2022-2023学年高一数学人教A版（2019）必修二课件：6.2.4向量的数量积(共26张PPT)

(共26张PPT)
6.2 平面向量的运算
第六章 平面向量及其应用
6.2.4 向量的数量积
学习目标：
1. 通过实例分析，理解平面向量的数量积的概念及其意义，会计算平面向量的数量积；
2.通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义；
3.会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.
教学重点：
平面向量的数量积的概念及其应用.
教学难点：
对平面向量的数量积的概念的理解以及平面向量数量积的应用.
想一想：
复习：我们已经学过了向量的哪些运算？
向量的加法、减法、数乘运算.
问题1 那么向量与向量能否相乘呢？
想一想：
问题2 在物理课中，如果一个物体在力F的作用下产生位移s，如何计算力F所做的功？
，其中是与的夹角.
问题3 能否把“功”看成是两个向量相乘的结果呢？
观察力做功的计算公式，发现公式中涉及力与位移的夹角，所以先来定义向量的夹角概念.
已知两个非零向量（如图），O是平面上的任意一点，作，则叫做向量与的夹角.
当时，与同向；当 时，与向.
如果与的夹角是 ，那么说与垂直，记作.
已知两个非零向量与 ，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即
.
规定：零向量与任一向量的数量积为0.
向量线性运算的结果是一个向量，而两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关.
例9 已知，，与的夹角，求.
解：
.
例10 设，，，与的夹角.
解：由，得
因为，所以.
如图，设是两个非零向量， ，作如下变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为 ，得到 ，我们称上述变换为向量向向量投影， 叫做向量在向量上的投影向量.
如图，在平面内任取一点O，作.过点M作直线ON的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量.
探究：
问题4 如图，设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，那么与， ，之间有怎样的关系？
显然， 与共线，于是.
问题5 分小组探究与，的关系以及的表达式.
探究：
提示：分为锐角、直角、钝角以及，等情况进行讨论.
当为锐角（如图（1））时， 与方向相同，，所以；
当为直角（如图（2））时，，所以；
当为钝角（如图（3））时， 与方向相反，所以
，
即.
当时，，所以；
当时， ，所以.
综上可知，对于任意的，都有
向量数量积的性质：
设是非零向量，它们的夹角是， 与方向相同的单位向量，则
（1）.
（2）.
（3）当与同向时，；当与反向时，.特别地，或.
此外，由还可以得到
（4）.
向量数量积的运算律：
对于向量， 和实数 ，有
（1）；
（2）；
（3）.
用向量投影证明分配率（3） .
证明：如图，任取一点O，作，，
设向量与的夹角分别为，它们在向量上的投影向量分别为， ，与方向相同的单位向量为，则
，
，
因为，所以.
于是，
即.
整理，得，
所以
即.
所以.
因此.
练一练
1.已知，p和q的夹角是，求.
解：
2.已知， ，当或时，试判断的形状.
解：当时，有，
即，所以为钝角， 为钝角三角形；
当时，有，即， 为直角三角形.
练一练
3.已知，为单位向量，当向量，的夹角分别等于，求向量在向量上的投影向量.
解：当，在上的投影向量为
当，在上的投影向量为
当，在上的投影向量为.
练一练
4.已知，||，，向量与的夹角为，向量与的夹角为，计算：
（1）
（2）.
解：（1）；
（2）.
练一练
5.已知，||，且与互相垂直，求证.
证明：与互相垂直，
，即，
，
即， .
练一练
6.求证：.
证明：，
成立.
课堂小结
——你学到了那些新知识呢？
向量数量积的概念；
投影向量；
向量数量积的性质；
向量数量积的运算律.