华师大版数学九年级上册 21.1 二次根式 教案

教学内容
本单元是在学方根和算术平方根的意义的基础上，引入一个符号“”．主要学习内容有：（1）二次根式的有关概念，如：二次根式定义、最简二次根式、同类二次根式等；（2）二次根式的性质；（3）二次根式的运算，如：二次根式的乘除法、二次根式的加减法等．
荷兰数学教育家弗莱登塔尔认为：数学教学不能丢掉数学实际应用，应该教给学生充满联系的数学．这里不仅是数学内在的联系，更重要的是数学与外部的联系，应当在数学与现实的接触点之间找联系．因此，教材从学生常见的生活实际问题出发，抽象出二次根式的概念，让学生认识到二次根式是客观存在的，体会到二次根式的出现来源于实际生活中，认识二次根式的意义和作用．为了使学生经历“抽象出二次根式概念的过程”，理解学习二次根式的意义，培养学生的思维能力，教学内容呈现一般都是从解决问题出发，让学生经历操作、探究、讨论、交流等过程，使学生的学习兴趣、分析问题的能力在活动中得到培养，思维水平和应用数学意识得以提高．教学中要培养学生数形结合的意识，二次根式运算难度要适当，尽可能使所有学生都能主动参与，鼓励学生从不同角度思考问题，关注学生运用计算器的能力．
知识结构
三维目标
1．知识与技能．
理解二次根式的有关概念和性质，明确其意义，会进行二次根式的加减乘除混合运算．
2．过程与方法．
经历从具体情境中抽象出二次根式性质的过程，体会数字与现实生活的紧密联系，掌握二次根式的计算方法，学会用计算器进行二次根式的有关计算．
3．情感、态度与价值观．
培养严谨的数学思维和数形结合的分析意识，感悟数学在实际生活中的应用价值．
教学重点
二次根式的化简及加减乘除运算．
教学难点
二次根式的化简．
教学关键
通过绝对值概念来突破的化简问题，用数学的化归思想来达到迁移的目的．
课时划分
§22．1 二次根式 1课时
§22．2 二次根式的乘除法 3课时
§22．3 二次根式的加减法 3课时
复习与小结 1课时
22.1 二次根式
教学内容
本节课从解决实际问题出发，通过人造地球卫星围绕地球运行的事例引入课题，概括出二次根式定义，并明确的意义，认识二次根式的性质．
教学目标
1．知识与技能．
理解二次根式的定义，以及二次根式中字母a的实际内涵．
2．过程与方法．
经历“抽象出二次根式概念的过程”理解学习二次根式的意义，培养思维能力以及二次根式的概念的应用方法．
3．情感、态度与价值观．
让学生经历探究的过程、交流的过程，激发学生的学习兴趣，培养学生分析问题的能力，提高数学的应用意识．
重难点、关键
1．重点：理解二次根式的概念和性质．
2．难点：对二次根式中字母a的意义的认识．
3．关键：通过算术平方根的意义来认识二次根式中，感受到当a是负数时，没有意义．
教学准备
1．教师准备：实物投影仪，补充一些现实生活中与二次根式有关的图片，事例．
2．学生准备：复习平方根和算术平方根的意义．
教学过程
一、创设情境，合作探究
1．回顾交流．
（1）教师活动：提出以下问题供学生复习．（使用投影仪或小黑板）
①什么叫做有理数？什么叫做无理数？什么叫做实数？请同学们举例说明．
②什么叫做算术平方根？在正数、零、负数中哪些数有算术平方根？哪些数没有算术平方根？为什么？
学生活动：先与同桌相互讨论，再举手发言．
学生交流，回答后由教师进行完善和归纳．
（2）教师归纳：
①我们知道，正数a有两个平方根，即“±”，其中正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作．0的平方根也叫做0的算术平方根，即＝0．
②注意：当a是正数或0（又叫做非负数）时，表示a的算术平方根．
③负数没有平方根，因此负数的算术平方根也不存在．也就是说：在中，a必须大于或等于0，a<0无意义．
2．导入新知．
（1）教师活动：充分利用投影仪，将图片展示给学生，同时引入新知．
投影显示：
①课题：二次根式．
②图片：如课本P1中实际的问题以及所收集的有关事例．
学生活动：在教师引导下，观察所展示的图片，思考问题．感受到抽象出无理数中二次根式的概念的过程，认识到二次根式的应用价值．
在师生完成上述探究之后，教师引导学生形成二次根式的概念．
（2）教师归纳：我们已经遇到过如、、这样的式子，知道符号“”叫做二次根式，二次根号下的数叫做被开方数，因为在实数范围内，负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或0，也就是说：被开方数只能是非负数，一般地，式（a≥0）叫做二次根式，即有①≥0（a≥0）；②（）2=a（a≥0）．
媒体使用：投影仪显示问题情境，辅助教学，节省时间．
二、范例学习，加深理解
例：x是怎样的实数时，式子有意义？
教师分析：若要使得有意义，被开方数x-7必须大于或者等于0，即x-7≥0，由此得x≥7．
教师板书：
解：被开方数x-7≥0，解之x≥7．
答：当x≥7时二次根式有意义．
教师提问：请同学们再阅读课本P2例题．加深理解，然后做以下练习．（补充练习见下面问题）
学生活动：参与教师分析和讲例．理解二次根式的涵义，懂得为什么被开方数必须为非负数．
三、随堂练习，巩固提高
1．课堂演练一．
（1）x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？
（2）x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？
（3）x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？
学生活动：进行课堂练习，然后与同学交流．
思路点拨：（1）2x+1≥0，2x≥-1，x≥-；（2）由于2x2≥0，2x2+1>0，所以，不论x为何值，2x2+1都为正数；（3）在考虑被开方数2x-1时，既要考虑的意义，还要考虑在分母，2x-1≠0，因此，综合地考虑到2x-1>0，2x>1，x>．
2．教师活动：请部分学生上讲台演示课堂练习，然后引导学生小结出解题方法．上述类型的解题方法是从二次根式的概念出发，明确被开方数是非负数，由此列出不等式，再通过解不等式来解决字母的取值范围，若二次根式在分母，还要考虑分母不为零的问题．
四、合作探究，领会新知
1．教师讲解．（板书）
是4的算术平方根，也就是说，是一个平方等于4的非负数，因此，有（）2=4，请同学们思考（）2=？
学生回答：由于是2的算术平方根，因此有（）2=2．
教师归纳：一般地，我们有
板书：（）2=a（a≥0）
2．课堂演练二．
（1）计算:
（2）课本P3练习第1（1）（2）题．
学生活动：从练习中，领会（）2=a的内涵，学会逆向思维和与人交流的意识．
3．课堂演练三．
把下列各式写成平方差的形式，再分解因式．
（1）x2-19 （2）a2-3 （3）4a2-7 （4）16a2-11
思路点拨：本题主要是对知识进行拓展，引导学生理解实数范围内的因式分解．（1）可将19写出（）2，则有x2-（）2形式，再用平方差公式分解因式有（x+）（x-）．（2）与（1）类似；（3）可将4a2-7写成（2a）2-（）2，然后再运用平方差公式分解因式为：（2a+）（2a-7）．（4）当（3）类似．
学生活动：先分小组合作交流，然后再由小组代表上讲台演示．
教师活动：在学生练习的基础上引导学生归纳出解题所需用到的知识点．
活动关注：（1）实数意义；（2）二次根式中（）2=a的应用；（3）因式分解中公式法（平方差公式）的应用．
五、专题突破，解决问题
1．问题牵引1．
（1）问题：请同学们想一想，等于什么？
（2）教师引导：提示学生取a的一些值分别计算对应的的值，然后再从中寻找规律．注意a的取值是不受限制的．
学生活动：在教师的引导下进行小组合作讨论，然后再在全班发表自己的看法．
思路点拨：在上述问题中，a可取4，-4，7，-5，-，0.72等．从而有=0.72．
2．师生讨论后达成共识，引入二次根式的性质：（1）当a≥0时，=a；（2）当a<0时，＝-a．
知识联系：从绝对值的概念中可以得到．
│a│＝
而＝│a│，因此，在以后的化简中也可以进行知识过渡，将二次根式问题转化到│a│问题上来解决，这种数学化归的思想在解题中常常遇见，根式化简中经常会用到．
六、随堂练习，巩固深化
1．课堂演练：课本P3练习第1（3）（4）、3题．
2．探研时空．
（1）使有意义的a的取值范围是什么？
（2）已知1（3）计算的值．
七、课堂总结，提高认识
本节课先给出了二次根式的定义，然后讨论简单的二次根式中字母取值范围问题，接着又从算术平方根的意义出发，学习了二次根式简单性质：一是（a≥0）是一个非负数；二是（）2＝a（a≥0）；三是＝a（a≥0），=-a（a<0）．注意如2表示2×这与带分数2表示2+是不一样的，因此以后遇到×，应写成，而不要写成1．
八、布置作业，系统跃进
1．课本P4习题22．1第1、2、3、4题．
九、课后反思（略）
课时作业设计
1．若=1，则x=_____，=2，则y=______．
2．计算：（=_______．
3．计算：=_______．
4．若有意义，则x取值范围是________．
5．（-）2=的值为（ ）
A．a B．-a C． D．-
6．当a<0时，化简│a-│为（ ）
A．2a B．0 C．-2a D．以上答案都不对
7．若代数式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x>且x≠3 B．x≥ C．x≥且x≠3 D．x≤且x≠-3
8．若一个有理数的平方根与立方根相同，这个有理数是（ ）
A．0 B．1 C．0或1 D．1或-1
9．a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
（1）
10．计算：
（1）
11．已知式子有意义，化简+│x+1│．
答案:
1．±1 2 2． 2 3． 4．x≥6 5．B 6．C 7．C 8．A
9．（1）a≤5 （2）a≥-7 （3）任何实数 （4）x≥5且x≠12
10．（1）11 （2）13 （3）-6 （4）0.2 （5）320 （6）7 11．6