2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修二课件：6.2.1向量的加法运算(共20张PPT)

(共20张PPT)
6.2 平面向量的运算
第六章 平面向量及其应用
6.2.1 向量的加法运算
学习目标：
1.借助实例和平面向量的几何意义，掌握平面向量的加法运算规律；
2.理解平面向量的加法运算的几何意义.
教学重点：
平面向量的加法运算法则及其几何意义.
教学难点：
对平面向量加法运算的几何意义的理解.
1.向量的定义：
复习
一起来探究吧！
2. 想一想：实数能进行加减乘除运算，位移、力可以合成，向量能进行运算吗？
如图，某质点从点A经过点B到点C，这个质点的位移如何表示？
质点两次位移，的结果，与从点A直接到点C的位移结果相同.因此，位移可以看成是位移与合成的.从运算的角度看，可以看作是与的和，即位移的合成可以看作向量的加法.
如图，已知非零向量，在平面内取任意一点A，作，，则向量叫做与的和，记作，即.
A
B
C
求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.
B
A
O
如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力与的作用，作出这个物体所受的合力F.
合力F在以OA，OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长.从运算的角度看，F可以看作是与的和，即力的合成可以看作向量的加法.
C
F
如图，以同一点O为起点的两个已知向量，以OA，OB为邻边作，则以O为起点的向量（OC是的对角线）就是向量与的和. 我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则.
A
O
B
C
对于零向量与任意向量，有.
例1 如图，已知向量，求作向量.
作法1：在平面内任取一点O，作，，则+.
作法2：在平面内任取一点O，作，，则+.以OA，OB为邻边作，连接OC，则.
O
A
B
O
A
B
C
探究：
问题1：如果向量，共线，它们的加法与数的加法有什么关系？作出向量.
如果向量，共线，它们的加法与数的加法类似.令，.
当，共线且同向时， ，如图.
B
A
O
当，共线且反向时，不妨设 ，则 ，如图.
B
A
O
问题2：结合例1，探究，， 之间的关系.
如果向量，不共线，如图，三角形两边之和大于第三边，所以.
O
A
B
综上可知，，当且仅当，方向相同时等号成立.
数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？
想一想：
如图，作，，以AB，AD为邻边作，
B
A
D
C
容易发现，，故.
又，所以.（交换律）
验证.
A
B
C
D
如图，，.
在中，，
在中，，
故 .（结合律）
综上所述，向量的加法满足交换律和结合律.
交换律：.
结合律 .
总结：
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15 km/h，同时江水的速度为向东6 km/h.
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到1°）.
解：（1）如图，表示船速，表示江水速度，以，为邻边作，则表示船实际航行的速度.
A
B
D
C
A
B
D
C
（2）在中，||=6，，
于是.
因为，所以利用计算工具可得.
因此，船实际航行速度的大小约为方向与江水速度间的夹角约为68°.
练一练
1.如图，在下列各小题中，已知向量，，分别用两种方法求作向量.
解：
练一练
2.当向量，满足什么条件时，（或）？
解：当，反向且时，；
当，反向且时，.
所以，当，反向时，（或）.
3.根据图示填空：
（1）_______；
（2）_______；
（3）_______；
（4）_______.
练一练
4.如图，四边形是平行四边形，点在上，判断下列各式是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×” ）.
（ ）
（ ）
（ ）
×
×
√
练一练
5.有一条东西向的小河，一艘小船从河南岸的渡口出发渡河.小船航行速度的大小为15 km/h，方向为北偏西30°，河水的速度为向东7.5 km/h，求小船实际航行速度的大小与方向.
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
1.向量的加法；
2.向量加法的三角形法则；
3.向量加法的平行四边形法则；
4.向量形式的三角不等式；
5.向量加法的运算律.