得：（20-10-x）（200+45x）=2125，．
整理，得：9x2-50x+25=0，
解得：x1=5，x2=
∵要尽量减少库存，
∴x=5．答：售价应降低5元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”的面积×（1+增长率）2=2020年“阳光玫瑰”的种植面积，设未知数，列方程，然后求出方程的解；
（2） ① 用200+降价每天多售的数量，可得到每一天的销售量；②再利用每千克的利润×销售量=总利润，建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据尽量减少库存，可确定出x的值.
21．【答案】（1）解： ∵a=1，b=1
∴c=，
∴
∴ 方程 是“勾系一元二次方程”.
（2）证明：由题意，得△＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣ c+b＝0，即a+b＝ c，
∵2（a+b）+ c＝12，∴c＝2 ，∴a+b＝4，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2=16∴ab＝4，∴S△ABC＝ ab＝2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用“勾系一元二次方程”的定义，利用勾股定理求出c的值，然后求出的值，即可作出判断.
（2）利用一元二次方程根的判别式，求出b2-4ac的值，再证明b2-4ac≥0，即可求解.
（3）利用“勾系一元二次方程”的定义，将x=1代入方程，可得到a+b与x的关系，再求出a+b的值，然后求出ab的值，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
22．【答案】（1）；；；
（2）解：，，
当时，代数式存在最小值为-4；
（3）解：根据题意得：，
则时，最大值为9．
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：；；
故答案为：；；；；
【分析】（1）a2-4a=a2-4a+4-4，然后对前三项利用完全平方公式分解即可；-a2+12a=-(a2-12a+36)+36，再对括号中的式子利用完全平方公式分解即可；
（2）根据（1）的结果结合偶次幂的非负性可得代数式的最小值以及对应的a的值；
（3）根据矩形的性质可得S=x(6-x)=-(x-3)2+9，结合偶次幂的非负性可得最大值以及对应的x的值.
1 / 1苏科版数学2022-2023学年九年级上册一元二次方程 单元测试卷
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2022九上·定海月考）将一元二次方程化为一般形式后，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ）
A．3，5，-1 B．-3，5，1 C．3，-5，-1 D．3，-5，13
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：3x2-1=5x
3x2-5x-1=0，
二次项系数为3，一次项系数为-5，常数项为-1，
故答案为：C.
【分析】先移项（移项要变号），将方程转化为ax2+bx+c=0的形式，可分别得到此方程的二次项系数、一次项系数、常数项.
2．（2022九上·恩施月考）若关于x的一元二次方程有两个不相等实根，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等实根，
∴，
∴且，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程有两个不相等实根，可知△=b2-4ac>0，结合一元二次方程需满足k≠0，列出关于k的不等式，解不等式即可.
3．（2021九上·寿光期中）某机械厂七月份生产零件100万个，第三季度生产零件392万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（ ）
A．100（1+x）2＝392
B．100+100（1+x）2＝392
C．100+100（1+x）+100（1+2x）＝392
D．100+100（1+x）+100（1+x）2＝392
【答案】D
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【解答】解：设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，
根据题意可列方程：100+100（1+x）+100（1+x）2＝392，
故答案为：D．
【分析】设该厂八、九月份平均每月的增长率为x，根据题意直接列出方程即可。
4．（2021九上·盐湖月考）已知等腰△ABC的两边分别是方程x2-10x+21=0的两个根，则△ABC的周长为（ ）
A．17 B．13 C．11 D．13或17
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解： x2-10x+21=0，
（x-3）（x-7）=0，
∴x1=3，x2=7，
当腰是7，底是3时，能构成三角形，周长=7+7+3=17，
当腰是3，底是7时，不能构成三角形，
∴ △ABC的周长为 17.
故答案为：A.
【分析】先求出方程的根，根据腰长与底边的不同分两种情况讨论，再根据三角形三边关系判断能否构成三角形，即可求出三角形的周长.
5．（2021九上·沈河期末）在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个队之间都要赛一场，共赛45场，设共有x个队参赛、根据题意可列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝45
C． D．x（x+1）＝45
【答案】A
【知识点】一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设共有x个队参赛、根据题意可得：
故答案为：A.
【分析】设共有x个队参赛，可得每个队共比赛（x-1）场， 可得共赛x(x-1)场，根据比赛的总场数列出方程即可.
6．（2022九上·碑林月考）设，是方程的两个实数根，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的化简求值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：方程、是方程的两个实数根，
，，
．
故答案为：A.
【分析】根据根与系数的关系可得x1+x2=5，x1x2=-4，对待求式进行通分可得，然后代入计算即可.
7．（2022九上·通榆月考）如表是代数式ax2+bx的值的情况，根据表格中的数据，可知方程ax2+bx=6的根是（ ）
x …… -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ……
ax2+bx …… 12 6 2 0 0 2 6 12 ……
A．x1=0，x2=1 B．x1=-1，x2=2 C．x1=-2，x2=3 D．x1=-3，x2=4
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：观察表格得：当x=-2和x=3时，ax2+bx=6，
∴方程ax2+bx=6的根为x1=-2，x2=3，
故答案为：C.
【分析】观察表格得出当x=-2和x=3时，ax2+bx=6，即可得出方程ax2+bx=6的根为x1=-2，x2=3
8．（2022八下·合肥期末）如图，将图1的正方形剪成四块，恰能拼成图2的矩形，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】换元法解一元二次方程；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：依题意得，
整理得：，
则，
方程两边同时除以，
，
（负值已经舍去），
故答案为：C．
【分析】先求出，再求解即可。
9．（2022九上·南宁开学考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，过点A作AD⊥BA交BC于点D，过点D作DE⊥BC交AC于点E，则AE的长为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；直角三角形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：∵AB＝AC＝6，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°，
∵AD⊥BA，
∴∠BAD＝90°，
设AD＝x，则BD＝2x，
根据勾股定理，可得62+x2＝（2x）2，
解得x＝或x＝﹣（舍去），
∴AD＝，
∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，
∴∠C＝∠DAC，
∴DC＝AD＝，
∵DE⊥BC，
∴∠EDC＝90°，
设ED＝m，则EC＝2m，
根据勾股定理，得，
∴m＝2或m＝﹣2（舍去），
∴EC＝2m＝4，
∴AE＝6﹣4＝2，
故答案为：B．
【分析】由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠B＝∠C＝30°，由直角三角形的性质可得BD=2AD，设AD＝x，则BD＝2x，在直角三角形ADB中，用勾股定理得关于x的方程，解方程求得x的值，由计算得∠C＝∠DAC，根据等角对等边可得DC＝AD，设ED＝m，则EC＝2m，用勾股定理得关于m的方程，解方程求得m的值，于是AE=AC-CE可求解.
10．（2021九上·太原期中）如图，在活动课上，老师画出边长为2的正方形ABCD，让同学们按以下步骤完成画图：
⑴画出AD的中点E，连接BE；
⑵以点E为圆心，EB长为半径画弧，交DA的延长线于点F；
⑶以AF为边画正方形AFGH，点H在AB边上．在画出的图中有一条线段的长是方程x2+2x﹣4＝0的一个根．这条线段是（ ）
A．线段BH B．线段BE C．线段AE D．线段AH
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程的其他应用
【解析】【解答】解：
， （舍去）
由题意可得： ， ，
∵E为AD的中点
∴
由勾股定理可得：
∴线段AH的长为方程 的一个根
故答案为：D
【分析】先求出 ， ， ，再利用勾股定理求出BE的值，最后求解即可。
二、填空题（每题5分，共25分）
11．（2022九上·龙亭月考）已知x2－6x+8＝0的两个根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的面积是 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，，
当2为腰，4为底时，不能构成三角形；
当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，
如下图所示，在等腰三角形ABC中，AB=AC=4，BC=2，AD为底边上的高，
∴BD=1，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】先解一元二次方程，再利用三角形三边关系（两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）和等腰三角形的性质（两腰相等）分类讨论，当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，画出图形，作高进行计算求解.
12．（2022八下·东营期末）如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540m2，求道路的宽若设道路宽为xm，则根据题意可列方程为
【答案】(20-x)(32-x)=540
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：利用平移，原图可转化为右图，设小路宽为x米，
根据题意得：（20-x）（32-x）=540．
故答案为：（20-x）（32-x）=540
【分析】根据所给的图形，结合题意求出（20-x）（32-x）=540即可作答。
13．（2022九上·榆林月考）“新冠肺炎”防治取得战略性成果，若有一个人患了“新冠肺炎”，经过两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”，则每轮传染中平均一个人传染了 人．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人，
根据题意得：（x+1）2=25，
解得x1=4，x2=-6（不符合题意，舍去），
∴x=4，
∴每轮传染中平均一个人传染了4人.
故答案为：4.
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x人，得出经过二轮传染后传染了（x+1）2人，再根据两轮传染后共有25个人患了“新冠肺炎”列出方程，解方程求出x的值，再进行检验，即可得出答案.
14．（2021九上·兴文期中）有一张矩形纸板，长为80cm，宽为60cm，在它的四角各减去一个相同的小正方形；然后折叠成一个无盖的长方形纸盒．若纸盒的底面积（图中阴影部分）为，剪去的小正方形的边长为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为x，则由题意可得
解得
解得或（舍去）
所以小正方形的边长为15cm
故答案为：15cm.
【分析】设小正方形的边长为xcm，则纸盒的底面的长为（80-2x）cm，宽为（60-2x）cm，根据长方形的面积等于长乘以宽，结合面积为1500平方厘米，可得到关于x的方程，解方程求出x的值.
15．（2021九上·桂林期中）如图，在 中， ， ， ，点 从点 开始沿 边向点C以 的速度移动，同时另一个点 从点C开始沿 以 的速度移动，当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 .
【答案】
【知识点】三角形的面积；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 ，
根据题意得： ， ，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∵△PCQ的面积等于450m2，
∴ ，
解得： ，
∵点Q从点C开始沿CB以 的速度移动，
∴ ，
∴ ，
即当△PCQ的面积等于450m2时，经过的时间是 .
故答案为： .
【分析】设经过的时间是ts，根据题意得：AP=2tcm，CQ=3tcm，PC=(50-2t)cm，根据△PCQ的面积结合三角形的面积公式可得t的值，由点Q从点C开始沿CB以3m/s的速度移动，可得t≤，然后对求出的t的值进行取舍.
三、综合题（共7题，共85分）
16．（2022九上·应城月考）用适当的方法解下列一元二次方程：
（1）（用配方法解）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
∴，
∴
（2）解：
∴
（3）解：
∴或
∴；
（4）解：
∴或
解得：．
【知识点】直接开平方法解一元二次方程；配方法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；
（2）利用配方法解一元二次方程即可；
（3）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（4）利用直接开平方法解一元二次方程即可.
17．（2022·无为模拟）某花卉生产基地举行花卉展览，如图所示是用这两种花卉摆成的图案，白色圆点为盆景，灰色圆点为盆花．图1中盆景数量为2，盆花数量为2；图2中盆景数量为4，盆花数量为6；图3中盆景数量为6，盆花数量为12……
按照以上规律，解决下列问题：
（1）图6中盆景数量为 ，盆花数量为 ；
（2）已知该生产基地展出以上两种花卉在某种图案中的数量之和为130盆，分别求出该图案中盆景和盆花的数量；
（3）若有n（n为偶数，且）盆盆景需要展出（只摆一种图案），照此组合图案，需要盆花的数量为 ．（用含n的代数式表示）
【答案】（1）12；42
（2）解：由题意知，
整理得
解得，（不合题意，舍去）
当时，盆景数量为，盆花数量为
∴该图案中盆景和盆花的数量分别为20和110．
（3）
【知识点】一元二次方程的其他应用；探索图形规律
【解析】【解答】解：（1）由图可知，盆景的数量依次为：、、、、
盆花的数量依次为：、、、、
∴可推导出一般性规律：图n中盆景的数量为：；盆花的数量为：
∴图6中盆景的数量为：；盆花的数量为：
故答案为：12；42．
(3)由一般性规律可知，当有n盆盆景需要展出时，需要盆花的数量为
故答案为：．
【分析】（1）根据题意即可得出第n个图盆景有：；盆花的数量为：，从而得解；
（2）根据（1）中的规律进行求解即可；
（3）根据（1）中的分析进行求解即可；
18．（2022九上·福州开学考）如图，在足够大的空地上有一段长为a米的旧墙，农场决定利用旧墙和篱笆围成中间隔有一道篱笆的矩形菜园ABCD，其中AD≤a，已知矩形菜园的一边靠墙，共用了60米篱笆．
（1）若a＝20，所围成的矩形菜园的面积为225平方米，求所利用旧墙AD的长；
（2）求矩形菜园ABCD面积的最大值．
【答案】（1）解：设AD＝xm，则AB＝m，
根据题意得x ＝225，
解得x1＝15，x2＝45，
∵AD≤a＝20，
∴AD＝15，
答：AD的长为15m；
（2）解：设AD＝xm．
∴S＝x ＝﹣（x2﹣60x）＝﹣（x﹣30）2+300，
当a≥30时，则x＝30时取S最大值，最大值为300平方米，
当0＜a＜30时，则当0＜x≤a时，S随x的增大而增大，当x＝a时，S的最大值为﹣a2+20a，
综上所述，当a≥30时，矩形菜园ABCD面积的最大值为300m2；当0＜a＜30时，矩形菜园ABCD面积的最大值为﹣a2+20a．
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）设AD＝xm，观察图形，利用矩形菜园的一边靠墙，共用了60米篱笆，可表示出AB的长，再利用矩形的面积等于长×宽，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，再根据AD≤a可得到AD的长；
（2）设AD＝xm，矩形的面积为S，利用矩形的面积公式可得到S与x之间的函数解析式，利用二次函数的性质，分情况讨论：当a≥30时；当0＜a＜30时，可得到矩形的最大面积.
19．（2022八下·鄞州期中）关于x的一元二次方程x2﹣3x+k＝0有实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程（m﹣1）x2+x+m﹣3＝0与方程x2﹣3x+k＝0有一个相同的根，求此时m的值．
【答案】（1）解：根据题意得△=（-3）2-4k≥0，解得k≤
（2）解：满足条件的k的最大整数为2，此时方程变形为方程x2-3x+2=0，解得x1=1，x2=2，
当相同的解为x=1时，把x=1代入方程得m-1+1+m-3=0，解得m=
当相同的解为x=2时，把x=2代入方程得4（m-1）+2+m-3=0，解得m=1，而m-1≠0，
不符合题意，舍去，所以m的值为
【知识点】一元二次方程的根；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）利用已知的一元二次方程有实数根，可得到b2-4ac≥0，由此可得到关于k的不等式，然后求出不等式的解集；
（2）利用（1）可知k的最大整数为2，代入方程可求出方程的根，然后将其根分别代入另一个方程，求出符合题意的m的值.
20．（2022八下·鄞州期中）“阳光玫瑰”葡萄品种是广受各地消费者的青睐的优质新品种，在我国西部区域广泛种植，某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”100亩，到2020年“阳光玫瑰”的种植面积达到256亩.
（1）求该基地这两年“阳光攻瑰”种植面积的平均年增长率，
（2）市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/千克时，每天能售出200千克，售价每降价1元，每天可多售出45千克.
①若降价x（0≤x≤20）元，每天能售出多少千克？（用x的代数式表示）
②为了推广宣传，基地决定降价促销，同时尽量减少库存，已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本价为10元/千克，若要销售“阳光玫瑰”每天获利2125元，则售价应降低多少元？
【答案】（1）解：设该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为y，
依题意，得：100（1+y）2==256，
解得：y1=0.6=60%，y2=-2.6（不合题意，舍去）．
答：该基地这两年“阳光玫瑰”种植面积的平均增长率为60%．
（2）解：①
②依题意，得：（20-10-x）（200+45x）=2125，．
整理，得：9x2-50x+25=0，
解得：x1=5，x2=
∵要尽量减少库存，
∴x=5．答：售价应降低5元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）由某葡萄种植基地2018年种植“阳光玫瑰”的面积×（1+增长率）2=2020年“阳光玫瑰”的种植面积，设未知数，列方程，然后求出方程的解；
（2） ① 用200+降价每天多售的数量，可得到每一天的销售量；②再利用每千克的利润×销售量=总利润，建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据尽量减少库存，可确定出x的值.
21．（2022八下·义乌期中）如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED边长，易知AE＝ c，这时我们把关于x的形如ax2+ cx+b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”．
请解决下列问题：
（1）试判断方程 是否为 “勾系一元二次方程”；
（2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根；
（3）若x＝﹣1是“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是12，求△ABC面积．
【答案】（1）解： ∵a=1，b=1
∴c=，
∴
∴ 方程 是“勾系一元二次方程”.
（2）证明：由题意，得△＝2c2﹣4ab＝2（a2+b2）﹣4ab＝2（a﹣b）2≥0，
∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2+ cx+b＝0必有实数根；
（3）解：当x＝﹣1时，有a﹣ c+b＝0，即a+b＝ c，
∵2（a+b）+ c＝12，∴c＝2 ，∴a+b＝4，
∵（a+b）2＝a2+2ab+b2=16∴ab＝4，∴S△ABC＝ ab＝2．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；勾股定理的应用
【解析】【分析】（1）利用“勾系一元二次方程”的定义，利用勾股定理求出c的值，然后求出的值，即可作出判断.
（2）利用一元二次方程根的判别式，求出b2-4ac的值，再证明b2-4ac≥0，即可求解.
（3）利用“勾系一元二次方程”的定义，将x=1代入方程，可得到a+b与x的关系，再求出a+b的值，然后求出ab的值，利用三角形的面积公式求出△ABC的面积.
22．（2022九上·宿豫开学考）我们知道：；，这一种方法称为配方法，利用配方法请解以下各题：
（1）按上面材料提示的方法填空： ．
（2）探究：当取不同的实数时在得到的代数式的值中是否存在最小值？请说明理由．
（3）应用：如图．已知线段，是上的一个动点，设，以为一边作正方形，再以、为一组邻边作长方形问：当点在上运动时，长方形的面积是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；否则请说明理由．
【答案】（1）；；；
（2）解：，，
当时，代数式存在最小值为-4；
（3）解：根据题意得：，
则时，最大值为9．
【知识点】配方法的应用
【解析】【解答】解：（1）根据题意得：；；
故答案为：；；；；
【分析】（1）a2-4a=a2-4a+4-4，然后对前三项利用完全平方公式分解即可；-a2+12a=-(a2-12a+36)+36，再对括号中的式子利用完全平方公式分解即可；
（2）根据（1）的结果结合偶次幂的非负性可得代数式的最小值以及对应的a的值；
（3）根据矩形的性质可得S=x(6-x)=-(x-3)2+9，结合偶次幂的非负性可得最大值以及对应的x的值.
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