沪科版数学2022~2023学年年度九年级（上）期中考试模拟卷（A卷）
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2022九上·桐庐月考）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022九上·麒麟月考）把抛物线y=-x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A．y=-（x+1）2+3 B．y=-（x+1）2-3
C．y=-（x-1）2-3 D．y=-（x-1）2+3
3．（2021九上·沂南期中）已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022九上·麒麟月考）已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和×轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k> B．k≥
C．k≥且k≠0 D．k> 且k≠0
5．（2022八下·东莞期末）宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特神庙等．若黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽是（ ）
A． B． C． D．
6．（2022九上·舟山月考）在同一直角坐标系中，函数和函数(a是常数，且a≠0)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2021九上·长沙开学考）如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ，当水面宽增加 时，则水面应下降的高度是（ ）
A． B． C． D．
8．（2022九上·苍南开学考）如图，四边形中，，交轴正半轴于点，反比例函数经过点，交的中点于，平分，若，则的值为（ ）
A．12 B． C．8 D．
9．（2022·宁阳模拟）如图，在 中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ）
A． B．2 C．3 D．4
10．（2022九上·舟山月考）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．2个
二、填空题（共5题，共25分）
11．（2022九上·应城月考）抛物线y=+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为 .
12．（2022九上·镇海区开学考）如图，直线与双曲线的图象在第一象限内交于点，过点的另一直线交双曲线于第三象限内的点，则不等式的解集是 ．
13．（2021九上·蜀山月考）如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为： （化简为一般式）．
14．（2021九上·覃塘期末）如图，在等腰 中， ，点P在 的延长线上， ，点D在 边上， ，则 的值是 .
15．（2020九上·阜南期末）抛物线 与线段 有两个不同的交点，已知 ， ，则 的取值范围是 ．
三、综合题（共8题，共85分）
16．（2020九上·舒兰期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 (单位： )与小球的运动时间 (单位： )之间的关系式是 ( )．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
17．（2021九上·吉安期中）已知 、 、 是 的三边长，且 .
（1）求 的值；
（2）若 的周长为90，求各边的长.
18．（2022·六盘水）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求，两点的坐标；
（2）将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
19．（2018九上·黄石期中）如图，矩形ABCD的长AD＝5 cm，宽AB＝3 cm，长和宽都增加x cm，那么面积增加y cm2.
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当增加的面积y＝20 cm2时，求相应的x是多少？
20．（2021九上·历下期中）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内注意力指数y是时间x的一次函数.10分钟以后注意力指数y是x的反比例函数．
（1）当0≤x≤10时，求y关于x的函数关系式；
（2）当10≤x≤40时，求y关于x的函数关系式；
（3）如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果本节课讲完这道题不能超过多少分钟？
21．（2022九上·江油开学考）公路上正在行驶的甲车发现前方处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程单位：、速度单位：与时间单位：的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）直接写出关于的函数关系式 和关于的函数关系式 不要求写出的取值范围
（2）当甲车减速至时，它行驶的路程是多少？
（3）若乙车以的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
22．（2022·新河模拟）冰墩墩是北京2022年冬季奥运会吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩挂件也很受欢迎，某小店的进货价为每个50元，当售价为每个92元时，每月可销售100个，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售10个．设每个挂件的售价为x元（x为正整数且），每月的销售量为y个．
（1）当售价为85时，每个月的销售量为 ；
（2）设该店每月所获利润为w元，当降价多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？
（3）该店店主热心公益事业，决定每月从出售的每个挂件中拿出6元资助贫困学生，且总捐款额不低于1500元，求捐款后每月最大利润．
23．（2022·广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.
（1）求此抛物线的函数解析式.
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A. 是反比例函数，故此选项错误；
B. 是二次函数，故此选项正确；
C. 是一次函数，故此选项错误；
D. 是正比例函数，故此选项错误．
故答案为：B.
【分析】二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0），据此判断.
2．【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把抛物线y=-x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为y=-（x+1） 2+3.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得出答案.
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：A．
【分析】将点A、B、C的坐标代入求出、、，再比较大小即可。
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y=kx2-7x-7的图象和×轴有交点，
∴方程kx2-7x-7=0有实数根，
∴△=（-7）2-4×（-7）k≥0，
∴k≥-且k≠0.
故答案为：C.
【分析】根据题意得出方程kx2-7x-7=0有实数根，再根据一元二次方程根的判别式得出（-7）2-4×（-7）k≥0且k≠0，解不等式即可得出答案.
5．【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：如图，
由题意得： ，
又∵，
∴，
，
故答案为：D．
【分析】根据黄金矩形的定义可得 ， 则， 解之可得 。
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，
∴抛物线开口向下，
直线，抛物线的对称轴在y轴的右侧，故A不符合题意；
B、一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，
∴抛物线开口向下，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴a＞0，
∴抛物线开口向上，
直线，抛物线的对称轴在y轴的左侧，故C不符合题意；
D、一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，
∴抛物线开口向下，
直线，抛物线的对称轴在y轴的右侧，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】观察A、B、D选项中的一次函数图象的位置：经过第二、三、四象限，可知a＜0，由此可得到抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，可对A、B、D作出判断；观察C选项中的一次函数的图象，可知a＞0，抛物线的开口向上，且抛物线的对称轴在y轴的左侧，可对C作出判断.
7．【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系xOy，水面宽为AB，与y轴交于E，水面下降后宽度为CD，与y轴交于F，
∵OE=2m，AB=4m，抛物线的对称轴为y轴，
∴点B（2，-2）
设抛物线为y=ax2，
∵抛物线过点B，
∴-2=4a，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
设水面下降nm，
∵CD=AB+ ，
∴D（ ），
∵点D在抛物线上，
∴ ，
解得n=1.
故答案为：B.
【分析】以拱形桥顶为坐标原点，建立直角坐标系xOy，水面宽为AB，与y轴交于E，水面下降后宽度为CD，与y轴交于F，易得B（2，-2），设抛物线为y=ax2，将点B坐标代入可求得a，得到y=x2，设水面下降nm，则D（，-2-n），代入抛物线解析式中求解就可得到n的值.
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；梯形中位线定理；反比例函数图象上点的坐标特征；角平分线的定义；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：作DE∥OA交OC于E，如图，
平分，
，
∵DE∥OA，
，
，
，
∵D点为AB的中点，
∴DE为图形的中位线，
，
设，则，，，
在的图象上，
，解得，
，，
，
即，
解得.
故答案为：B.
【分析】作DE∥OA交OC于E，根据角平分线的概念可得∠1=∠2，根据平行线的性质可得∠1=∠3，则∠2=∠3，推出DE=OE，由题意可得DE为梯形ABCO的中位线，则OE=CE=DE，设C（t，），则B（t+2，），D（t+2，），E（，），将点D的坐标代入y=中可得t的值，然后求出DE，得到点C的坐标以及OC的值，然后利用两点间距离公式可得k的值.
9．【答案】C
【知识点】比例的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点D作 交BC于F，如图，
∵ ，
∴ ，
∵O是BD的中点，
∴BO=OD，
∴BE=EF，
∵ ，
∴ ，
∴CF=2EF，
∴BE：EC=BE：3BE=1：3，
∵BE=1，
∴EC=3，
故答案为：C．
【分析】过点D作 交BC于F，根据 ，可得 ，由 可得 ，CF=2EF，
BE：EC=BE：3BE=1：3，BE=1，EC=3。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c＞0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），
∴当x=-2时y＞0即4a-2b+c＞0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线
∴b=2a，
∵当x=2时y＜0，
∴4a+2b+c＜0
∴4a+4a+c＜0即8a+c＜0，故③错误；
∵当x=1时a+b+c=0，b=2a，
∴c=-3a，
∴3a-3b=3a-6a=-3a，
∴c=3a-3b，故④正确；
∵ 直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，
∴ax2+bx+c=2x+2，
∴ax2+（b-2）x+c-2=0
∴
∴，故⑤正确；
∴正确结论的个数有3个.
故答案为：B
【分析】利用抛物线的开口方向可知a＜0，利用对称轴的位置：左同右异，可知b＜0，抛物线交于y轴的正半轴，可知c＞0，同时可得到ab的符号，可对①作出判断；利用二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），由此可得到当x=-2时y＞0，可对②作出判断；利用抛物线的对称轴可知b=2a，观察函数图象，可知当x=2时y＜0，即可得到4a+2b+c＜0，代入化简，可对③作出判断；由当x=1时a+b+c=0和b=2a，可得到c=-3a，再求出3a-3b=-3a，据此可对④作出判断；将两函数解析式联立方程组，可得到关于x的一元二次方程：ax2+（b-2）x+c-2=0，利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出x1+x2及x1x2，由c=-3a，b=2a，将其代入x1+x2+x1x2，可求出x1+x2+x1x2的值，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
11．【答案】y=－2x－3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将A、B两点代入可得：，
解得：
∴二次函数的解析式为：y=－2x－3.
【分析】将A、B两点坐标代入抛物线解析式中，可得关于b、c的方程组，并解之即可.
12．【答案】x＜-4或0＜x＜2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：直线与双曲线的图象在第一象限内交于点A，A点的横坐标是，
把代入解析式，
解得，则A的坐标是．
把代入，解得，
在中，令，则，即B的坐标是：．
根据图象得到：不等式的解集是x＜-4或0＜x＜2
故答案为：x＜-4或0＜x＜2.
【分析】将x=2代入y=x中求出y的值，得到点A的坐标，将点A的坐标代入y=中求出k的值，得到反比例函数的解析式，反比例函数中令y=-1，求出x的值，得到点B的坐标，然后根据图象，找出一次函数y=mx+n的图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
13．【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】根据题意，将阴影部分平移，如图，
则 ．
故答案为： ．
【分析】求出即可作答。
14．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图：过点P作 交DC延长线于点E，
在 和 中
故答案为： .
【分析】过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，由等边对等角得∠B=∠ACB，∠PDC=∠PCD，由平行线的性质可得∠E=∠ACB=∠B；结合三角形的外角的性质可得∠BPD=∠EPC，用SAS证△PCE≌△PDB，则BD=CE；由平行线分线段成比例定理得比例式可求解.
15．【答案】 或a≤-2
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】设线段AB所在的直线解析式为：y=kx+b
∵A( 1，0) ，B(1，1)
∴
解得：
∴线段AB所在的直线解析式为：y= x+
分类讨论：a的正负关系，
当 时，在 减小的过程中，抛物线与线段相切，
则
代入 得
．
当 时，当抛物线穿过 点时成立．
代入 ，得 ，
∴
综上所述： 或 ．
故答案为：1≤a< 或a≤ 2
【分析】利用待定系数法求出线段AB所在的直线解析式为：y= x+ ，再结合函数图象计算求解即可。
16．【答案】解：
当 时， 最大 ．
答：小球运动3秒时，小球最高，最大高度是 ．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】首先将二次函数转换成顶点式，然后即可求出自变量和函数值的最大值.
17．【答案】（1）解：∵ ，
∴设a=5x，b=4x，c=6x，
∴ ，
（2）解：∵ 的周长为90，
∴a+b+c=90
∴5x+4x+6x=90
∴x=6
∴各边的长为：30，24，36
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）先 设a=5x，b=4x，c=6x， 再计算求解即可；
（2）先求出 a+b+c=90 ，再求出 5x+4x+6x=90 ，最后计算求解即可。
18．【答案】（1）解：联立 与 ，
解得 ，
（2）解：如图，过点 作 轴于点 ，
，
，
，
直线 向下平移 个单位长度得到 ，根据图象可知 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
， ，
，
，
与反比例函数 在第一象限的图象交于点 ，
，
将 代入 ，
得 ，
解得 或 （舍去）．
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）将两函数联立方程组，解方程组可得到点A，B的坐标.
（2）过点C作CF⊥y轴于点F，利用平行线分线段成比例定理可求出OF与OE的比值；再利用一次函数图象平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0求出对应的x的值，可得到点E，D的坐标，即可得到点F的坐标，可知；再将直线y=x-a与反比例函数解析式联立方程组，解方程组，可得到点C的坐标，将点C的坐标代入直线y=x-a，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到符合题意的a的值.
19．【答案】（1）解：由题意可得(5＋x)(3＋x)－3×5＝y，化简得：y＝x2＋8x
（2）解：把y＝20代入解析式y＝x2＋8x中，得x2＋8x－20＝0，
解得x1＝2，x2＝－10(舍去)．
∴当增加的面积为20 cm2时，相应x为2 cm.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意矩形面积增加部分的面积等于新矩形的面积减去原来矩形的面积，从而根据矩形的面积等于长乘以宽即可建立出y与x的函数关系式；
（2）将y＝20代入（1）所求的函数关系式即可算出对应的自变量的值。
20．【答案】（1）解：当0≤x≤10时，设y＝kx+b
将（0，30）、（2，40）两点代入得：
解得：k＝5，b＝30，
于是y＝5x+30
（2）解：当10≤x≤40时，设y＝ ，将（10，80）代入得：m＝800
于是y＝；
（3）解：当0≤x≤10时，y＝5x+30≥50，解得：x≥4
当10≤x≤40时，y＝≥50；解得：x≤16
16﹣4＝12，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求出直线函数解析式即可；
（2）根据函数图象，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）分别求出一次函数和反比例函数的函数值大于等于50的x的取值范围即可。
21．【答案】（1）；v=-t+16
（2）解：，
当时，
，解得，
，
当时，，
当甲车减速至时，它行驶的路程是；
（3）解：当时，甲车的速度为，
当时，两车之间的距离逐渐变大，
当时，两车之间的距离逐渐变小，
当时，两车之间距离最小，
将代入中，得，
将代入中，得，
此时两车之间的距离为：，
秒时两车相距最近，最近距离是．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，
设二次函数表达式为，
二次函数经过，，
，解得：，
二次函数表达式为．
设一次函数表达式为，
一次函数经过，，
，解得：，
一次函数表达式为．
故答案为：，；
【分析】（1）由图可知：二次函数图象经过原点，设二次函数表达式为s=at2+bt，将（2，30）、（4，56）代入s中求出a、b的值，据此可得二次函数的表达式；设一次函数表达式为v=kt+c，将（0，16）、（8，8）代入v中求出k、c的值，据此可得一次函数的表达式；
（2）令一次函数解析式中的v=9，求出t的值，然后将t的值代入二次函数解析式中可得s的值；
（3）由题意可得当v=10m/s时，两车之间距离最小，将v=10代入一次函数解析式中求出t的值，然后将t的值代入二次函数解析式中求出s的值，据此不难求出此时两车之间的距离.
22．【答案】（1）170
（2）解：由题意，得
W=y(x-50)=(-10x+1020)(x-50)=-10x2+11520x-51000=-10(x-76)2+6760，
∵-10<0，
∴当x=76时，W有最大值，最大值为6760，
∴应降价为：92-75=16(元)，
答：当降价16元时，每月所获利润最大，最大利润是6760元；
（3）解：解：由题意，得，
由题意得，
解得x≤77，
∵-10＜0，
∴当x<79时，w随x的增大而增大，
∴当x＝77时，w有最大值，为5250，
答：捐款后每月最大利润是5250元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】(1)解：根据题意，得
y=100+10(92-x)＝-10x+1020，
当x=85时，则y=100+10(92-85)=170(个)，
故答案为：170；
【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）根据题意列出函数解析式W=-10(x-76)2+6760，再求解即可；
（3）根据题意列出函数解析式，再求解即可。
23．【答案】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：.
（2）解：向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（-4，0），
设直线AB关系式为：，
将A（-4，0），B（0，-4），代入，
得：，
解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）解：①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（-4，0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴=-1，
解得：，，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将B（0，-4），C（2，0）代入y=ax2+x+m中可求出a、m的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，易得A（-4，0），求出直线AB的解析式，设直线AB平移后的关系式为y=-x-4+n，联立抛物线解析式并结合△=0可求出n的值，将其代入抛物线解析式中求出y的值，据此可得点D的坐标；
（3）①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，求出PA所在直线的解析式，根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-1，将x=-1代入求出y的值，据此得点P的坐标；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，求出PB所在直线的解析式，同理可得点P的坐标；③当∠APB=90°时，设P点坐标为（-1，yP），表示出PA、PB所在直线的斜率，根据PA⊥PB可得斜率之积为1，据此求出yP，进而可得点P的坐标.
1 / 1沪科版数学2022~2023学年年度九年级（上）期中考试模拟卷（A卷）
一、单选题（每题4分，共40分）
1．（2022九上·桐庐月考）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A. 是反比例函数，故此选项错误；
B. 是二次函数，故此选项正确；
C. 是一次函数，故此选项错误；
D. 是正比例函数，故此选项错误．
故答案为：B.
【分析】二次函数的一般形式为：y=ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0），据此判断.
2．（2022九上·麒麟月考）把抛物线y=-x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为（ ）
A．y=-（x+1）2+3 B．y=-（x+1）2-3
C．y=-（x-1）2-3 D．y=-（x-1）2+3
【答案】A
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：把抛物线y=-x2的图象向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图象对应的二次函数的关系式为y=-（x+1） 2+3.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，即可得出答案.
3．（2021九上·沂南期中）已知二次函数的图象上有三点，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质
【解析】【解答】解：
故答案为：A．
【分析】将点A、B、C的坐标代入求出、、，再比较大小即可。
4．（2022九上·麒麟月考）已知二次函数y=kx2-7x-7的图象和×轴有交点，则k的取值范围是（ ）
A．k> B．k≥
C．k≥且k≠0 D．k> 且k≠0
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：∵二次函数y=kx2-7x-7的图象和×轴有交点，
∴方程kx2-7x-7=0有实数根，
∴△=（-7）2-4×（-7）k≥0，
∴k≥-且k≠0.
故答案为：C.
【分析】根据题意得出方程kx2-7x-7=0有实数根，再根据一元二次方程根的判别式得出（-7）2-4×（-7）k≥0且k≠0，解不等式即可得出答案.
5．（2022八下·东莞期末）宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如希腊的巴特神庙等．若黄金矩形的长为，则该黄金矩形的宽是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】黄金分割
【解析】【解答】解：如图，
由题意得： ，
又∵，
∴，
，
故答案为：D．
【分析】根据黄金矩形的定义可得 ， 则， 解之可得 。
6．（2022九上·舟山月考）在同一直角坐标系中，函数和函数(a是常数，且a≠0)的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A、一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，
∴抛物线开口向下，
直线，抛物线的对称轴在y轴的右侧，故A不符合题意；
B、一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，
∴抛物线开口向下，故B不符合题意；
C、∵一次函数图象经过第一、二、三象限，
∴a＞0，
∴抛物线开口向上，
直线，抛物线的对称轴在y轴的左侧，故C不符合题意；
D、一次函数图象经过第二、三、四象限，
∴a＜0，
∴抛物线开口向下，
直线，抛物线的对称轴在y轴的右侧，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】观察A、B、D选项中的一次函数图象的位置：经过第二、三、四象限，可知a＜0，由此可得到抛物线的开口向下，对称轴在y轴的右侧，可对A、B、D作出判断；观察C选项中的一次函数的图象，可知a＞0，抛物线的开口向上，且抛物线的对称轴在y轴的左侧，可对C作出判断.
7．（2021九上·长沙开学考）如图，有一抛物线形拱桥，当拱顶离水面 时，水面宽 ，当水面宽增加 时，则水面应下降的高度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数的实际应用-拱桥问题
【解析】【解答】解：以拱形桥顶为坐标原点，建立如图直角坐标系xOy，水面宽为AB，与y轴交于E，水面下降后宽度为CD，与y轴交于F，
∵OE=2m，AB=4m，抛物线的对称轴为y轴，
∴点B（2，-2）
设抛物线为y=ax2，
∵抛物线过点B，
∴-2=4a，
∴ ，
∴抛物线解析式为 ，
设水面下降nm，
∵CD=AB+ ，
∴D（ ），
∵点D在抛物线上，
∴ ，
解得n=1.
故答案为：B.
【分析】以拱形桥顶为坐标原点，建立直角坐标系xOy，水面宽为AB，与y轴交于E，水面下降后宽度为CD，与y轴交于F，易得B（2，-2），设抛物线为y=ax2，将点B坐标代入可求得a，得到y=x2，设水面下降nm，则D（，-2-n），代入抛物线解析式中求解就可得到n的值.
8．（2022九上·苍南开学考）如图，四边形中，，交轴正半轴于点，反比例函数经过点，交的中点于，平分，若，则的值为（ ）
A．12 B． C．8 D．
【答案】B
【知识点】平行线的性质；梯形中位线定理；反比例函数图象上点的坐标特征；角平分线的定义；直角坐标系内两点的距离公式
【解析】【解答】解：作DE∥OA交OC于E，如图，
平分，
，
∵DE∥OA，
，
，
，
∵D点为AB的中点，
∴DE为图形的中位线，
，
设，则，，，
在的图象上，
，解得，
，，
，
即，
解得.
故答案为：B.
【分析】作DE∥OA交OC于E，根据角平分线的概念可得∠1=∠2，根据平行线的性质可得∠1=∠3，则∠2=∠3，推出DE=OE，由题意可得DE为梯形ABCO的中位线，则OE=CE=DE，设C（t，），则B（t+2，），D（t+2，），E（，），将点D的坐标代入y=中可得t的值，然后求出DE，得到点C的坐标以及OC的值，然后利用两点间距离公式可得k的值.
9．（2022·宁阳模拟）如图，在 中，D在AC边上，AD：DC=1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，若BE=1，则EC=（ ）
A． B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】比例的性质；平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：过点D作 交BC于F，如图，
∵ ，
∴ ，
∵O是BD的中点，
∴BO=OD，
∴BE=EF，
∵ ，
∴ ，
∴CF=2EF，
∴BE：EC=BE：3BE=1：3，
∵BE=1，
∴EC=3，
故答案为：C．
【分析】过点D作 交BC于F，根据 ，可得 ，由 可得 ，CF=2EF，
BE：EC=BE：3BE=1：3，BE=1，EC=3。
10．（2022九上·舟山月考）抛物线的对称轴是直线，且过点，顶点位于第二象限，其部分图像如图所示，给出以下判断：①且；②；③；④；⑤直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，则．其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．3个 C．5个 D．2个
【答案】B
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系；二次函数图象与系数的关系；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵抛物线的开口向下，对称轴在y轴的左侧，
∴a＜0，b＜0，
∴ab＞0，
∵抛物线交于y轴的正半轴，
∴c＞0，故①错误；
∵抛物线的对称轴为直线x=-1，与x轴的一个交点坐标为（1，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），
∴当x=-2时y＞0即4a-2b+c＞0，故②正确；
∵抛物线的对称轴为直线
∴b=2a，
∵当x=2时y＜0，
∴4a+2b+c＜0
∴4a+4a+c＜0即8a+c＜0，故③错误；
∵当x=1时a+b+c=0，b=2a，
∴c=-3a，
∴3a-3b=3a-6a=-3a，
∴c=3a-3b，故④正确；
∵ 直线与抛物线两个交点的横坐标分别为，
∴ax2+bx+c=2x+2，
∴ax2+（b-2）x+c-2=0
∴
∴，故⑤正确；
∴正确结论的个数有3个.
故答案为：B
【分析】利用抛物线的开口方向可知a＜0，利用对称轴的位置：左同右异，可知b＜0，抛物线交于y轴的正半轴，可知c＞0，同时可得到ab的符号，可对①作出判断；利用二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），由此可得到当x=-2时y＞0，可对②作出判断；利用抛物线的对称轴可知b=2a，观察函数图象，可知当x=2时y＜0，即可得到4a+2b+c＜0，代入化简，可对③作出判断；由当x=1时a+b+c=0和b=2a，可得到c=-3a，再求出3a-3b=-3a，据此可对④作出判断；将两函数解析式联立方程组，可得到关于x的一元二次方程：ax2+（b-2）x+c-2=0，利用一元二次方程根与系数的关系，可表示出x1+x2及x1x2，由c=-3a，b=2a，将其代入x1+x2+x1x2，可求出x1+x2+x1x2的值，可对⑤作出判断；综上所述可得到正确结论的个数.
二、填空题（共5题，共25分）
11．（2022九上·应城月考）抛物线y=+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为 .
【答案】y=－2x－3
【知识点】待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：将A、B两点代入可得：，
解得：
∴二次函数的解析式为：y=－2x－3.
【分析】将A、B两点坐标代入抛物线解析式中，可得关于b、c的方程组，并解之即可.
12．（2022九上·镇海区开学考）如图，直线与双曲线的图象在第一象限内交于点，过点的另一直线交双曲线于第三象限内的点，则不等式的解集是 ．
【答案】x＜-4或0＜x＜2
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：直线与双曲线的图象在第一象限内交于点A，A点的横坐标是，
把代入解析式，
解得，则A的坐标是．
把代入，解得，
在中，令，则，即B的坐标是：．
根据图象得到：不等式的解集是x＜-4或0＜x＜2
故答案为：x＜-4或0＜x＜2.
【分析】将x=2代入y=x中求出y的值，得到点A的坐标，将点A的坐标代入y=中求出k的值，得到反比例函数的解析式，反比例函数中令y=-1，求出x的值，得到点B的坐标，然后根据图象，找出一次函数y=mx+n的图象在反比例函数图象下方部分所对应的x的范围即可.
13．（2021九上·蜀山月考）如图，是一个迷宫游戏盘的局部平面简化示意图，该矩形的长、宽分别为5cm，3cm，其中阴影部分为迷宫中的挡板，设挡板的宽度为xcm，小球滚动的区域（空白区域）面积为ycm2．则y关于x的函数关系式为： （化简为一般式）．
【答案】
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】根据题意，将阴影部分平移，如图，
则 ．
故答案为： ．
【分析】求出即可作答。
14．（2021九上·覃塘期末）如图，在等腰 中， ，点P在 的延长线上， ，点D在 边上， ，则 的值是 .
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例；三角形全等的判定（SAS）
【解析】【解答】解：如图：过点P作 交DC延长线于点E，
在 和 中
故答案为： .
【分析】过点P作PE∥AC交DC延长线于点E，由等边对等角得∠B=∠ACB，∠PDC=∠PCD，由平行线的性质可得∠E=∠ACB=∠B；结合三角形的外角的性质可得∠BPD=∠EPC，用SAS证△PCE≌△PDB，则BD=CE；由平行线分线段成比例定理得比例式可求解.
15．（2020九上·阜南期末）抛物线 与线段 有两个不同的交点，已知 ， ，则 的取值范围是 ．
【答案】 或a≤-2
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】设线段AB所在的直线解析式为：y=kx+b
∵A( 1，0) ，B(1，1)
∴
解得：
∴线段AB所在的直线解析式为：y= x+
分类讨论：a的正负关系，
当 时，在 减小的过程中，抛物线与线段相切，
则
代入 得
．
当 时，当抛物线穿过 点时成立．
代入 ，得 ，
∴
综上所述： 或 ．
故答案为：1≤a< 或a≤ 2
【分析】利用待定系数法求出线段AB所在的直线解析式为：y= x+ ，再结合函数图象计算求解即可。
三、综合题（共8题，共85分）
16．（2020九上·舒兰期末）从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 (单位： )与小球的运动时间 (单位： )之间的关系式是 ( )．求小球运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
【答案】解：
当 时， 最大 ．
答：小球运动3秒时，小球最高，最大高度是 ．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】首先将二次函数转换成顶点式，然后即可求出自变量和函数值的最大值.
17．（2021九上·吉安期中）已知 、 、 是 的三边长，且 .
（1）求 的值；
（2）若 的周长为90，求各边的长.
【答案】（1）解：∵ ，
∴设a=5x，b=4x，c=6x，
∴ ，
（2）解：∵ 的周长为90，
∴a+b+c=90
∴5x+4x+6x=90
∴x=6
∴各边的长为：30，24，36
【知识点】比例的性质
【解析】【分析】（1）先 设a=5x，b=4x，c=6x， 再计算求解即可；
（2）先求出 a+b+c=90 ，再求出 5x+4x+6x=90 ，最后计算求解即可。
18．（2022·六盘水）如图，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点．
（1）求，两点的坐标；
（2）将直线向下平移个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点，与轴交于点，与轴交于点，若，求的值．
【答案】（1）解：联立 与 ，
解得 ，
（2）解：如图，过点 作 轴于点 ，
，
，
，
直线 向下平移 个单位长度得到 ，根据图象可知 ，
令 ，得 ，
令 ，得 ，
， ，
，
，
与反比例函数 在第一象限的图象交于点 ，
，
将 代入 ，
得 ，
解得 或 （舍去）．
【知识点】一次函数图象与几何变换；反比例函数与一次函数的交点问题；平行线分线段成比例
【解析】【分析】（1）将两函数联立方程组，解方程组可得到点A，B的坐标.
（2）过点C作CF⊥y轴于点F，利用平行线分线段成比例定理可求出OF与OE的比值；再利用一次函数图象平移规律：上加下减，可得到平移后的函数解析式，由x=0求出对应的y的值，由y=0求出对应的x的值，可得到点E，D的坐标，即可得到点F的坐标，可知；再将直线y=x-a与反比例函数解析式联立方程组，解方程组，可得到点C的坐标，将点C的坐标代入直线y=x-a，可得到关于a的方程，解方程求出a的值，可得到符合题意的a的值.
19．（2018九上·黄石期中）如图，矩形ABCD的长AD＝5 cm，宽AB＝3 cm，长和宽都增加x cm，那么面积增加y cm2.
（1）写出y与x的函数关系式；
（2）当增加的面积y＝20 cm2时，求相应的x是多少？
【答案】（1）解：由题意可得(5＋x)(3＋x)－3×5＝y，化简得：y＝x2＋8x
（2）解：把y＝20代入解析式y＝x2＋8x中，得x2＋8x－20＝0，
解得x1＝2，x2＝－10(舍去)．
∴当增加的面积为20 cm2时，相应x为2 cm.
【知识点】二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据题意矩形面积增加部分的面积等于新矩形的面积减去原来矩形的面积，从而根据矩形的面积等于长乘以宽即可建立出y与x的函数关系式；
（2）将y＝20代入（1）所求的函数关系式即可算出对应的自变量的值。
20．（2021九上·历下期中）学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数y随上课时间x（分钟）的变化图象如图．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内注意力指数y是时间x的一次函数.10分钟以后注意力指数y是x的反比例函数．
（1）当0≤x≤10时，求y关于x的函数关系式；
（2）当10≤x≤40时，求y关于x的函数关系式；
（3）如果讲解一道较难的数学题要求学生的注意力指数不小于50，为了保证教学效果本节课讲完这道题不能超过多少分钟？
【答案】（1）解：当0≤x≤10时，设y＝kx+b
将（0，30）、（2，40）两点代入得：
解得：k＝5，b＝30，
于是y＝5x+30
（2）解：当10≤x≤40时，设y＝ ，将（10，80）代入得：m＝800
于是y＝；
（3）解：当0≤x≤10时，y＝5x+30≥50，解得：x≥4
当10≤x≤40时，y＝≥50；解得：x≤16
16﹣4＝12，所以，老师必须在12分钟以内讲完这道题．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；通过函数图象获取信息并解决问题
【解析】【分析】（1）根据函数图象，利用待定系数法求出直线函数解析式即可；
（2）根据函数图象，利用待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（3）分别求出一次函数和反比例函数的函数值大于等于50的x的取值范围即可。
21．（2022九上·江油开学考）公路上正在行驶的甲车发现前方处沿同一方向行驶的乙车后，开始减速，减速后甲车行驶的路程单位：、速度单位：与时间单位：的关系分别可以用二次函数和一次函数表示，其图象如图所示．
（1）直接写出关于的函数关系式 和关于的函数关系式 不要求写出的取值范围
（2）当甲车减速至时，它行驶的路程是多少？
（3）若乙车以的速度匀速行驶，两车何时相距最近，最近距离是多少？
【答案】（1）；v=-t+16
（2）解：，
当时，
，解得，
，
当时，，
当甲车减速至时，它行驶的路程是；
（3）解：当时，甲车的速度为，
当时，两车之间的距离逐渐变大，
当时，两车之间的距离逐渐变小，
当时，两车之间距离最小，
将代入中，得，
将代入中，得，
此时两车之间的距离为：，
秒时两车相距最近，最近距离是．
【知识点】二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【解答】解：（1）由图可知：二次函数图象经过原点，
设二次函数表达式为，
二次函数经过，，
，解得：，
二次函数表达式为．
设一次函数表达式为，
一次函数经过，，
，解得：，
一次函数表达式为．
故答案为：，；
【分析】（1）由图可知：二次函数图象经过原点，设二次函数表达式为s=at2+bt，将（2，30）、（4，56）代入s中求出a、b的值，据此可得二次函数的表达式；设一次函数表达式为v=kt+c，将（0，16）、（8，8）代入v中求出k、c的值，据此可得一次函数的表达式；
（2）令一次函数解析式中的v=9，求出t的值，然后将t的值代入二次函数解析式中可得s的值；
（3）由题意可得当v=10m/s时，两车之间距离最小，将v=10代入一次函数解析式中求出t的值，然后将t的值代入二次函数解析式中求出s的值，据此不难求出此时两车之间的距离.
22．（2022·新河模拟）冰墩墩是北京2022年冬季奥运会吉祥物．该吉祥物以熊猫为原型进行设计创作，将熊猫形象与富有超能量的冰晶外壳相结合，体现了冬季冰雪运动和现代科技特点，冰墩墩挂件也很受欢迎，某小店的进货价为每个50元，当售价为每个92元时，每月可销售100个，为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售10个．设每个挂件的售价为x元（x为正整数且），每月的销售量为y个．
（1）当售价为85时，每个月的销售量为 ；
（2）设该店每月所获利润为w元，当降价多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？
（3）该店店主热心公益事业，决定每月从出售的每个挂件中拿出6元资助贫困学生，且总捐款额不低于1500元，求捐款后每月最大利润．
【答案】（1）170
（2）解：由题意，得
W=y(x-50)=(-10x+1020)(x-50)=-10x2+11520x-51000=-10(x-76)2+6760，
∵-10<0，
∴当x=76时，W有最大值，最大值为6760，
∴应降价为：92-75=16(元)，
答：当降价16元时，每月所获利润最大，最大利润是6760元；
（3）解：解：由题意，得，
由题意得，
解得x≤77，
∵-10＜0，
∴当x<79时，w随x的增大而增大，
∴当x＝77时，w有最大值，为5250，
答：捐款后每月最大利润是5250元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】(1)解：根据题意，得
y=100+10(92-x)＝-10x+1020，
当x=85时，则y=100+10(92-85)=170(个)，
故答案为：170；
【分析】（1）根据题意列出算式求解即可；
（2）根据题意列出函数解析式W=-10(x-76)2+6760，再求解即可；
（3）根据题意列出函数解析式，再求解即可。
23．（2022·广安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（a≠0）的图象与x轴交于A、C两点，与y轴交于点B，其中点B坐标为（0，－4），点C坐标为（2，0）.
（1）求此抛物线的函数解析式.
（2）点D是直线AB下方抛物线上一个动点，连接AD、BD，探究是否存在点D，使得△ABD的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.
（3）点P为该抛物线对称轴上的动点，使得△PAB为直角三角形，请求出点P的坐标.
【答案】（1）解：将B（0，-4），C（2，0）代入，
得：，
解得：，
∴抛物线的函数解析式为：.
（2）解：向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，
∵时，，，
∴A点坐标为：（-4，0），
设直线AB关系式为：，
将A（-4，0），B（0，-4），代入，
得：，
解得：，
∴直线AB关系式为：，
设直线AB平移后的关系式为：，
则方程有两个相等的实数根，
即有两个相等的实数根，
∴，
即的解为：x=-2，
将x=-2代入抛物线解析式得，，
∴点D的坐标为：（-2，-4）时，△ABD的面积最大；
（3）解：①当∠PAB=90°时，
即PA⊥AB，则设PA所在直线解析式为：，
将A（-4，0）代入得，，
解得：，
∴PA所在直线解析式为：，
∵抛物线对称轴为：x=-1，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，3）；
②当∠PBA=90°时，
即PB⊥AB，则设PB所在直线解析式为：，
将B（0，-4）代入得，，
∴PA所在直线解析式为：，
∴当x=-1时，，
∴P点坐标为：（-1，-5）；
③当∠APB=90°时，设P点坐标为：，
∴PA所在直线斜率为：，PB在直线斜率为：，
∵PA⊥PB，
∴=-1，
解得：，，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为：（-1，3），（-1，-5），，时，△PAB为直角三角形.
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；二次函数与一次函数的综合应用
【解析】【分析】（1）将B（0，-4），C（2，0）代入y=ax2+x+m中可求出a、m的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）向下平移直线AB，使平移后的直线与抛物线只有唯一公共点D时，此时点D到直线AB的距离最大，此时△ABD的面积最大，易得A（-4，0），求出直线AB的解析式，设直线AB平移后的关系式为y=-x-4+n，联立抛物线解析式并结合△=0可求出n的值，将其代入抛物线解析式中求出y的值，据此可得点D的坐标；
（3）①当∠PAB=90°时，即PA⊥AB，求出PA所在直线的解析式，根据抛物线的解析式可得对称轴为直线x=-1，将x=-1代入求出y的值，据此得点P的坐标；②当∠PBA=90°时，即PB⊥AB，求出PB所在直线的解析式，同理可得点P的坐标；③当∠APB=90°时，设P点坐标为（-1，yP），表示出PA、PB所在直线的斜率，根据PA⊥PB可得斜率之积为1，据此求出yP，进而可得点P的坐标.
1 / 1
