数学人教A版（2019）必修第一册3.4 函数的应用（一）（共35张ppt）

(共35张PPT)
3.4函数的应用(一）
第三章 函数的基本性质
课程目标
1、能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题；
2、感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型在数学和其他学科中的重要性．
数学学科素养
1.数学抽象：总结函数模型；
2.逻辑推理：找出简单实际问题中的函数关系式，根据题干信息写出分段函数；
3.数学运算：结合函数图象或其单调性来求最值. ；
4.数据分析：二次函数通过对称轴和定义域区间求最优问题；
5.数学建模：在具体问题情境中，运用数形结合思想，将自然语言用数学表达式表示出来。
复习导入
1．常见的数学模型有哪些
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(2 )反比例函数模型:f(x)= +b(k,b为常数,k≠0);
(3)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
(4)幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);
(5)分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.
2.解答函数实际应用问题时,一般要分哪四步进行
提示:第一步:分析、联想、转化、抽象;
第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;
第三步:解答数学问题,求得结果;
第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.
而这四步中,最为关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.
我们学习过一次函数、二次函数、幂函数等，这些函数都与现实世界紧密联系.下面通过一些实例感受它们的广泛应用，体会利用函数模型解决实际问题的过程与方法.
例1： 2019年1月1日起，公民依法缴纳的个税税额根据应纳税所得额、
税率和速算扣除数确定，计算公式为：
个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数.
应纳税所得额的计算公式为：
应纳税所得额=综合所得收入额-基本减除费用-专项扣除-专项附加扣除-依法确定的其他扣除.
其中，“基本减除费用”（免征额）为每年60 000元.
税率与速算扣除数见表格.
设小王缴纳的基本养老保险、基本医疗保险、失业保险等社会保险费和住房公积金占综合所得收入额的比例分别是8%，2%，1%，9%，专项附加扣除是52 800元，依法确定其他扣除是4 560元.全年综合所得收入额为x（单位：元），应缴纳综合所得个税税额为y（单位：元）.
（1）求y关于x的函数解析式；
（2）如果小王全年的综合所得由189 600元增加到249 600元，那么他全年应缴纳多少综合所得个税？
思考：
1. 这一问题中存在哪些变量？它们的关系是什么？
2. 如何通过这些关系确定应缴纳个税与综合所得收入额的关系？
公式①：个税税额=应纳税所得额×税率-速算扣除数
公式②：应纳税所得额 = 综合所得收入额 - 基本减除费用 - 专项扣除 - 专项附加扣除 - 依法确定的其他扣除
对于任一个综合所得收入额都有唯一确定的应纳税所得额与之相对应，而任一个应纳税所得额也与唯一确定的个税税额与之相对应.这样，对于任一个综合所得收入额都有唯一确定的个税税额与之相对应，由函数的定义知，个税税额y是综合所得收入额x的函数.
第一步，根据例8中公式②，得出应纳税所得额t关于综合所得收入额x的解析式t=g(x)；
第二步，结合例8中已经得到的y=f(t)的解析式③，得出y关于x的函数解析式；
第三步，根据所得解析式求出应缴纳个税税额.
解：（1）根据公式②及已知得应纳税所得额
t=x-60000-x(8%+2%+1%+9%)-52800-4560
=0.8x-117360 .
令t =0，得x=146700，根据个人应纳税所得额的规定可知，
当0≤x≤146 700时，t=0.所以，个人应纳税所得额 t 关于综合所得收入额 x 的函数解析式为
解：（1）结合3.1.2例8的解析式③，可得：
当0≤x≤146 700时，t=0，所以y=0；
当146 700y=t×3%=0.024x-3520.8；
当191 700y=t×10%-2520=0.08x-14256；
当326 700y=t×20%-16920=0.16x-40392；
当521 700y=t×25%-31920=0.2x-61260；
当671 700y=t×30%-52920=0.24x-88128；
当971 700y=t×35%-85920=0.28x-126996；
当x>1346 700时，t>960 000 ，所以
y=t×45%-181920=0.36x-234732；
所以，函数解析式为
（2）当x=249600时，y=0.08×249600-14256=5712.
所以，小王全年需要缴纳的综合所得个税税额为5712元.
例2：一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率v（单位：km/h）与时间t（单位：h）的关系如图所示，
(1) 求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义；
(2) 假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为
2004 km，试建立行驶这段路程时汽车里程表读数s（单位：km）与时间t的函数解析式，并画出相应的图象.
思考：请找到题目中涉及的变量，并分析说明图中的信息.
本题涉及时间t、平均速率v、行驶路程S、里程表读数s等变量；图形反应了平均速率v关于时间t的函数图象，是一个分段函数.
解：(1) 阴影部分的面积为
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360.
阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km.
由图，有
(2) 由图，有
O
t
s
1
2
3
4
5
2000
2100
2400
2300
2200
本题的解答过程表明，函数图象对分析和理解题意很有帮助.因此，我们要注意提高读图能力.另外，本题用到了分段函数，解决现实问题时经常会用到这类函数.
练习：若用模型y=ax2描述汽车紧急刹车后滑行的距离y（单位：m）与刹车时的速率x（单位：km/h）的关系，而某种型号的汽车在速率为60 km/h时，紧急刹车后滑行的距离为20 m.在限速为100 km/h的高速公路上，一辆这种型号的车紧急刹车后滑行的距离为50 m，那么这辆车是否超速行驶？
【例】某公司生产某种产品的固定成本(房租设备水电等)为150万元，每件产品的生产成本为2500元，售价为3500元.若该公司生产的产品全部都能卖出去.
（1）设总成本为W万元，平均分摊到每件产品上的单位成本为y万元，销售总收入为S万元，总利润为P万元，分别求出它们与产量t的函数关系式.
阅读审题：通过题目给出的文字、公式、图表等信息明确要研究的问题，理清变量关系；
数学转化：将实际问题中的变量关系转化为函数关系，并求出函数解析式；
解决问题：利用函数解析式、图象、性质等解决实际问题.
实际问题 函数问题 实际问题
总结
(1)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润 最大利润是多少
解:①根据题意,得y=90-3(x-50),
化简,得y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
②因为该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量×每箱销售利润.
所以w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
③因为w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,所以当x<60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,所以当x=55时,w有最大值,最大值为1 125.
所以当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1 125元.
1.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t- t2(万元).
(1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数;
(2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大
解:(1)当0当x>5时,产品只能售出500件.所以,
所以当x=4.75(百件)时,f(x)有最大值,
f(x)max=10.781 25(万元).
当x>5时,f(x)<12-0.25×5=10.75(万元).
故当年产量为475件时,当年所得利润最大.
3.某移动公司采用分段计费的方法来计算话费,月通话时间x(分钟)与相应话
费y(元)之间的函数图象如图所示：
(1)月通话为100分钟时，应交话费多少元；
(2)当x 100时,求y与x之间的函数关系式；
(3)月通话为280分钟时，应交话费多少元
解： (1)40元；
(2)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b（k≠0)
由图上知：x=100时，y=40；x=200时，y=60
所以，函数解析式为
（3）把x=280代入关系式 得
所以，月通话为280分钟时，应交话费76元。
小结