高中数学必修第一册人教A版（2019）1.4《充分条件与必要条件》教学设计

《充分条件与必要条件》教学设计
必备知识 学科能力 学科素养 高考考向
1.充分条件与必要条件 学习理解能力 观察记忆 概括理解 说明论证 应用实践能力 分析计算 推测解释 简单问题解决 迁移创新能力 综合问题解决 猜想探究 发现创新 数学抽象 数学运算 【考查内容】 结合其他知识进行充分、必要、充要条件的判断与证明,求参数的值 【考查题型】 选择题、填空题、解答题
2.充要条件 逻辑推理 数学运算
一、本节内容分析
本节内容主要介绍了充分条件、必要条件和充要条件三个概念,充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一,它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系,目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础.
这部分内容是考查的热点,包含的核心知识和体现的核心素养如下:
核心知识 1.充分条件与必要条件 2.充要条件 数学抽象 数学运算 逻辑推理 核心素养
二、学情整体分析
这部分内容,概念比较抽象,学生不易理解,与旧教材相比,教学时间的前置,造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富,逻辑思维能力的训练不够充分.用它们去解决具体问题则更为困难.
学情补充:____________________________________________________________________
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三、教学活动准备
【任务专题设计】
1.充分条件与必要条件
2.充要条件
【教学目标设计】
1.正确理解充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件的概念.
2.会判断命题的充分条件、必要条件、充要条件.
3.明白对条件的判定应该归结为判断命题的真假.
4.在观察和思考中,在解题和证明题中,培养思维能力的严谨性.
【教学策略设计】
由于本节内容涉及的新概念比较抽象,教学时,建议列举学生熟悉的数学命题.加深学生对命题的条件和结论的认识,学会辨析,这样有助于学生理解充分条件与判定定理的关系,必要条件和性质定理的关系,同时提高学生的学习兴趣.
【教学方法建议】
情境教学法、问题教学法,还有___________________________________________________
【教学重点难点】
重点:
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义.
2.掌握命题条件的充要性判断及其证明方法.
难点:
命题条件充要性的判断及其证明.
【教学材料准备】
1.常规材料:多媒体课件、________________________________________________
2.其他材料:_____________________________________________________________
四、教学活动设计
教学导入
师:在初中,我们已经对命题有了初步的认识.一般地,我们把用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题.判断为真的语句是真命题,判断为假的语句是假命题,中学数学中的许多命题可以写成“若p,则q”“如果p,那么q”的形式.其中p称为命题的条件,q称为命题的结论.本节主要讨论这种形式的命题.
【情境设置】
判断真假命题
如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常),记p:闭合开关A,q:灯泡亮.
请把这个电路图改写为“若p,则q”形式的命题并判断真假.
【学生思考,合作探究,回答问题】
师:这节我们将进一步探究“若p,则q”形式的命题中p和q的关系,学习数学中的常用逻辑用语.
下面我们先来学习充分条件与必要条件.
【设情境,巧激趣】
设置情境,激发学生的学习兴趣,引入本节的主题.
教学精讲
探究1 充分条件与必要条件
【要点知识】
充分条件和必要条件
一般地,“若,则”为真命题,是指由通过推理可以得出,这时,我们就说,由可以推出,记作.并且说,是的充分条件,是的必要条件.
师:足以导致,也就是说条件充分,是成立所必须具备的前提.
师:如果“若,则”为假命题,那么由推不出,记作,此时,我们就说,不是的充分条件,不是的必要条件.
【先学后教】
教师讲解抽象概念,使学生抓住课堂有效的时间学习.
师:我们下来看一道相关例题.
【典型例题】
命题中充分条件的应用
例1 下列“若,则”形式的命题中,哪些命题中的是的充分条件
(1)若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形.
(2)若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似.
(3)若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直.
(4)若,则.
(5)若,则.
(6)若为无理数,则为无理数.
【说明论证能力】
通过实例,学生进一步理解“充分条件和必要条件”的概念,培养学生的逻辑推理、论证能力.
师:首先看(1)是一条平行四边形的判定定理,,所以是的充分条件.
【学生根据充分条件的定义独立思考,回答问题(2)~(6),教师点评】
生:(2)这是一条相似三角形的判定定理,,所以是的充分条件.
生:(3)这是一条菱形的性质定理,,所以是的充分条件.
生:(4)由于,但,所以不是的充分条件.
生:(5)由等式的性质知,,所以是的充分条件.
生:(6)为无理数,但为有理数,,所以不是的充分条件.
师:一般地,要判断“若,则”形式的命题中是否为的充分条件,只需判断是否有“”,即“若,则”是否为真命题.
师:例题中的命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件,即“四边形两组对角分别相等”,这样的充分条件唯一吗 如果不唯一,那么你能再给出几个不同的充分条件吗
【学生思考,小组合作交流】
师:我们说是的充分条件,是指由条件可以推出,但这并不意味着只能由这个条件才能推出结论.一般来说,对给定结论,使得成立的条件是不唯一的.
【活动学习】
学生在合作交流中回答问题,一方面加深对知识的理解,另一方提升学生的学习兴趣.
师:请同学们练习下面的题目.
【巩固练习】
判断真假命题
下列“若,则”形式的命题中,哪些是真命题 哪些是假命题
(1)若平行四边形的对角线互相垂直,则这个平行四边形是菱形.
(2)若两个三角形的周长相等,则这两个三角形全等.
(3)若,则.
(4)若平面内两条直线和均垂直于直线,则.
【学生独立思考,合作探究,师生合作共同完成上题】
师:一般地,数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.
师:下面我们继续例题的学习.
【典型例题】
命题中必要条件的应用
例2 下列“若,则”形式的命题中,哪些命题中的是的必要条件
(1)若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等.
(2)若两个三角形相似,则这两个三角形的三边成比例.
(3)如图,若四边形的对角线互相垂直,则四边形为菱形.
(4)若,则.
(5)若,则.
(6)若为无理数,则为无理数.
【推测解释能力】
结合所学必要条件成立的知识回答问题,培养学生推测解释能力.
师:第(1)题这是一条平行四边形的性质定理,,所以是的必要条件.
【学生根据必要条件的定义独立思考,回答问题(2)~(6),教师点评】
师:例题中命题(1)给出了“四边形是平行四边形”的一个必要条件,即“这个四边形的两组对角分别相等”.这样的必要条件唯一吗 若不唯一,你能给出“四边形是平行四边形”的几个其他的必要条件吗
【学生思考,小组合作交流】
师:我们说是的必要条件,是指以为条件可以推出,但这并不意味着由这个条件只能推出结论.一般来说,对给定条件,由可以推出的结论,使得成立的条件不是唯一的.一般来说,数学中的每一条性质都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.
探究2 充要条件
师:下面请同学们思考这样的问题.
【情景设置】
充要条件的引入
下列“若,则”形式的命题中,哪些命题与它们的逆命题都是真命题
(1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等,则这两个三角形全等.
(2)若两个三角形全等,则这两个三角形的周长相等.
(3)若一元二次方程有两个不相等的实数根,则.
(4)若是空集,则与均是空集.
【先学后教】
学生独立思考,自主学习,教师引导学生类比“充分条件”“必要条件”的概念,探究“充要条件”的概念.
【学生独立思考,合作探究,得出答案,教师总结:上述命题中的命题(1)(4)与它们的逆命题都是真命题;命题(2)是真命题,但它的逆命题是假命题;命题(3)是假命题,但它的逆命题是真命题】
师:由此我们得到充要条件的概念.
【要点知识】
充要条件
如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题,即既有,又有,就记作:.此时,既是的充分条件,又是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简称为充要条件.
师:如果是的充要条件,那么也是的充要条件,即.下面请看例题.
【典型例题】
充要条件的应用
例3 下列各题中,哪些是的充要条件
(1):四边形是正方形,:四边形的对角线互相垂直且平分.
(2):两个三角形相似,:两个三角形三边成比例.
(3).
(4)是一元二次方程的一个根,.
师:问题(1)因为对角线互相垂直且平分的四边形可能是正方形,也可能是菱形,也就是说命题不成立,所以不是的充要条件.
【学生根据充要条件的定义独立思考,回答问题(2)~(6),教师点评】
师:通过上面的学习,你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗
【学生小组讨论,得出:“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”“四边形的对角线互相平分”和“四边形的两组对边分别平行”都是“四边形是平行四边形”的充要条件】
【简单问题解决能力】
通过具体实例,加深学生对充要条件的理解与应用,同时提升简单问题解决能力.
师:同样道理,利用“两个三角形全等(相似)”的充要条件,可以给出“三角形全等(相似)”的其他定义形式,而且这些定义是相互等价的.所以,数学定义,充要条件相对应,下面我们看一道例题.
【典型例题】
证明两个命题互为充要条件
例4 已知:圆的半径为,圆心到直线的距离为.求证:是直线与圆相切的充要条件.
师:要证明是的充要条件,只需分别证明充分性和必要性.
【设计意图】
通过学习充分条件、必要条件、充要条件的知识,学生理解它们的定义,掌握判断命题中充分条件、必要条件、充要条件的方法,提升推测解释、说明论证、简单问题解决的学科能力和逻辑推理、数学抽象、数学运算核心素养.
【学生根据教师提示,独立完成,教师点评】
师:通过这节课,你学到了哪些知识
【教师引导,学生回答,师生合作,共同总结作出本节知识框图】
【课堂小结】
充分条件与以要条件
教学评价
通过本节课学习,学生掌握判断充分条件、必要条件、充要条件的方法.应用所学知识,完成下面各题:
1.祖暅是南北朝时期的伟大科学家,公元五世纪末提出体积计算原理,即祖桓原理:“幂势既同,则积不容异”.意思是:夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任何一个平面所截,如果截面面积恒相等,那么这两个几何体的体积一定相等.设为两个同高的几何体,的体积不相等,在等高处的截面积不恒相等.根据祖桓原理可知( )
A.是的充分条件
B.是的必要条件
C.选项与选项都正确
D.选项与选项都不正确
解析:由祖暅原理可知若的体积不相等,则在等高处的截面积不恒相等,从而是的充分条件,但不是的必要条件.
答案:
2.已知实数满足,则“”是“”的什么条件
解析:,所以若,则,即.若,则,故“”是“”的充要条件.
【设计意图】
本题是充分条件、必要条件与充要条件在数学文化中的应用,一方面考查学生是否理解充分条件、必要条件与充要条件的概念,加深对所学知识的掌握；另一方面进一步强调本节教学的重点,将所讲授的内容进行延伸和拓展,让学生学以致用.
教学反思
本节课是一节概念课,知识比较容易,但是知识点有些杂乱,紧跟教材的布局设计教案,能够较好地突破重难点.充分条件、必要条件、充要条件作为形如“若p,则q”这类命题的一个整体,在同一课时进行系统的学习,这样利于学生对知识网络的整体把握.
【以学论教】
根据学生实际学习充分条件、必要条件、充要条件情况和课堂效果总结出教学过程中的方法和策略的成功之处,不足之处在于加强系统性训练、加强学生对知识网络的整体把握.
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