广东省中山一中2014届高三上学期第二次统测数学（文）试题

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中山一中2014届高三级第二次统测
文科数学试题
（时间：120分钟 满分150分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．设复数，，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知向量＝（4，2），＝（6，），且∥，则等于（ ）
A．3 B． C．12 D．
3．某学校有体育特长生25人，美术特长生35人，音乐特长生40人．
用分层抽样的方法从中抽取40人，则抽取的体育特长生、美术特长生、
音乐特长生的人数分别为（ ）
A．8，14，18 B．9，13，18
C．10，14，16 D．9，14，17
4．给出右侧的程序框图，输出的数是（ ）
A．2450 B．2550 C．5050 D．4900
5．若、为空间两条不同的直线，、为空间两个不同的平面，
则的一个充分条件是（　　）
A．且 B．且
C．且 D．且
6．函数的图象（ ）
A．关于原点对称 B．关于直线对称
C．关于轴对称 D．关于轴对称
7．数列中，已知对任意正整数，，则
等于（ ）
A．(2n－1)2 B．(2n－1) C．(4n－1) D．4n－1
8．已知，则直线与坐标轴围成的三角形面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．球的表面积扩大到原来的2倍，则球的半径扩大到原来的 倍，球的体积扩大到原来的 倍．
A．， B．， C．， D．，
10．若是上的减函数，且的图象过点和，则不等式的解集是（ ）
A． B． C．（0，3） D．（1，4）
二、填空题：本大共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分）
（一）必做题（11～13题）
11．已知椭圆上一点到两个焦点之间距离的和为，其中一个焦点的坐标为，则椭圆的离心率为_____________．
12．若满足约束条件则目标函数的最大值是 ．
13．在中，角的对边分别为，若，，的面积，则边长为 ．
（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）
14．（坐标系与参数方程）在极坐标中，已知点为方程所表示的曲线上一动点，点的坐标为，则的最小值为____________．
15．（几何证明选讲）如图，以为直径的圆与
的两边分别交于两点，，则
．
三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）
16．（本小题满分12分）
已知，，三点．
（1）求向量和向量的坐标；
（2）设，求的最小正周期；
（3）求的单调递减区间．
17．（本小题满分12分）
设关于的一元二次方程．
（1）若是从四个数中任取的一个数，是从三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
（2）若是从区间任取的一个数，是从区间任取的一个数，求上述方程有实根的概率．
18．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA=45°，点E、F分别为棱AB、PD的中点．
（1）求证：AF∥平面PCE；
（2）求证：平面PCE⊥平面PCD；
（3）求三棱锥C－BEP的体积．
19．（本小题满分14分）
数列的前项和记为，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）等差数列的前项和有最大值，且，又成等比数列，求．
20．（本小题满分14分）
已知椭圆，是其左右焦点，离心率为，且经过点
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若分别是椭圆长轴的左右端点，为椭圆上动点，设直线斜率为，且，求直线斜率的取值范围；
（3）若为椭圆上动点，求的最小值．
21．（本小题满分14分）
已知在区间上是增函数．
（1） 求实数a的值组成的集合；
（2） 设关于x的方程的两个非零实根为．试问：是否存在实数，使得不等式对任意及 恒成立？若存在，求的取值范围；若不存在，请说明理由．
中山一中2014届高三第三次统测
文科数学参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C A D D C B A B
二、填空题：
11．； 12． 14； 13．5； 14． ； 15．
三、解答题：
16．解：（1）=，，=，……2分
（2）
= ………4分
=
= ……………………………6分
= = ……………8分
∴的最小正周期． …………………………………9分
（3）∵ ，∈Z，
∴ ，∈Z．
∴ 的单调递减区间是 （∈Z）． ………12分
17．解：设事件为“方程有实根”．
当，时，方程有实根的充要条件为．…2分
（1）基本事件共12个：
．
其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值．…………………………4分
事件中包含9个基本事件，………………………………………………5分
事件发生的概率为．…… ……………………7分
（2）试验的全部结束所构成的区域为．……9分
构成事件的区域为．……10分
所以所求的概率为．………………………………12分
18．证明：（1）取PC的中点G，连结FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线， ∴FGCD，
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，
∴AECD， ∴FGAE，
∴四边形AEGF是平行四边形， ∴AF∥EG，
又EG平面PCE，AF平面PCE，
∴AF∥平面PCE；……………………………… 4分
（2）∵ PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD=A，
∴CD⊥平面ADP， 又AF平面ADP，
∴CD⊥AF，…………………………………………… 6分
直角三角形PAD中，∠PDA=45°，
∴△PAD为等腰直角三角形，∴PA＝AD=2， ………………………………… 7分
∵F是PD的中点，
∴AF⊥PD，又CDPD=D，
∴AF⊥平面PCD，………………………………………………………………… 8分
∵AF∥EG， ∴EG⊥平面PCD，……………………………………………… 9分
又EG平面PCE，
平面PCE⊥平面PCD；………………………………………………………… 10分
（3）三棱锥C－BEP即为三棱锥P－BCE，………………………………… 11分
PA是三棱锥P－BCE的高，
Rt△BCE中，BE=1，BC=2，
∴三棱锥C－BEP的体积
V三棱锥C－BEP=V三棱锥P－BCE=… 14分
19．解（1）由，可得，
两式相减得， ………………………………2分
又∴， ………………………………………………4分
故是首项为1，公比为3的等比数列，
∴． ……………………………………………………………………6分
（2）设的公差为，
由得，于是， …………………………………8分
故可设，
又，
由题意可得，…………… …………………10分
解得，
∵等差数列的前项和有最大值，
∴， …………………………………………………………12分
∴． ………………………………14分
20．解（1），…………3分
（2）设的斜率为，
则， ………………………………5分
∴ ＝ 及 …………………………………………6分
则＝＝ 又…………………………………………7分
∴ ，故斜率的取值范围为（） ………………………8分
（3）设椭圆的半长轴长、半短轴长、半焦距分别为a,b,c,则有
,
由椭圆定义，有 ………9分
＝ ………………10分
＝ ………………11分
≥ ……………………………12分
＝＝ ……………………… ………………13分
∴的最小值为。
（当且仅当时，即取椭圆上下顶点时，取得最小值）
……………………………………………………………………14分
21．解（1）因为在区间上是增函数，
所以，在区间上恒成立，…………（2分）
所以，实数a的值组成的集合．………………（5分）
（2）由 得 即
因为方程即的两个非零实根为
两个非零实根，于是，，
，
………………（8分）
设
则，………………（11分）
若对任意及 恒成立，
则，解得 ，……………（13分）
因此，存在实数，使得不等式对任意及 恒成立．………………………………………………（14分）
否
是
i≥100
输出sum
结束
开始
i=2,sum=0
sum=sum+i
i = i+2
C
B
A
E
F
第15题图
（第18题图）
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