高中数学必修第一册人教A版（2019）《充分条件与必要条件》名师课件(共33张PPT)

(共33张PPT)
例 ： 将（1）（2）（3）改写成“若p，则q”的形式 并判断下列命题的真假.
（1）有两角相等的三角形是等腰三角形.
（2）若，则.
（3）能被4整除的数必是偶数；
解 （1）原命题：若一个三角形有两个角相等，则这个 三角形是等腰三角形.
（2）若，则.
真命题
假命题
（3）若某个整数能被4整除，则这个数必是偶数。
真命题
复习引入
早在战国时期，《墨经》中就有这样一段话“有之则必然，无之则未必不然，是为大故，无之则必不然，有之则未必然，是为小故”。
今天，在日常生活中，常听人说：“这充分说明……”，“没有这个必要”等，在数学中，也讲“充分”和“必要”，这节课，我们就来学习教材第一章第四节------充分条件与必要条件。
在语文中关联词有“只要……就……”，“只有……才……”等。
复习引入
人教A版同步教材名师课件
充分条件与必要条件
学习目标
学 习 目 标 核心素养
理解充分条件、必要条件、充要条件的概念 数学抽象
会求某些简单的充分、必要条件 数学运算
掌握充分条件、必要条件的判定或证明方法 逻辑推理
利用充分条件、必要条件求参数 数学运算
课程目标
1．理解充分条件、必要条件与充要条件的意义．　
2．结合具体命题掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法．　
3．能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明．
数学学科素养
1.数学抽象：充分条件、必要条件与充要条件含义的理解；
2.逻辑推理：通过命题的判定得出充分条件、必要条件的含义，通过定义或集合关系进行充分条件、必要条 件、充要条件的判断；
3.数学运算：利用充分、必要条件求参数的范围，常见包含一元二次方程及其不等式和不等式组；
4.数据分析：充要条件的探求与证明：将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程；
5.数学建模：通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养学生分析、判断和归纳的逻辑思维能力。
学习目标
知识扩充
命题：可以判断真假的陈述句，可写成：若则.
“若则”是原命题，那么
“若”是原命题的逆命题，
“若,则”是原命题的否命题，
“”是原命题的逆否命题.
注：两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性。
四种命题及相互关系：
原命题
若则
逆命题
若
否命题
若,则
逆否命题
互逆
互逆
互否
互否
互为 逆否
知识扩充
下列“若则”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；
（2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等；
（3）若，则；
（4）若平面内两条直线和均垂直于直线，则//.
在命题（1）（4）中，由条件通过推理可以得出结论，所以它们是真命题.在命题（2）（3）中，由条件不能得出结论，所以它们是假命题.
探究新知
思考
一般地:“若则”为真,记作：或.
“若则”为假,记作：.
若两个三角形全等,则两三角形面积相等.
例如：
若两个三角形面积相等,则两三角形全等.
两个三形面积相等两三角形全等
两三角形全等两三角形面积相等．
探究新知
一般地,“若则”为真命题,是指由通过推理可以得出.这时,我们就说,由可推出，记作，并且说，是的充分条件，是的必要条件．
充分条件与必要条件
探究新知
例如：
前述思考中的命题（1）（4）中的是的充分条件，是的必要条件.
如果“若则”为假命题,那么由条件不能推出结论，记作，此时,我们就说不是的充分条件，不是的必要条件．
探究新知
前述思考中的命题（2）（3）中的不是的充分条件，不是的必要条件.
下列“若则”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？
（1）若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等；
（2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等；
（3）若一元二次方程有两个不相等的实数根，则；
（4）若是空集，则与均是空集.
探究新知
上述命题中的命题（1）（4）和它们的逆命题都是真命题；命题（2）是真命题，但它的逆命题是假命题；命题（3）是假命题，但它的逆命题是真命题.
思考
探究新知
如果“若则”和它的逆命题“若则”均是真命题,即，又有，就记作.此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们说的充分必要条件，简称为充要条件.
充要条件
如果，那么互为充要条件.
条件与结论的关系 结论
，且 是的充分不必要条件
，且 是的必要不充分条件
，且，即 是的充要条件
，且 是的既不充分也不必要条件
知识扩充
例1、指出下列各题中，p是q的什么条件(充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件)．
(1)p：数a能被6整除，q：数a能被3整除；
(2)p：x2＞1，q：x＞1；
(3)p：△ABC有三个内角相等，q：△ABC是正三角形；
(4)p：|a·b|＝a·b，q：a·b＞0.
典例讲解
(1)因为p q，q所以p是q的充分不必要条件．
(2)因为p q，q p，所以p是q的必要不充分条件．
(3)因为p q，q p，即p q，所以p是q的充要条件．
(4)因为a·b＝0时，|a·b|＝a·b，所以“|a·b|＝a·b” “a·b＞0”，即p q.
而当a·b＞0时，有|a·b|＝a·b，即q p.所以p是q的必要不充分条件．
解析
方法归纳
(1)定义法
若p q，qp，则p是q的充分不必要条件；
若pq，q p，则p是q的必要不充分条件；
若p q，q p，则p是q的充要条件；
若pq，qp，则p是q的既不充分也不必要条件．
充分、必要、充要条件的判断方法
方法归纳
(2)集合法
对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下：
若A B，则p是q的充分条件；
若A B，则p是q的必要条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若AB，则p是q的充分不必要条件；
若AB，则p是q的必要不充分条件．
充分、必要、充要条件的判断方法
方法归纳
充分、必要、充要条件的判断方法
(3)等价法
等价转化法就是在判断含有与“否”有关命题条件之间的充要关系时，根据原命题与其逆否命题的等价性转化为形式较为简单的两个条件之间的关系进行判断．
变式训练
1.判断下列各题中p是q的什么条件？
(1)p：α＝，q：cos α＝ ；
(2)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
(3)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．
解析：(1)因为α＝ cos α＝ ，cos α＝ α＝ ，所以p是q的充分不必要条件．
(2)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以推出(a－2)(a－3)＝0，因此p是q的必要不充分条件．
(3)因为所以p是q的既不充分也不必要条件．
典例讲解
例2、已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
(1)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
(1) p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
因为p是q的必要不充分条件，所以q是p的充分不必要条件,
又m＞0，所以实数m的取值范围为{m|0＜m≤3}．
由集合关系得出不等式组是本题关键，如果写成的形式，需验证两等号是否同时取到.
解析
典例讲解
例2、已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
(1)若p是q的必要不充分条件，求实数m的取值范围；
(2)若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
(2) p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
因为p是q的充分不必要条件，设p代表的集合为A，q代表的集合为B，
所以AB.
所以m≥9，即实数m的取值范围是{m|m≥9}．
解析
是否存在实数m使p是q的充要条件．
因为p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m＞0)．
若p是q的充要条件，则m不存在．
故不存在实数m，使得p是q的充要条件．
根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，可以先把p，q等价转化，利用充分条件、必要条件与集合间的包含关系，建立关于参数的不等式(组)进行求解.
方法归纳
变式训练
2.若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则c＝_____．
解析：若“x＝2”是“x2－2x＋c＝0”的充分条件，则x＝2是方程x2－2x＋c＝0的根，可得c＝0.
0
典例讲解
例3、求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac<0.
充分性：(由ac<0推证方程有一正根和一负根)
因为ac<0，所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac>0，所以方程一定有两不等实根．
设两根为x1，x2，则x1x2＝<0，所以方程的两根异号．
即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根．
必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac<0)
因为方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根，设为x1，x2，则由根与系数的关系得x1x2＝ <0，即ac<0.
综上可知：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一负根的充要条件是ac＜0.
解析
方法归纳
(1)要证明一个条件p是否是q的充要条件，需要从充分性和必要性两个方向进行，即证明两个命题“若p，则q”为真且“若q，则p”为真.
(2)在证明的过程中也可以转化为集合的思想来证明，证明p与q的解集是相同的，证明前必须分清楚充分性和必要性，即搞清楚由哪些条件推证到哪些结论．
充要条件的证明策略
变式训练
3.已知x，y都是非零实数，且x＞y，求证：＜ 的充要条件是xy＞0.
证明：
法一：充分性：由xy＞0及x＞y，得＞ ，即＜ .
必要性：由＜ ，得－ ＜0，即＜0.
因为x＞y，所以y－x＜0，所以xy＞0.
所以＜ 的充要条件是xy＞0.
法二： ＜ － ＜0 ＜0.
由条件x＞y y－x＜0，故由<0 xy＞0.
所以＜ xy＞0，即＜ 的充要条件是xy＞0.
素养提炼
1．充分条件、必要条件的判断方法
(1)定义法：直接利用定义进行判断．
(2)等价法：“p q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．
(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A B，则p是q的充分条件；若A B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．
素养提炼
2．充要条件的证明与探求
(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别：
①p是q的充要条件，则由p q证的是充分性，由q p证的是必要性；
②p的充要条件是q，则由p q证的是必要性，由q p证的是充分性．
(2)探求充要条件，也可先证出必要性，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．
素养提炼
3．充分条件、必要条件、充要条件的传递性
(1)若p是q的充分条件，q是s的充分条件，即p q，q s，则有p s，即p是s的充分条件；
(2)若p是q的必要条件，q是s的必要条件，即q p，s q，则有s p，即p是s的必要条件．
(3)若p是q的充要条件，q是s的充要条件，即p q，q s，则有p s，即p是s的充要条件.
当堂练习
1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　)
A．m＝－2 B．m＝2 C．m＝－1 D．m＝1
解析：当m＝－2时，f(x)＝x2－2x＋1，其图象关于直线x＝1对称，反之也成立，所以函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是m＝－2.
A
2．设x∈R，则“1＜x＜2”是“|x－2|＜1”的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：|x－2|<1 1A
3．“a＝b”是“直线y＝x＋2与圆(x－a)2＋(y－b)2＝2相切”的________条件．
解析：圆心为(a，b)，半径r＝.若a＝b，有圆心(a，b)到直线y＝x＋2的距离d＝r，所以直线与圆相切．若直线与圆相切，有＝ ，则a＝b或a－b＝－4，所以“a＝b”是“直线与该圆相切”的充分不必要条件．
充分不必要
当堂练习
4．判断下列各题中的条件p是结论q的什么条件．
(1)条件p：ax2＋ax＋1＞0的解集为R，结论q：0＜a＜4；
(2)条件p：A B，结论q：A∪B＝B.
解：(1)因为当0＜a＜4时，Δ＜0，
所以当0＜a＜4时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，所以q p，
而当a＝0时，ax2＋ax＋1＞0恒成立，
所以pq，所以p为q的必要不充分条件．
(2)因为AB A∪B＝B，所以p q.
而当A∪B＝B时，A B，即q p，
所以p为q的充分不必要条件．
归纳小结
充分条件与必要条件
充要条件
命题的四种形式
作 业
教材P22习题1.4：2、4.